４．２　連立非線形方程式（１）繰返し法による方法

４．２　連立非線形方程式（１）繰返し法による方法４．２　連立非線形方程式（１）繰返し法による方法 n個の変数からなる非線形方程式を考える。これをベクトル表記して次のように表す。

繰返し法による方法 １変数の場合と同様，以下のようにして解くただし，単純な繰返し法では，収束するとは限らない！！使えない！！

（２）ニュートン・ラプソン法ニュートン・ラプソン法の考え方（１）（２）ニュートン・ラプソン法ニュートン・ラプソン法の考え方（１）としてベクトル表記すると真の解との誤差をこれは，次のような式をベクトル表記したものである。

ニュートン・ラプソン法の考え方（２） テーラ展開し，１次の項まで近似すると

ニュートン・ラプソン法の考え方（３） ベクトル表記すると

ニュートン・ラプソン法の考え方（４） ：ヤコビアンと呼ばれる。　（Jacobian）

ニュートン・ラプソン法の考え方（５） 適当な初期値を決め（k＝0）を求めを解いて，とする。これを繰り返せば，解に収束する。

発展行列が大きくなると，近似値の計算のたびに連立方程式を解く必要があるので計算量が多くなる。実際には，非線形連立偏微分方程式の数値解法に応用されることが多いので，それに合わせた数値解法が提案されている。

簡単な例題を手計算で進めてみると 初期の近似値をとすると

簡単な例題 （以降，省略）

Ｅｘｃｅｌでの定義 例題を Excel でやってみよう

収束の様子 グラフを描いて確かめよう

Sub setJACOBI(JACOBI, A) JACOBI(1, 1) = 2 * A(1) + A(2) JACOBI(1, 2) = A(1) + 2 * A(2) JACOBI(2, 1) = 1 JACOBI(2, 2) = -1 ' - f(X) JACOBI(1, 3) = -(A(1) * A(1) + A(1) * A(2) + A(2) * A(2) - 1) JACOBI(2, 3) = -(A(1) - A(2)) End Sub Sub setInitial(A) A(1) = 1: A(2) = 1 End Sub Sub ボタン2_Click() Dim A(2) EPS = 0.0000001 N = 連立非線形Newton(A, EPS, 2) MsgBox " 繰返し回数" & N & " 結果=(" & A(1) & " " & A(2) & ")" End Sub Jacobianの設定ＶＢＡでのプログラム　　　 ①Jacobianの設定，関数値の設定，ボタンのClickイベントハンドラ関数値の設定（連立方程式の解法で掃出し法を用いる）

Function 連立非線形Newton(A, EPS, N) Dim JACOBI() As Double: ReDim JACOBI(N, N + 1) setInitial A iter = 0: itermax = 100: E = EPS * 100 Do While E > EPS And iter < itermax iter = iter + 1 setJACOBI JACOBI, A ‘ Yacobian，関数値の設定 If 掃出法(JACOBI, N, ESP) Then Exit Do E = 0 ‘補正値の加算，収束判定 For i = 1 To N D = A(i) - JACOBI(i, N + 1) E = E + D * D A(i) = A(i) + JACOBI(i, N + 1) Next Loop 連立非線形Newton = iter End Function ＶＢＡでのプログラム　　②連立非線形方程式の解法

（３）その他の方法 ①ベアストウ・ヒッチコック法（Bairstow-Hitchcock method）非線形代数方程式に特化した繰返し計算による方法 ②ＤＫＡ法(Durand-Kerner-Aberth method) ニュートン法に対してデュランとカーナーが修正を行い，アバースの修正を用いる方法であり，非線形代数方程式を対象とする方法。　　　（Ｎ個の解をまとめて計算する）なお，ＤＫＡ法については，４．３節で複素根を対象とした方法として示す。

（４）演習 ① 以下の連立方程式の収斂の様子をExcelを使って観察せよ。 ②　上記連立方程式をサンプルプログラムを用いて解け。

４．２ 連立非線形方程式 （１）繰返し法による方法