第十一章数字滤波器设计

第十一章数字滤波器设计 本章教学内容 1、数字滤波器的基本结构 2、IIR数字滤波器的设计 3、FIR数字滤波器的设计

第一节数字滤波器的基本结构 • 一个具有有理分式系统函数的线性时不变系统，其输入输出序列满足线性常系数差分方程。对于这样一个系统，有多种等价的描述： • 单位取样响应 • 系统函数(单位取样响应的Z变换) • 差分方程

第一节数字滤波器的基本结构 例如：下列系统函数描述的系统：该系统单位脉冲响应：差分方程为：

第一节数字滤波器的基本结构 该系统单位脉冲响应为无限长，因而不能用DFT来实现，如果给定合适的初始条件，按上式进行递推，就可得到线性时不变系统的运算输出。但上述递推过程可以有不同的运算组合，或者说不同的运算结构。

第一节数字滤波器的基本结构 这样一个线性系统通常又称为数字滤波器。数字滤波器的功能本质上可以说是将输入序列通过一定的运算，变换成输出序列的数字网络。数字滤波器可以按各种标准来分类，按频带可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器，按单位取样响应可分为无限长单位取样响应（IIR）滤波器和有限长单位取样响应（FIR）滤波器等等。 (按功能) (按结构)

第一节数字滤波器的基本结构 一、数字滤波器结构的表示方法从差分方程可看出，数字滤波器包含了3种基本运算单元：加法器、乘法器、单位延迟单元，这些基本单元的不同的组合方式对应数字滤波器不同的运算结构。可以用方框图和信号流图表示这3种基本运算，便于形象地描述某一系统的运算结构。

第一节数字滤波器的基本结构 基本运算的框图和流图表示

第一节数字滤波器的基本结构 下图是用方框图描述的一个数字滤波器方框图特点：明显直观，容易看清楚系统的运算步骤，乘法次数、加法次数和时延等

第一节数字滤波器的基本结构 讨论各种运算结构用信号流图表示比较方便。信号流图：由连接节点的有向支路构成的一种网络。其本质上与方框图表示法等效，只是符号有异，具有成熟的信号流图理论。仍以上图为例介绍信号流图符号。

第一节数字滤波器的基本结构 节点：系统中的变量，因为与节点有关的变量都是序列，节点处变量记为wk 支路：连接两个节点的有向线段，表征节点量间的变换关系。支路具有方向和传输系数，方向用箭头表示，传输系数标于线段之上。（未表明则为1；标z-1，表示延时支路，单位延时作用）比较流图与方框图，二者支路存在对应关系，实际上二者唯一重要的差别是，流图中的节点表示方框图中的分支点并隐含了相加点。

第一节数字滤波器的基本结构 图中各节点运算关系为：最终可得

第一节数字滤波器的基本结构 11.1.2 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器的基本结构 IIR： Infinite Impulse Response 系统单位取样响应为无限长，N 阶IIR 系统的系统函数可以表示为： N:分母多项式中最高次幂，一般N>M，其差分方程

第一节数字滤波器的基本结构 IIR系统的特点： 1、单位取样响应是无限长的 2、系统函数在z平面有极点存在；不仅与有关，也和有关 3、 (即当前输出不仅与当前输入有关，还与过去时刻的输出有关)，这意味着存在输出到输入的反馈网络。

第一节数字滤波器的基本结构 IIR 系统的基本结构包括：一、直接Ⅰ型可以看成是两个子系统的级联： H1(z) H2(z) x(n) w(n) y(n)

第一节数字滤波器的基本结构 (1) 输入x(n)延时后组成的M节延时网络。每节延时输出（也称抽头）与常系数bk相乘，再把结果叠加，实现零点。

第一节数字滤波器的基本结构 (2) 输出y(n)延时后组成的N节延时网络。每节延时输出与常系数ak相乘，再把结果叠加，实现极点

第一节数字滤波器的基本结构 w(n)

第一节数字滤波器的基本结构 二、直接Ⅱ型直接Ⅰ型可以看成是两个子系统H1(z)与H2(z)的级联，如果交换这两个子系统的级联顺序，系统函数不变。先实现极点，再零点。

第一节数字滤波器的基本结构 其流图结构为：

第一节数字滤波器的基本结构 第一个子网络实现系统极点，第二个子网络实现系统零点。由于两串行延时支路有相同输入，可以合并。对于N阶IIR系统，直接Ⅱ型只有N个延时单元，比直接Ⅰ型少，称其为典范形式/结构。

第一节数字滤波器的基本结构 例：三阶IIR数字滤波器写为：该系统的差分方程形式为

第一节数字滤波器的基本结构

第一节数字滤波器的基本结构 三、级联型级联型网络结构是将系统函数因式分解为若干个二阶数字滤波器的系统函数的乘积其中是一个一阶或二阶节数字滤波器，A为常数（二阶子系统可以使系数为实数）。

第一节数字滤波器的基本结构 每个实现级联型结构时一般都采用直接Ⅱ型结构作为子滤波器网络结构

第一节数字滤波器的基本结构 例：三阶IIR数字滤波器写为：

第一节数字滤波器的基本结构 级联结构特点： ①可准确实现零/极点 ②延时单元少 ③过于灵活，存在误差传递

第一节数字滤波器的基本结构 四、并联型把系统函数展成部分分式和的形式，即表示成若干个子滤波器相加的形式，就得到并联型IIR滤波器的基本结构。为一个常数，为一阶或二阶数字滤波器，其网络结构系数均为实数。一般形式为一般都采用直接Ⅱ型结构作为子滤波器网络结构

第一节数字滤波器的基本结构

第一节数字滤波器的基本结构 11.1.3 有限长单位脉冲响应系统(FIR)的基本结构 FIR系统的单位取样响应只有有限个非零值，系统函数可以表示为有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的特点是：（1）系统的单位取样响应有限长；（2）系统函数在z=0处有N-1阶极点，没有其它极点，零点可以在任何地方，是稳定系统（3）信号流图中主要是非递归结构，没有反馈支路。

第一节数字滤波器的基本结构 一、直接型直接形式可以从下列形式的卷积和式中直接推导出来：其信号流图为：

第一节数字滤波器的基本结构 2．级联型和IIR系统一样，FIR系统经过因式分解可以表示成若干个一阶或二阶滤波器的乘积。

第一节数字滤波器的基本结构 例：一个FIR系统函数为：因式分解后得该系统直接型和级联型结构图如图所示。

第一节数字滤波器的基本结构 作业： 11.1-1 (1) 11.1-2 (1) 11.1-3

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