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1. My name card • 暨南大学企业管理系 • 郝英奇教授 • Tel:85228931 13678976336 • Email:haoyq58@sina.com

2. OPERATIONS RESEARCH 运筹学Ⅰ ——怎样把事情做到最好

3. 第一章 绪论 • 1.1题解 Operations 汉语翻译 工作、操作、行动、手术、运算 Operations Research 日本——运用学 港台——作业研究 中国大陆——运筹学 Operational Research原来名称，意为军事行动研究——历史渊源

4. 绪论 • 1.2 运筹学的历史之一 ●早期运筹思想： 田忌赛马 丁渭修宫 沈括运粮 Erlang 1917 排队论 Harris 1920 存储论 Levinson 1930 零售贸易 康脱洛维奇 1939 LP

5. 绪论 • 1.2运筹学的历史之二 ●军事运筹学阶段 德军空袭 防空系统 Blackett 运输船编队 空袭逃避 深水炸弹 轰炸机编队

6. 绪论 • 1.2运筹学的历史之三 ●管理运筹学阶段 战后人员三分:军队、大学、企业 大学：课程、专业、硕士、博士 企业：美国钢铁联合公司 英国国家煤炭局 运筹学在中国：50年代中期引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题

7. 1.3运筹学的软方法与结构化方法 • 田忌赛马可以模型化，谓之结构化方法 • 丁渭修宫可否模型化？不能模型化的，恰恰真正体现了“运筹”的精髓，谓之软方法 • 广东人的软运筹： ●改革开放，中央计委分配资源，有资金、项目、政策，你要什么？ ●广东修路 ●珠海大学 ●西区开发 ●格兰仕、TCL

8. 1.4学科性质 • 应用学科 • Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化为基础的科学方法。 • Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、技术和工具，来处理一个系统运行中的问题，使系统控制得到最优的解决方法。 • 中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

9. 1.5定性与定量 • 例：店主进货 • 两者都是常用的决策方法 • 定性是基础，定量是工具，定量为定性服务。 • 定性有主观性也有有效性，定量有科学性也有局限性。管理科学的发展，定量越来越多。但定量不可替代定性。

10. 1.6运筹学的模型 • 模型：真实事物的模仿，主要因素、相互关系、系统结构。 • 形象模型：如地球仪、沙盘 • 模拟模型： 风洞实验;建港口，模拟船只到达;学生模拟企业管理系统运行。 • 数学模型：用符号或数学工具描述现实系统。V=F（xi,yj,uk) G(xi,yj,uk)≤(=≥)0

11. 1.7运筹学的学科体系 • 规划论：线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划、动态规划 • 图论与网络 • 存储论 • 排队论 • 决策论 • 对策论（博弈论） • 计算机仿真

12. 1.8运筹学的工作步骤 • 确定问题 • 搜集数据建立模型 • 检验模型 • 求解模型 • 结果分析 • 结果实施

13. 1.9运筹学与计算机 • 计算机为运筹学提供解题工具。 • 本书有现成的程序可以利用 • 要学会解题的思路与方法，建立模型很重要。

14. 小结：什么是运筹学？ • 有限资源的优化配置 • 专业基础课 • 工具性 • 关于精明的学问 • 如何聪明起来？

15. 第二章 线性规划与单纯形法 • 2.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，利用线性方程建立模型，合理分配和利用资源，以期取得最佳的经济效益的优化方法。 LP特征：一组有待决策的变量， 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。

16. 2.1.1 LP的数学模型 例题1—生产计划问题 • 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：

17. 例题1建模 • 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2≤200 原材料约束3X1+10X2≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0

18. 例题2——配方问题 • 养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每天至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配使用，饲料成分如下表：

19. 例题2建模 • 设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg…… • 目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5 约束条件 • 营养要求：3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700 x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 • 用量要求：x1≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 • 非负性要求：x1≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0

20. 例题3：人员安排问题 • 医院护士24小时值班，每次值班8小时。不同时段需要的护士人数不等。据统计：

21. 例题3建模 • 目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 • 约束条件： x1+x2≥70 x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 X6+X1≥60 非负性约束：xj≥0,j=1,2,…6

22. 归纳：线性规划的一般模式 • 目标函数：max(min)Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn • 约束条件：a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn ≤(= ≥)b1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn≤(= ≥)b2 … … … … am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn≤(= ≥)bm 非负性约束：x1≥0,x2 ≥0,…,xn ≥0

23. 2.1.2线性规划图解法 • 由中学知识可知：y=ax+b是一条直线，同理：Z=70x1+120x2→x2= Z/120 -70x1/120也是一条直线，以Z为参数的一族等值线。 约束条件9x1+4x2≤360 → x1 ≤360/9-4/9x2 是直线 x1=360/9-4x2/9 下方的半平面。所有半平面的交集称之为可行域，可行域内的任意一点，就是满足所有约束条件的解，称之为可行解。

24. 例1图示 x2 90 80 60 40 20 A . 9x1+4x2≤ 360 4x1+5x2≤200 B Z=70x1+120x2 C I H 3x1+10x2≤300 G x1 D E F 0 20 40 60 80 100

25. 概念 • 概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约束条件的解的集合，称为可行域。 3、基解：约束条件的交点称为基解（直观表述） 4、基可行解：基解当中的可行解（可行域的顶点）。 5、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这个集合。如：实心球、三角形

26. 结论 LP问题具有如下特点： • 可行域是个凸集 • 可行域有有限个顶点 • 最优值在可行域的顶点上达到 • 无穷多解的情形(参见P18） • 无界解情形（参见P19） • 无解情形

27. 2.1.3线性规划的标准型 • 代数式maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … … am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj≥0 j=1,2,…,n

28. 线性规划的标准型（续） n • 和式：maxZ=∑cjxj ∑aijxj=bi i=1,2,…,m xj ≥0j=1,2,…,n j=1 n j=1

29. 线性规划的标准型（续） • 矩阵式： maxZ=CX AX=b X ≥0 其中：b=(b1,b2,…,bm)T a11 a12 ….a1n A= a21a22 … a2n … … … am1am2 …amn

30. 标准型的特征 • 目标函数极大化 • 约束条件为等式 • 决策变量非负 • 右端项非负

31. 2.1.4基可行解 • 基的概念：如前所述LP标准型 矩阵式：maxZ=CX AX=b X ≥0 约束方程的系数矩阵A的秩为m，且m<n。设A=B+N ，B是A中mm阶非奇异子矩阵，则称B是LP的一个基，即：B是A中m个线性无关向量组。

32. 基解的概念 不失一般性,设B是A的前m列,即B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。 令所有非基变量等于零, 则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。

33. 基可行解的概念 • 基可行解：基解可正可负，负则不可行（违背非负性约束条件），称满足所有约束条件的基解为基可行解。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!

34. 例题6 基可行解说明 maxZ=70X1+120X2 P1 P2 P3 P4 P5 9X1+4X2+X3=360 9 4 1 0 0 4X1+5X2 +x4=200 A= 4 5 0 1 0 3X1+10X2+x5 =300 3 10 0 0 1 Xj≥0 j=1,2,…,5 这里m=3,n=5。 Cmn=10

35. 例题6 基可行解说明 • 基（p3,p4,p5），令非基变量x1,x2=0，则基变量x3=360, x4=200, x5=300, 可行解 • 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量x2=90,x4=－250,x5=－600. 非可行解 • 基（ p2,p3,p4），令非基变量x1,x5=0，则基变量x2=30, x3=240, x4=50,可行解（P17图）

36. 2.2 单纯形法 • 2.2.1初始基可行解的确定 从系数矩阵中找到一个可行基B，不妨设B由A的前m列组成，即B=(P1,P2,……Pm)。设初始基为单位阵： X1+ +a1m+1xm+1+…+a1nxn=b1 x2+ +a2m+1xm+1+…+a2nxn=b2 …………………………….. xm+amm+1xm+1+…+amnxn=bm 令非基变量为0，得基可行解 X(0)=(b1，b2，……bm，0，……0）T z0=∑cibi

37. 单纯形法 • 2.2.2最优性检验： 不失一般性,设LP经过迭代（即基变量与非基变量的转换），成为如下形式： X1+ +a’1m+1xm+1+…+a’1nxn=b’1 x1=b’1- ∑a’1jxj x2+ +a’2m+1xm+1+…+a’2nxn=b’2 x2=b’2- ∑a’2jxj …………………………….. …………….. xm+a’mm+1xm+1+…+a’mnxn=b’m xm=b’m- ∑a’mjxj

38. 单纯形法 n 一般性表示：xi=b’i－∑a’ijxj i=1,2,…m 将xi代入目标函数得：Z=∑ cjxj = ∑cixi+ ∑cjxj = ∑ci（ b’i－∑a’ijxj ） + ∑cjxj = ∑cibi’+ ∑(cj－∑cia’ij)xj 令：σj= cj－∑cia’ij z0=∑cibi’ 则Z=z0+ ∑ σj xj σj判别准则 ：所有σj ≤0时,达到最优解 j=m+1 n j＝1 m n j=m+1 i=1 n n m j=m+1 j=m+1 i=1 m n m j=m+1 i=1 i=1 m m n i=1 i=1 j=m+1

39. 单纯形法 • 2.2.2基变换 若存在σj ≥ 0，则取 max{σj} = σK，相应之非基变量XK若取非零，将使Z增加,故令XK进基。令XK≠0 ，其余非基变量保持为零。 XK原是非基变量，取零值， 若 XK≠0 将迫使某个原基变量为零，当XK取值超过任意b’i / a’ik时,将破坏非负性条件,于是令θL= min {b’i / a’ik a’ik >0 } =b’L/ a’Lk 。 σj ≥ 0

40. 单纯形法 这时原基变量XL=0，由基变量变成非基变量， a’Lk处在变量转换的交叉点上，称之为枢轴元素，或主元素。通过线性变换，使a’Lk＝1，同列其余元素为0，即得到一组新解 X(1)＝(x1,x2,…,0,…,xm,0, …,xk ,…,0)T 则称完成了一次基变换。

41. 单纯形法解题举例 单纯形表的格式：

43. 2.2.3单纯形法的计算步骤 • 找到初始可行基，建立单纯形表 • 计算检验数，若所有σj ≤0则得最优解，结束。否则转下步 • 若某σj≥ 0，而P’j≤0 ，则最优解无界，结束。否则转下步 • 根据max {σj} =σK 原则，确定XK进基变量；根据θ规则 ：θ = min {b’i / a’ik a’ik>0} = b’L/ a’Lk确定XL为出基变量 • 以a’Lk为枢轴元素进行迭代，回到第二步

44. 2.3单纯形法的进一步探讨★ • 2.3.1极小化问题直接求解：检验数的判别准则由所有σj ≤0 即为最优，变为所有σj ≥ 0则为最优。 • 人工变量法之一：大M法 人工变量价值系数M例： • 人工变量法之二：构造目标函数，分阶段求解例： • 2.3.2无穷多最优解情形：非基变量检验数 σj= 0 • 2.3.3退化解的情形：有两个以上 θ值相等

45. 2.3.4单纯形法的计算机求解 • 程序说明 • 应用举例 例题1 例题2

46. 2.5LP应用举例之一 • 例13合理下料问题 料长7.4米，截成2.9、2.1、1.5米各200根。如何截取余料最少？关键：设变量。

47. 应用举例之二 • 例14混合配方问题 A、B、C、D四种原料配制三种产品，三类约束：技术要求、原料限量、市场容量。已知产品价格和原料价格，求利润最大的配方。关键：设变量。

48. 应用举例之三 • 例15.滚动投资问题 兹有100万元闲钱，投资方向有四： D项目104% C项目125% B项目135% A项目110% 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 各年投资什么项目，使第五年末资本总额为最大？

49. 应用举例之四 • 例16 动态生产计划问题 工厂做n个月的生产计划，第j月需求量dj、正常生产能力aj、加班生产能力bj、正常生产成本cj、加班生产成本ej、库存能力为I、库存费用hj，设期初、期末库存为零。求费用最小的生产计划。 设第j月正常生产xj件，加班生产件yj，存储zj件。则： 本期生产+上期库存-本期库存=本期需求

50. 应用举例之四