第二章

1. 第二章 传递过程基本方程

2. 传递现象理论 使化学工程从经验与技艺发展成为一门工程科学 动量传递 热量传递 质量传递 化工单元 操作 模型化 共同规律 质量守恒 动量守恒 能量守恒 传递过程的 主要理论基础 现象方程 描述系统的状态 描述过程的速率

3. 衡算体系 守恒原理的运用都是针对一定体系而言 控制体（control volume）与控制面 控制体：流动空间任一坐标位置处具有一定几何形状与大小的开放体系。 控制面：围成控制体的空间曲面。 控制体 控制体通过控制面与环境（环绕控制体的流体或相界面）进行质量、动量和能量交换。

4. 衡算体系 控制体的取法 (1) 代表性：基于控制体建立的传递过程微分方程应该在整个流动空间连续可积 (2) 对称性与正交性：尽可能使控制面的法线与坐标轴平行或正交，使其模型简化、减小求解的难度。 控制体的大小 宏观：例，一段管道、一台设备、甚至整个生产装置 宏观衡算只能得到空间平均的结果 微观：数学意义上的微元体积V 微观(或微分)衡算建立微分方程，才能表达流体内部传递现象的规律，求得流场的分布函数。 空间平均的结果很容易从分布函数求平均得到

5. z z y x o x y 不同坐标系下的微元控制体 常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系 直角坐标系（Cartesian coordinates）：x，y，z uz ux (y,z) uy (x,y)

6. z  r z o  = 0 柱坐标系（Cylindrical coordinates）：r，，z uz z ur u  r

7.  = 0   r o    = 0 球坐标系（ Spherical coordinates）：r，， ur u u r

8. 质量守恒与连续性方程 质量守恒定律 （Mass conservation） 传递过程与化学反应过程都必须服从质量守恒定律。若控制体内的流体包含 n个组分，则任一组分 i 的质量衡算为： 控制体内生成的质量速率和消耗的质量速率相等

9. z z y x x y 连续性方程（ Equationof continuity ） 流体的速度和密度是空间与时间的连续函数 (uz)z+z (uy)y (ux)x+x (ux)x (uy)y+y (uz)z

10. 连续性方程（ Equationof continuity ） 代表空间任意点处由流体质量通量 u 的空间变化率引起该点处流体密度随时间的变化率。 (u) 代表的流体质量通量的空间变化率又被称作质量通量的散度，其物理意义可以理解为空间某点处单位体积内流体质量的流散速率。

11. 连续性方程（ Equationof continuity ） 流体密度的随体导数 体积通量(或速度矢量) u 的散度，物理意义为空间某点处单位体积流体的体积形变（扩张或收缩）速率 连续性方程是传递过程最基本的方程之一，推导过程未加假设，因此对各种流体在各种情况下都适用。

12. 不同坐标系中的连续方程 直角坐标系 (x, y, z) 柱坐标系 (r,  , z) 球坐标系 (r, , )

13. 【例2-1】 变直径管道中流体流动的连续性方程 ——高斯（Gauss）定理

14. 【例2-1】 变直径管道中流体流动的连续性方程 不稳定流动系统的连续性方程 稳定流动系统的连续性方程 不可压缩流体的连续性方程 圆管流动的连续性方程

15. 动量守恒与流体运动微分方程 动量守恒定律 牛顿第二定律 动量是矢量，将其在三个坐标方向分解，对每一个分量都可以独立地进行动量衡算 控制体受力分为 体积力：由外力场决定 表面力：压力和粘性力

16. 流体运动微分方程 对流传递的动量通量（x 分量） z x y

17. 流体运动微分方程 扩散传递的动量通量（x 分量） z x y

18. 流体运动微分方程 对流从六个面元输入控制体的 x 方向的动量分量的净流率为： 扩散从六个面元输入控制体的 x 方向的动量分量的净流率为：

19. 流体运动微分方程 x 方向的动量分量在控制体内的累积速率为 ： 作用于控制体的所有外力在 x 方向的分量的总和为 ： 体积力（质量力） gx代表单位质量流体所受的质量力（例如重力、离心力等）在 x 方向的分量 表面力 流体的压力

20. 流体运动微分方程 x 方向： y 方向： z 方向：

21. 流体运动微分方程 连续性方程

22. 流体运动微分方程 x 方向： y 方向： z 方向：

23. 流体运动微分方程的矢量形式 上式以牛顿第二定律的形式表达了单位微元体积中的流体受合力的作用获得的加速度，是运动微分方程的另一种形式。 流体运动微分方程全面反映了流体内部各种不同方式的动量传递和作用力对改变流体运动状态的贡献，是流体力学的基本方程之一，对所有流体都适用。

24. 流体运动微分方程的矢量形式 三个方程所含变量多达14个，只有在针对流动体系的具体性质、补充足够的方程之后，才能使方程组封闭。 本构方程：流体的粘性应力(或动量扩散通量)与速度梯度(或形变速率)之间的关系，随流体种类与流动结构而异。 对于层流流动的牛顿流体，三维条件下的牛顿-斯托克斯粘性应力-形变方程如下：

25. 奈维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程 对密度和粘度均为常数的牛顿流体作层流运动 方程式可以展开为仅以三个速度分量为变量的奈维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程 ，简称 N-S 方程

26. 欧拉（Euler）方程 奈维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的矢量微分形式： N-S 方程 2 —— 拉普拉斯算符 当粘性的作用影响较小以至可以不计，或 = 0 时，上式进一步简化为： 欧拉(Euler)方程 理想流体运动微分方程 由该方程出发可以导出流体力学上一系列重要的结论

27. 流体运动微分方程的应用 流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ) 静止是运动的一种特殊形式、即流体内部各处的速度以及所受合力都为零的一种平衡状态。 对于密度为常数的流体，根据奈维-斯托克斯方程或欧拉方程都可以得到 展开为三个分量方程 静止流体所受合力以及三个坐标方向的分力都为零

28. 流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ) 假设流体有一微小位移 则合力在此微小位移上作功（力矢量与位移矢量的点乘积）也为零 压强的全微分 d p 上式表示体积力对流体作功与压力作功相抵消，所以流体保持静止

29. z o 流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ) 重力场中的静止流体，取 z 轴垂直向上为正 p0 1 H 2 z2 z1 体积力作功 gdz 是单位质量流体位能的增量，压力作功dp/为压强能增量。表明静止流体中压强能随位能的增加而等量减少。

30. 流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ) 流体中任意两个垂直位置 2 和 1 之间对上式作定积分 由于 和 g 是常数 kJ/kg 总势能保持不变 同一静止流体中 虚拟压强处处相等 Pa

31. 流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ) —— 流体静力学基本方程 • 流体静力学原理： • 重力场中静止流体总势能不变，静压强仅随垂直位置而变，与水平位置无关，压强相等的水平面称为等压面； • 静止液体内任意点处的压强与该点距液面的距离呈线性关系，也正比于液面上方的压强； • 液面上方的压强大小相等地传遍整个液体。 问题：1 atm = 760 mmHg = 10.33 mH2O = 101325N/m2(Pa)

32. 液柱压差计（Manometers） • 普通 U 型管压差计（Simple manometer） • 倒置 U 型管压差计（Up-side down manometer） • 倾斜 U 型管压差计（Inclined manometer） • 双液体 U 型管压差计（Two-liquid manometer）

33. 普通 U 型管压差计（Simple manometer） U 型管内位于同一水平面上的 a、b 两点在相连通的同一静止流体内，两点处静压强相等 p1 p2 p0 p0 >  由指示液高度差 R 计算压差 若被测流体为气体，其密度较指示液密度小得多，上式可简化为 R a b 0

34. 倒置 U 型管压差计（Up-side down manometer） 用于测量液体的压差，指示剂密度 0 小于被测液体密度 ， U 型管内位于同一水平面上的 a、b 两点在相连通的同一静止流体内，两点处静压强相等 由指示液高度差 R 计算压差 若  >>0

35. 倾斜 U 型管压差计（Inclined manometer） 采用倾斜 U 型管可在测量较小的压差 p 时，得到较大的读数 R1 值。 压差计算式

36. 双液体 U 型管压差计（Two-liquid manometer） 微差压计，支管顶端有一个扩大室。扩大室内径一般大于U型管内径的10倍。压差计内装有密度分别为 01 和 02 的两种指示剂。 有微压差p 存在时，尽管两扩大室液面高差很小以致可忽略不计，但U型管内却可得到一个较大的 R 读数。 对一定的压差p，R 值的大小与所用的指示剂密度有关，密度差越小，R 值就越大，读数精度也越高。

37. 【例2-2】 如图所示密闭室内装有测定室内气压的U型压差计和监测水位高度的压强表。指示剂为水银的U型压差计读数 R 为 40mm，压强表读数 p 为 32.5 kPa 。 试求：水位高度 h。 解：根据流体静力学基本原理，若室外大气压为 pa，则室内气压 po 为

38. 【例2-3】 用复式U型压差计检测输水管路中孔板元件前后A、B两点的压差。倒置U型管段上方指示剂为空气，中间U型管段为水。水和空气的密度分别为 = 1000 kg/m3 和 0 = 1.2 kg/m3。在某一流量下测得R1 = z1 - z2 = 0.32 m，R2 = z3 - z4 = 0.5m。 试计算A、B两点的压差。

39. 【例2-3】 忽略空气柱的重量，p1  p2 ，p3  p4 ，有

40. 不可压缩流体在圆管内的流速分布 层流流动 可完全通过理论求解流速分布 在柱坐标系中，流动为沿管轴线的一维轴对称流动 以虚拟压强的形式将压力梯度与重力合并表达为直管流动的平均推动力

41. 不可压缩流体在圆管内的流速分布 运动微分方程简化为 在柱坐标系中，由不可压缩流体的连续性方程 二阶常微分方程 r = R, uz = 0 r = 0, uz = 定值 边界条件

42. 不可压缩流体在圆管内的流速分布 直接积分两次并利用上述边界条件即可得到流速 uz 沿管半径 r 方向的分布函数 圆管内不可压缩牛顿流体层流速度分布呈抛物线 最大速度在管中心（r = 0）处 半径为R 的圆管内不可压缩牛顿流体稳定层流的体积流率为 ——哈根-泊谡叶(Hagen–Poisseuille)方程

43. 不可压缩流体在圆管内的流速分布 根据体积流率相等的原则，定义流体平均速度（称为体积平均流速） 与最大速度相比 管内层流的流速分布

44. 不可压缩流体在圆管内的流速分布 湍流流动 湍流速度分布难于象层流一样解析表达 湍流速度分布只能就时间平均而言，真实速度围绕时均值波动（包括大小和方向）。湍流波动加剧了管内流体的混合与传递，使时均速度在截面上、尤其是在管中心部位分布更趋平坦。 1/n 次方规律

45. 不可压缩流体在圆管内的流速分布 湍流流动 平均速度与最大速度之比 式中 n 的取值范围与 Re 有关 4×104 < Re < 1.1×105n = 6 1.1×105 < Re < 3.2×106 n = 7 Re > 3.2×106n = 10 在上述 Re 范围内

46. 流体机械能守恒与柏努利方程 (Conservation of mechanical energy and Bernoulli equation ) • 奈维-斯托克斯方程表达了单位微元体积的流体在压力、粘性力和质量力作用下沿流线的加速度。 • 流体运动中，这些力对流体作功因此而发生能量转换。 • 流体所具有的能量分为机械能（动能与势能之和）和内能（或热能）两大类。 • 功与能之间的转换服从能量守恒原理即热力学第一定律。 • “摩擦生热”使流体的机械能转换为内能的过程是不可逆的，称为机械能损耗或阻力损失、粘性耗散，机械能不一定守恒。 • 对于理想流体而言，由于不存在粘性力，因此无粘性耗散，不仅能量守恒，机械能也守恒。

47. 流体机械能守恒与柏努利方程 对不可压缩理想流体， = constant， = 0 欧拉方程 代表单位质量流体在压力和质量力的作用下产生的沿流线的加速度 用速度点乘各项 代表压力与质量力对单位质量流体作功而使其动能沿着流线的变化率。换言之，即 dt 时间内功与能的转换量

48. 流体机械能守恒与柏努利方程 也可写成 重力场中的稳态流动，取 z 轴正方向与重力方向相反 ——柏努利（Bernoulli）方程 严格说柏努利方程只有沿流线才成立。 对稳态流动，流线与迹线重合，因此同一迹线上的流体也服从柏努利方程。

49. 实际流体流动的柏努利方程 对同一管道上任意两个与流线垂直的截面 实际流体存在流动阻力，部分机械能不可逆地转换为内能，称为阻力损失 hf 。 尽管机械能不守恒，但总能量是守恒的。 在工程实际中，为了克服阻力损失，使用流体输送机械补充机械能。对单位质量流体而言补充的机械能为 he J/kg

50. 动能校正系数（Kinetic energy correction factor） 与理想流体柏努利方程相比，除了两截面间的阻力损失和机械功而外，还应注意流体的动能应该使用截面上的平均值 动能平均值 工程上习惯使用平均速度 动能校正系数 Kinetic energy correction factor 反映截面上动能分布不均匀的程度