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제 6 장 그래프

제 6 장 그래프. C. g. c. d. A. e. D. a. b. B. f. 그래프 추상 데이타 타입 (1). 개요 Koenigsberg 다리 문제 차수 (degree) : 정점에 연결된 간선의 수 오일러 행로 (Eulerian walk). g. d. C. c. D. A. e. Kneiphof. B. f. b. a. (b) 오일러의 그래프. (a) Koenigsberg 의 Pregal 강의 일부. 그래프 추상 데이타 타입 (2). 정의

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제 6 장 그래프

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  1. 제 6 장그래프

  2. C g c d A e D a b B f 그래프 추상 데이타 타입(1) • 개요 • Koenigsberg 다리 문제 • 차수(degree) : 정점에 연결된 간선의 수 • 오일러 행로(Eulerian walk) .. g d C c D A e Kneiphof B f b a (b) 오일러의 그래프 (a) Koenigsberg의 Pregal강의 일부

  3. 그래프 추상 데이타 타입(2) • 정의 • 그래프 G : 2개의 집합 V와 E로 구성 • V : 공집합이 아닌 정점(vertex)의 유한집합 • E : 간선(edges)이라고 하는 정점 쌍들의 집합 • 표기 : G=(V,E) • 무방향그래프(undirected graph) • 간선을 나타내는 정점의 쌍에 순서 없음 • 방향 그래프(directed graph) • 방향을 가지는 정점의 쌍 <u,v>로 표시 (u는 꼬리(tail), v는 머리(head)) • <v,u>와 <u,v>는 서로 다른 간선

  4. 그래프 추상 데이타 타입(3) • 예제 그래프 • V(G1)={0,1,2,3} E(G1)={(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)} • V(G2)={0,1,2,3,4,5,6) E(G2)={(0,1),(0,2),(1,3),(1,4),(2,5),(2,6)} • V(G3)={0,1,2} E(G3)={<0,1>,<1,0>,<1,2>} 0 0 0 • 0 1 2 1 2 1 3 3 4 5 6 2 G2 G3 G1

  5. 그래프 추상 데이타 타입(4) • 정의 • 그래프의 제한 사항 • 자기 간선(self edge) 또는 자기 루프(self loop) 없음 • 동일 간선의 중복 없음(다중그래프(multigraph)는 이 제한이 없음 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 2 0 2 0 다중 그래프 자기 간선을 가진 그래프 • 완전 그래프(complete graph) : n개의 정점과 n(n-1)/2개의 간선을 가진 그래프 • (u,v)가 E(G)의 한 간선이라면 • u와 v는 인접(adjacent)한다 • 간선 (u,v)는 정점 u와 v에 부속(incident)된다 • 그래프 G의 부분그래프(subgraph) : V(G')  V(G) 이고 E(G')  E(G)인 그래프 G'

  6. 그래프 추상 데이타 타입(5) • 정점 u로부터 정점 v까지의 경로(path) • 그래프 G에서 (u,i1), (i1,i2), ..., (ik,v)를 E(G)에 속한 간선들이라 할 때, 정점열 u, i1, i2, ..., ik, v를 말함 • 경로의 길이(length) • 경로상에 있는 간선의 수 • 단순 경로(simple path) • 경로상에서 처음과 마지막을 제외한 모든 정점들이 서로 다름 • 단순 방향 경로(simple directed path) • 사이클(cycle) • 처음과 마지막 정점이 같은 단순 경로

  7. 그래프 추상 데이타 타입(6) 0 0 0 0 2 1 2 1 1 2 1 2 3 3 3 (i) (ii) (iv) (iii) G1 G1의서브그래프 0 0 0 0 0 • 0 1 1 1 1 2 2 2 2 G3 (i) (ii) (iv) (iii) G3의 서브그래프

  8. 그래프 추상 데이타 타입(7) • 연결 요소(connected component) :최대 연결 부분 그래프(maximal connected subgraph) • 강력 연결(strongly connected) :방향그래프에서 V(G)에 속한 서로 다른 두 정점 u, v의 모든 쌍에 대해서, u에서 v로, 또한 v에서 u로의 방향 경로(directed path)가 존재 • 강력 연결 요소(strongly connected component) :강하게 연결된 최대 부분그래프 두 개의 연결요소를 갖는 그래프

  9. 그래프 추상 데이타 타입(8) 0 G3의 강력 연결요소 1 2 • 차수(degree) : 정점에 부속한 간선들의 수 • 진입차수(in-degree) • 임의의 정점 v가 머리가 되는 간선들의 수 • 진출차수(out-degree) • v가 꼬리가 되는 간선들의 수 • 간선의 수 • 다이그래프(digraph) : 방향 그래프 n-1 e =(ådi)/2 i (n개의 정점과 e개의 간선을 가진 그래프)

  10. 그래프 표현법(1) • 인접행렬 (Adjacency Matrix) • G=(V,E)는 정점의 수가 n(n≥1)인 그래프 • 인접행렬 : nn의 2차원 배열 • 간선 (vi, vj)E(G)  a[i][j]=1 • 간선 (vi, vj)E(G)  a[i][j]=0 • 필요 공간 : n2비트 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 3 0 1 2 G1 의 인접행렬 G3 의 인접행렬 G4 의 인접행렬 n-1 ∑a[i][j] • 무방향 그래프: 어떤 정점 i의 차수는 그 행의 합 : • 방향 그래프: 행의 합은 진출차수, 열의 합은 진입차수 • 인접행렬의 수행 시간 : 최소한 O (n2) • 희소 그래프(sparse graph) : O (e+n) J=0

  11. 그래프 표현법(2) • 인접리스트 (Adjacency Lists) • 인접행렬의 n행들을 n개의 연결리스트로 표현 • data와 link 필드 • C++ 선언문 • n개의 정점, e개의 간선의 무방향 그래프 • n개의 헤드노드, 2e개의 리스트 노드가 필요 • 방향그래프 : e개의 리스트 노드 • 역인접리스트(inverse adjacency lists) • 리스트가 표현하는 정점에 인접한 각 정점에 대해 하나의 노드를 둠 Chain<int> *adjList; LinkedGraph(constintvertice=0) ; n(vertices), e(0) {adjList=newChain<int>[n];}

  12. 인접리스트(1) adjLists data link 3 1 2 0 [0] [1] [2] [3] 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1 2 0 G1 인접 리스트 adjLists [0] [1] [2] 1 0 2 0 0 0 G3 인접 리스트 adjLists [0] [1] [2] [3] 2 1 0 3 0 0 0 3 0 1 2 0 5 0 [4] [5] [6] [7] 6 4 0 5 7 0 6 0 G4 인접 리스트 (

  13. 인접리스트(2) int nodes[n + 2*e +1]; 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 그래프 G4의 순차 표현 G3의 역인접리스트

  14. 인접리스트(3) 헤더노드 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 2 0 그래프 G3에 대한 직교 리스트 표현

  15. adjNodes N0 edge (0,1) 0 1 N1 N3 [0] [1] N1 edge (0,2) 0 2 N2 N3 [2] N2 edge (0,3) 0 3 0 N4 [3] N3 edge (1,2) 1 2 N4 N5 N4 edge (1,3) 1 3 0 N5 N5 edge (2,3) 2 3 0 0 The lists are vertex 0: N0 -> N1 -> N2 vertex 1: N0 -> N3 -> N4 vertex 2: N1 -> N3 -> N5 vertex 3: N2 -> N4 -> N5 인접다중리스트 (Adjacency Multilists) • 간선 (u,v)는 두 개의 엔트리로 표현 : u를 위한 리스트, v를 위한 리스트에 나타남 • 새로운 노드 구조 m vertex 1 vertex 2 list 1 list 2 G1에 대한 인접 다중리스트

  16. 가중치 간선(Weighted Edges) • 그래프의 간선에 가중치(weights)부여 • 인접행렬 : 행렬 엔트리에 a[i][j]의 가중치 정보 저장 • 인접리스트 : 노드 구조에 weight필드를 추가 • 네트워크(network) : 가중치 간선을 가진 그래프

  17. C++ 그래프 클래스 Graph Matrix WDigraph LinkedWDigraph LinkedDigraph MatrixWGraph MatrixDigraph LinkedWGraph LinkedGraph MatrixGraph 그래프 클래스에 대해 파생 가능 계층

  18. 그래프의 기본 연산 • 깊이-우선 탐색(DFS; Depth-First Search) (1) 출발 정점 v를 방문 (2) v에 인접하고 방문하지 않은 한 정점 w를 선택 (3) w를 시작점으로 다시 깊이 우선 탐색 시작 (4) 모든 인접 정점을 방문한 정점 u에 도달하면, 최근에 방문한 정점 중 아직 방문을 안한 정점 w와 인접하고 있는 정점으로 되돌아감 (5) 정점 w로부터 다시 깊이 우선 탐색 시작 (6) 방문을 한 정점들로부터 방문하지 않은 정점으로 더 이상 갈 수 없을 때 종료

  19. 깊이 우선 탐색(1) • 예제 6.1 • 0, 1, 3, 7, 4, 5, 2, 6 순으로 방문 0 1 2 3 4 5 6 7 adjLists ( a) [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] 2 1 0 0 3 0 4 5 0 6 0 1 0 7 그래프 G와 그 인접리스트 1 0 7 2 7 0 0 2 7 3 4 6 0 5 (b)

  20. 깊이 우선 탐색(2) • DFS의 분석 • 탐색을 끝내는 시간 O (e) • v에 인접한 모든 정점들을 찾는데 O (n)의 시간 • 총 시간은 O(n2)

  21. 너비 우선 탐색(1) • 너비 우선 탐색(BFS; Breadth-First Search) • 시작 정점 v를 방문 • v에 인접한 모든 정점들을 방문 • 새롭게 방문한 정점들에 인접하면서 아직 방문하지 못한 정점들을 방문 • 예제 6.2 • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 순으로 방문 0 1 2 3 4 5 6 7

  22. 너비 우선 탐색(2) • BFS의 분석 • 전체 시간 O(n2) • 인접 리스트 표현 : 전체 비용 O(e) Virtual void Graph::BFS(int v) // 너비-우선 탐색은 정점 v에서부터 시작한다. // v 방문시 visited[i]는 TRUE로 설정된다. 이 함수는 큐를 이용한다. { visited = newbool[n]; . fill(visited, visited+n, false); visited[v] = true; Queue<int> q; q.push(v); while(!q.IsEmpty()) { v = *q.Front(); q.Pop(); for(v에 인접한 모든 정점 w에 대해) // 실제 코드는 반복자를 사용 if(!visited[w]) { q.Push(w); visited[w] = TRUE; } } // while루프의 끝 delete [] visited; }

  23. 연결요소 • 연결요소(connected component) • 방문하지 않은 정점 v에 대해 DFS(v)또는 BFS(v)를 반복 호출로 구함 Virtual void Graph::Components() // 그래프의 연결요소들을 결정 { // visited는 Graph의 bool*데이타 멤버로 선언되었다고 가정. visited = newbool[n]; fill(visited, visited+n, false); for(i=0; i<n; i++) if(!visited[i]) { DFS(i); // 연결 요소를 탐색 OutputNewComponent(); } delete [] visited; } 연결요소의 결정 • Component의 분석 • 인접리스트로표현:모든연결요소들생성시간은O(n+e) • 인접행렬로 표현 : O(n2)

  24. 신장트리(1) • 신장트리(spanning tree) : G의 간선들로만 구성되고 G의 모든 정점들이 포함된 트리 • 깊이-우선 신장트리(depth-first spanning tree) • 너비-우선 신장트리(breadth-first spanning tree) 완전 그래프와 이 그래프의 세 신장트리 0 0 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 7 (a) DFS(0) 신장 트리 (b) BFS(0) 신장 트리

  25. 신장트리(2) • 예제 6.3 [회로 등식의 생성] • 전기 네트워크에 대한 신장트리 구함 • 비트리 간선을 신장트리에 한번에 하나씩 도입 • Kirchoff의 제2 법칙 이용하여 회로 등식 얻음 • 신장트리는 G의 최소부분 그래프(minimal subgraph) G'로서 V(G') = V(G)이고 G'는 연결되어 있음 • 신장트리는 n-1개의 간선 가짐

  26. 이중결합요소(1) • 단절점(articulation point) • 그래프의 정점들중 이 정점과 이 정점에 부속한 모든 간선들 삭제 시, 최소한 두 개의 연결요소를 만들게하는 정점 • 이중 결합 그래프(biconnected graph) • 절점이 없는 연결 그래프 • 이중 결합 요소(biconnected component) • 최대 이중결합 부분그래프(maximal biconnected subgraph) 0 8 9 0 8 9 1 7 7 1 7 1 7 2 3 5 2 3 3 5 5 4 6 4 6 연결 그래프 이중 결합 요소

  27. 이중결합요소(2) • 연결 무방향 그래프의 이중결합요소 • 깊이-우선 신장 트리를 이용 1 3 2 6 5 0 10 8 9 9 4 5 4 1 7 8 1 6 3 2 7 6 3 2 3 5 4 4 6 1 8 7 7 2 0 8 9 9 10 5 0 8 9 1 7 연결 그래프 루트를 3으로 하는 깊이-우선 신장 트리 2 3 5 4 6

  28. 이중결합요소(3) • 백 간선(back edge) • u가 v의 조상이거나 v가 u의 조상인 비트리 간선(u,v) • 교차 간선(cross edge) • 백 간선이 아닌 비트리 간선 • low(w) • w의 후손들과 많아야 하나의 백 간선으로 된 경로를 이용해 w로부터 도달할 수 있는 가장 적은 깊이 우선번호 low(w) = min{dfn(w), min{low(x) | x는 w의 자식}, min{dfn(x) | (w,x)는 백 간선}} Vertex 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dfn 5 4 3 1 2 6 7 8 10 9 6 10 9 low 5 1 1 1 1 6 6 신장 트리에 대한 dfn 값과 low 값

  29. 최소비용 신장트리 • 최소비용 신장트리(minimum-cost spanning tree) • 최저의 비용을 갖는 신장트리 • Kruskal, Prim, Sollin알고리즘 • 갈망법(greedy method) • 최적의 해를 단계별로 구한다 • 각 단계에서는 몇 개의 판단 기준에 따라 최상의 결정을 내린다 • 한번 내려진 결정은 뒤에 번복이 불가능하므로 각각의 결정이 가능한 해를 도출해낼 수 있는 지 확인 • 신장트리의 제한 조건 (1) 그래프내에 있는 간선들만을 사용 (2) 정확하게 n-1개의 간선만을 사용 (3) 사이클을 생성하는 간선을 사용 금지

  30. Kruskal알고리즘(1) • 알고리즘 • 한번에 하나씩 T에 간선을 추가해가면서 최소비용 신장트리 T를 구축 • T에 포함될 간선을 비용의 크기순으로 선택 • 이미 T에 포함된 간선들과 사이클을 형성하지 않는 간선만을 T에 추가 • G는 연결되어 있고 n>0개의 정점을 가지므로 정확하게 n-1개의 간선만이 T에 포함됨.

  31. Kruskal알고리즘(2) • 예제 6.4 0 0 0 0 10 28 1 10 10 1 1 1 5 14 16 6 5 5 5 2 6 6 6 24 2 2 2 4 25 4 4 4 18 12 12 3 22 3 3 3 ( d) ( a) ( b) ( c) 0 0 0 0 10 10 1 1 10 10 1 1 14 14 16 16 5 5 14 14 16 5 5 6 6 2 2 6 6 2 2 25 4 4 4 4 12 12 12 12 22 22 3 3 3 3 ( g) ( h) ( e) ( f) Kruskal알고리즘의 각 단계

  32. Kruskal알고리즘(3) • 정리 6.1 • G를 무방향 연결 그래프라 하자. Kruskal 알고리즘은 최소비용 신장트리를 생성한다. T = while ((T가 n-1개 미만의 간선을 포함) && (E가 공백이 아님)) { E에서 최소 비용 간선 (v,w) 선택; E에서 (v,w)를 삭제; if (v,w)가 T에서 사이클을 만들지 않으면 T에 (v,w)를 추가; else discard (v,w); } if (T가 n-1개 미만의 간선을 포함) cout << "신장 트리 없음" << endl; Kruskal알고리즘

  33. Prim 알고리즘(1) • 알고리즘 • 한번에 한 간선씩 최소 비용 신장 트리를 구축 • 각 단계에서 선택된 간선의 집합은 트리 • 하나의 정점으로 된 트리 T에서 시작 • 최소 비용 간선 (u,v)를 구해 T U {(u,v)}이 트리가 되면 T에 추가 • T에 n-1개의 간선이 포함될 때까지 간선의 추가 단계를 반복 • 추가된 간선이 사이클을 형성하지 않도록 각 단계에서 간선 (u,v)를 선택할 때 u 또는 v중 오직 하나만 T에 속한 것을 고른다.

  34. Prim 알고리즘(2) 0 0 0 10 1 10 1 10 1 5 5 5 6 6 6 2 2 2 25 25 4 4 4 22 3 3 3 (a) (b) (c) 0 0 0 10 1 10 1 10 1 14 16 16 5 5 5 6 6 6 2 2 2 25 25 25 4 4 4 12 12 12 22 22 22 3 3 3 (d) (e) (f) Prim알고리즘의 진행 단계

  35. Sollin 알고리즘 • 알고리즘 • 각 단계에서 여러개의 간선을 선택 • 각 단계에서는 포리스트에 있는 각 트리에 대해 하나의 간선을 선택 • 이 간선은 오직 하나의 정점만 그 트리에 속한 최소 비용 간선 • 선택된 간선은 구축중인 신장트리에 추가 • 오직 하나의 트리만이 존재 or 더 이상 선택할 간선이 없을 때 종료 0 0 10 1 10 1 14 14 16 5 5 6 6 2 2 25 4 4 12 12 22 22 3 3 (a) (b) Sollin알고리즘의 단계들

  36. 최단경로와 이행적 폐쇄 • 단일 시발점/모든 종점: 음이아닌 간선 비용 • 문제 : 시발 정점 v에서부터 G의 모든 다른 정점까지의 최단경로를 구하는 것 45 경로 길이 50 10 0 1 2 1) 0, 3 10 30 2) 0, 3, 4 25 10 20 15 20 35 3) 0, 3, 4, 1 45 4) 0, 2 45 3 4 5 15 3 (a) 그래프 (b) 0에서부터의 최단 경로 그래프와 정점 0에서 모든 종점까지의 최단경로

  37. 단일 시발점/모든 종점: 음이아닌 간선 비용(1) • ShortestPath 함수 : 최단 경로의 길이의 결정 • ShortestPath의 분석 • n개의 정점을 가진 그래프에 대한 수행시간은 O(n2) void MatrixWdigraph::ShortestPath(const int n, const int v) // dist[j],0  j n은n개의 정점을 가진 방향 그래프 G에서 정점 v로부터 정점 j까지 // 의 최단 경로 길이로 설정됨. 간선의 길이는 length[j][j]로 주어짐. { for (int i=0; i<n; i++) s[i] = false; dist[i] = length[v][i]; // 초기화 s[v] = true; dist[v] = 0; for (i=0; i<n-2; i++) { // 정점 v로부터 n-1개 경로를 결정 int u = Choose(n); // choose는 s[w]=false이고 // dist[u] = minimum dist[w]가 되는 u를 반환 s[u] = true; for (int w=0; w<n; w++) if(!s[w]&&dist[u]+length[u][w]<dist[w]) dist[w] = dist[u] + length[u][w]; } // for(i=0; ...)의 끝 }

  38. 단일 시발점/모든 종점: 음이아닌 간선 비용(2) • 예제 6.5 Boston 4 1500 Chicago 1200 3 250 San Francisco 800 1 2 1000 Denver 300 5 New York 1000 1400 0 1700 7 Los Angeles 900 New Orleans 1000 6 Miami (a) 방향 그래프 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 300 0 2 1000 800 0 3 1200 0 4 1500 0 250 5 1000 0 900 1400 6 0 1000 7 1700 0 (b) 길이-인접 행렬

  39. 단일 시발점/모든 종점: 음이아닌 간선 비용(3) 거 리 선택된 정점 반복 LA SF DEN CHI BOST NY MIA NO [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ---- 1500 0 250 초기 ¥ ¥ ¥ 1 5 1250 0 250 1150 1650 ¥ ¥ ¥ 2 6 1250 0 250 1150 1650 ¥ ¥ 3 3 2450 1250 0 250 1150 1650 ¥ 4 7 3350 2450 1250 0 250 1150 1650 5 2 3350 3250 2450 1250 0 250 1150 1650 6 1 3350 3250 2450 1250 0 250 1150 1650 방향그래프에 대한 ShortestPath의 작동

  40. 5 7 -5 0 1 2 -2 0 1 2 1 1 단일 시발점/모든 종점:일반적 가중치(1) • 음수 길이 사이클이 존재할 경우 최단 길이 경로가 존재하지 않는다. 음의 길이 간선을 가진 방향 그래프 음의 길이 사이클을 가진 방향 그래프 • 동적 프로그래밍 방법 : 모든 u에 대해 distn-1[u]를 구함 • distk[u] = min{distk-1[u], min{distk-1[i] + length[i][u]}} i

  41. -1 1 4 3 6 -2 1 5 0 2 6 -2 5 3 3 5 -1 그래프 ( a) 방향 단일 시발점/모든 종점:일반적 가중치(2) • 예제 6.6 (b) distk 음의 길이 간선을 가진 최단 경로

  42. 단일 시발점/모든 종점:일반적 가중치(3) • Bellman과 Ford알고리즘 void MatrixWDigraph::BellmanFord(const int n, const int v) {// 음의 길이 간선을 가지는 단일 시발점 모든 종점 최단 경로 for(int i=0; i<n; i++) dist[i] = length[v][i]; // dist 초기화 for(int k=2; k<=n-1; k++) for(u!=v이고 최소한 하나의 진입 간선을 갖는 u에 대해) for(그래프의 각 <i,u>에 대해) if(dist[u]>dist[i]+length[i][u]) dist[u] = dist[i] + length[i][u]; } 최단 경로를 계산하는 Bellman과 Ford 알고리즘 • BellmanFord의 분석 • 인접행렬 O(n3), 인접 리스트 O(ne)

  43. 모든 쌍의 최단경로(1) • uv인 모든 정점의 쌍 u와 v간의 최단경로를 구하는 것 • 연속적으로 A-1, A0, A1, A2, …, An-1을 생성하는 것 • 인덱스가 K보다 큰 정점을 통과하지 않는 i에서 j까지의 최단 경로가 인덱스가 k인 정점을 통과하지 않으면 그 길이는 Ak-1[i][j]가 된다. • 최단 경로가 k를 통과한다고 하면 경로는 i에서 k까지의 경로와 k에서 j까지의 경로로 구성. 이러한 i에서 k까지 또, k에서 j까지의 부분 경로 둘 다 k-1보다 큰 인덱스를 가진 정점을 통과하지 않음. 이 경로들이 길이는 Ak-1[i][k], Ak-1[k][j]가 된다. • Ak[i][j] = min{Ak-1[i][j], Ak-1[i][k] + Ak-1[k][j]}, k  0A-1[i][j] = length[i][j]

  44. 모든 쌍의 최단경로(2) • uv인 모든 정점의 쌍 u와 v간의 최단경로를 구하는 것Ak[i][j] = min{Ak-1[i][j], Ak-1[i][k] + A k-1[k][j], k  0 A-1[i][j] = length[i][j] void MatrixWDigraph::AllLengths(const int n) { // length[n][n]은 n개의 정점을 가진 그래프의 인접 행렬이다. // a[i][j]는 i와 j 사이의 최단 경로의 길이이다. for(int i=0; i<n; i++) for(int j=0; j<n; j++) a[i][j] = length[i][j]; // length를 a에 복사 for(int k=0; k<n; k++) // 제일 큰 정점의 인덱스가 k인 경로에 대해 for(i=0; i<n; i++) // 가능한 모든 정점의 쌍에 대해 for(int j=0; j<n; j++) if((a[i][k]+a[k][j]) < a[i][j]) a[i][j] = a[i][k] + a[k][j]; } 모든 쌍의 최단경로 • AllLengths의 분석 • 전체 시간은 O(n3)

  45. 모든 쌍의 최단경로(3) • 예제 6.7 6 -1 0 A 0 1 2 A 0 1 2 0 1 4 0 0 4 11 0 0 4 11 11 2 1 6 0 2 1 6 0 2 3 2 3 0 2 3 7 0 2 -1 0 ( a) 방향그래프 ( b) A ( c) A 1 2 A 0 1 2 A 0 1 2 0 0 4 6 0 0 4 6 1 6 0 2 1 5 0 2 2 3 7 0 2 3 7 0 1 2 ( d) A ( e) A 모든 쌍의 최단 경로 문제의 예

  46. 0 1 2 3 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 4 0 0 1 0 0 ( a) 방향 그래프 G ( b) 인접행렬 A 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 3 0 0 1 1 1 3 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1 + * ( c) A ( d) A 이행적 폐쇄(1) • 이행적 폐쇄 행렬(A+) • i에서 j로의 경로 길이 0  A+[i][j] = 1 인 행렬 • 반사 이행적 폐쇄 행렬(A*) • i에서 j로의 경로 길이 0  A*[i][j] = 1 인 행렬

  47. 이행적 폐쇄(2) • A+ • 간선 <i, j>  G  length[i][j] = 1, otherwise, length[i][j] = LARGE • All Lengths 종료시 length[i][j]  +  A+[i][j]=1 • A* : A+의 대각선에 있는 항을 모두 1로 설정 전체 시간은 O(n3)

  48. C9 C10 C11 C8 C1 C12 C3 C7 C13 C14 C2 C4 C5 C6 C15 작업 네트워크 • AOV(activity on vertex)네트워크 : 정점이 작업을, 간선이 작업간의 선행 관계를 나타내는 방향그래프 G (b) 과목은 정점으로, 선수과목은 간선으로 포현한 AOV 네트워크 (a) 가상적인 대학에서 컴퓨터 과학 학위에 필요한 과목들 An activity-on-vertex(AOV) 네트워크

  49. AOV 네트워크(1) • 정의 • 정점 i로부터 정점 j로의 방향 경로 존재하면 정점 i를 정점 j의 선행자(predecessor) • 간선 <i, j>가 존재하면 정점 i를 정점 j의 직속 선행자(immediate predecessor) • i가 j의 선행자 → j는 i의 후속자(successor) • i가 j의 직속 선행자 → j는 i의 직속 후속자(immediate successor) • 모든 세 쌍 i, j, k에 대해 I  j 이고 j  k →I  k 가 성립하면 관계는 이행적(transitive) • S에 속한 모든 원소 x에 대해 x  x가 성립하지 않으면 관계는 집합 S상에서 비반사적(irreflexive) • 분분 순서(partial order) : 이행적, 비반사적인 선행 관계 • 위상순서(topological order) : 임의의 두 정점 i, j에 대해 네트워크에서 i가 j의 선행자이면 선형순서에서도 i가 j 앞에 있는 그래프 정점의 선형 순서

  50. AOV 네트워크(2) 1 1 1 0 2 4 2 4 2 4 3 5 3 5 5 (a) 초기 (b) 정점 0 삭제 (c) 정점 3 삭제 1 1 4 4 4 5 (f) 정점 1 삭제 (d) 정점 2 삭제 (e) 정점 5 삭제 생성된 위상 순서 : 0, 3, 2, 5, 1, 4

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