СТВОЛОВЫЕ СЕТИ : МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

СТВОЛОВЫЕ СЕТИ : МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ А.А. Тихомиров(Москва, Международная академия информатизации) А.И. Труфанов, Л.Л. Носырева, Е.В. Носырева(Иркутск, Иркутский государственный технический университет )

Введение • Унарные операции • Операции над слоями • Бинарные операции над сетями • Заключение • Список основных источников

Введение Предложенная А.Тихомировым (Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, РФ), А.Труфановым (Иркутский государственный технический университет, РФ) и др. концепция кружева единых сетей КЕС (или ART2 кружево), базируется на сквозном описании основных категорий взаимодействия множества сущностей ( субъектов, объектов) с помощью многослойного ( многоуровневого ) набора сетей произвольной топологии, в т.ч. комплексных.

Введение (продолжение) В основе подхода лежат бинарные (парные) взаимодействия сущностей (акторов) в отдельных тематических слоях (ТС).

Введение (продолжение) Актором кружева единой сети является ствол, стволы крепят узлы сетей различных тематических слоев. Ствол вырождается в узел, а единая сеть в традиционную сеть при объединении всех ТС в один. КЕС -сеть представляет собой квинтет (кортеж, семейство) (S, T, V, Vt, Et), где S – непустое множество стволов, T – непустое множество тематических слоев, V – множество, называемое узлами сети, причем V представляет кортеж неотделимых непересекающихся непустых подмножеств множества V ((V1,… Vt), называемых узлами тематических слоев t КЕС-сети, Et–семейство непустых (необязательно различных) подмножеств множества Vt, называемых связями тематического слоя t CNL-сети.

Введение (продолжение) Авторами предлагается математическое описание частного случая КЕС, так называемой стволовой сети (stem network), s-сети задаваемой не квинтетом, а тройкой (S, T, R), где S – непустое множество стволов, T – непустое множество тематических слоев, R=(R1, R2, …, Rt)– совокупность бинарных отношений на множестве S, где Ri соответствует тематическому слою i. Множество узлов V можно исключить из описания, так как каждый узел является, по сути, пересечением ствола и тематического слоя.

Представление s-сетей В такой интерпретации s- сеть представляет собой совокупность графов, заданных на одном и том же множестве узлов. Каждый отдельный граф задает связи между узлами в тематическом слое. В теории графов одним из способов задания графа является матрица смежности. Учитывая многослойность рассматриваемой сети, матрица смежности может быть задана как трехмерная матрица вида , где

Представление s-сетей (продолжение) Пример трёхмерной кубической матрицы для трехслойной?s-сети.

Представление s-сетей (продолжение) Аналогичным способом можно задать матрицу весов связей ,

Представление s-сетей (продолжение) Тогда очевидным образом для s-сети можно определить операции, аналогичные операциям над графами.

Унарные операции Операцией добавления к сети (S, T, R) ствола a образуется сеть а Операция добавления к сети (S, T, R) ствола a Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операция добавления тематического слояt к сети (S, T, R) состоит в образовании сети Операция добавления тематического слоя t к сети (S, T, R) Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операция добавления дуги (аk, bk) в тематический слой k к сети (S, T, R) состоит в образовании сети Операция добавления дуги (аk, bk) в тематический слой k Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операция удаления дуги(аk, bk) из тематического слоя k сети (S, T, R) состоит в образовании сети (S, T, R=(R1, R2, …, Rk \{(аk, bk)}, …,Rt)). Операция удаления дуги (аk, bk) из тематического слоя k Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операция удаления стволаа из сети (S, T, R) заключается в удалении ствола а вместе с инцидентными ему дугами. (S\{a},T, R={Rk\{(bk, ck)|bk =akилисk =ak , k=1,2,…,n, n-количество слоев}. а Операция удаления ствола а из сети (S, T, R) Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операцией сечения сети (S, T, R) по тематическому слою kобразуется граф (S, Rk). Операцией сечения сети (S, T, R) по тематическому слою k Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операция удаления тематического слояtиз сети (S, T, R) состоит в образовании сети (S, T \ tk, R\ Rk). Операция удаления тематического слоя t из сети (S, T, R) Сеть (S, T, R)

Унарные операции (продолжение) Операция отождествления стволов a иbсети (S, T, R) состоит в удалении из сети (S, T, R) стволовa иbи присоединении нового ствола а', дуг (а',с), если (а,с) Rkили (b,с) Rk, и дуг (с,a'), если (с, а)Rkили(с, b)Rk. Если в каком–либо слое стволы соединены дугой, операция отождествления стволов подразумевает удаление этой дуги, т.к. рассматриваемые нами конструкции не имеют петель.

Унарные операции (продолжение) а a’ b Сеть (S, T, R) Операция отождествления стволов a и b сети (S, T, R))

Операции над слоями Операция дополнения слоя. Дополнением слоя tk называется граф (S, tk, S2\(Rk {(аi, ai)|aitk })). В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,S2\(Rk {(аi, ai)|aitk }, Rk+1,…,Rt)). Дополнение слоя

Операции над слоями (продолжение) Операция объединения слоев. Объединением слоев tiи tjназывается граф (S, RiRj) В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,Rk’=RkRk+1, Rk+2,…,Rt)). Объединение слоев

Операции над слоями (продолжение) Операция пересечения слоев. Пересечением слоев tiи tjназывается граф (S, Ri ∩Rj) В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,Rk’=Rk ∩Rk+1, Rk+2,…,Rt)). Пересечение слоев

Операции над слоями (продолжение) Кольцевая сумма слоев. Кольцевой суммой слоев tiи tjназывается граф (S, RiRj) В результате применения этой операции к сети (S, T, R) получаем сеть (S, T, R=(R1,…,Rk-1,Rk’=(Rk\Rk+1) (Rk+1\Rk), Rk+2,…,Rt)). Кольцевая сумма слоев

Бинарные операции над сетями Операция дополнения сети. Дополнением сети (S, T, R) называется сеть (S, T, S2\R ). Операция дополнения сети

Бинарные операции над сетями (продолжение) Операция объединения сетей. Объединением сетей (S1, T1, R1) и (S2, T2, R2) называется сеть (S1 S2, T 1T 2, R 1 R 2). Операция объединения сетей

Бинарные операции над сетями (продолжение) Операция пересечения сетей. Пересечением сетей (S1, T1, R1) и (S2, T2, R2) называется сеть (S1 ∩S2, T 1 ∩T 2, R 1 ∩ R 2). Операция пересечения сетей

Бинарные операции над сетями (продолжение) Кольцевая сумма сетей. Кольцевой сетей (S1, T1, R1) и (S2, T2, R2) называется сеть (S1 S2, T 1 T 2, R 1 R 2 = (R1\R2) (R2\R1)). Кольцевая сумма сетей

Заключение Благодаря введению s-сетей, и рассмотренным на них операциям можно формализовать многие прикладные задачи в различных областях знаний. Особенно удачно и значимо приложение этой теории к экономической и социальной сферам. При этом каждая введенная операция имеет свое содержательное отображение на реальных технологических, экономических и биосоциальных сетях.

Заключение (продолжение) Представленное описание s-сетей в терминах линейной алгебры и теории графов позволяет для сетевых конструкций различной природы: • формализовать многочисленные примеры, • проверять сетевой объект на соответствие поставленной задаче, • анализировать задачу на предмет непроизводительных процессов и тупиковых ситуаций, • на основе формализации применять стандартные методы и инструменты решения задач, в т.ч. в максимальной степени автоматизировать процесс решения, • создать надежную и непротиворечивую платформу для междисциплинарных исследований. Для решения этих и других задач авторами предполагается, что математический аппарат введенных сетевых конструкций (s-сетей) будет дорабатываться и расширяться.

Список основных источников • A.А.Тихомиров, А.И.Труфанов. Сверхсложные сети: новые модели интерпретации социально-экономических и биосоциальных процессов. Труды Института государства и права РАН. - М.: ИГП РАН, №6, 2011. с. 162 -170 • http://www.igpran.ru/trudy/Trudi_IGPRAN.2011-6.pdf (дата обращения: 01.07.2012). • S. H. Strogatz, Exploring Complex Networks, Nature V. 410 , 2001, с.268-276 • R. Albert and A.-L. Barabási. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics , №74, 2002 с.47 • M. E. J. Newman, The structure and function of complex networks, SIAM Review , №45, 2003, с.167-256 • О. Оре. Теория графов. – Либроком. 2009 г

СТВОЛОВЫЕ СЕТИ : МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

СТВОЛОВЫЕ СЕТИ : МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

Presentation Transcript