หน่วยที่ 6 เวกเตอร์ และการประยุกต์

1. หน่วยที่ 6เวกเตอร์ และการประยุกต์ • เวกเตอร์เชิงเรขาคณิตและ การดำเนินการเบื้องต้น • เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก • การคูณเชิงเวกเตอร์

2. เวกเตอร์ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณทางกายภาพที่สามารถระบุขนาดหรือจำนวนหน่วยของปริมาณด้วยจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เรียกว่า ปริมาณสเกลาร์

3. สำหรับปริมาณทางกายภาพอีกประเภทหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับทั้งขนาดและทิศทาง เรียกว่า ปริมาณเวกเตอร์

4. ในเชิงเรขาคณิตแทนปริมาณเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์ที่เป็นส่วนของเส้นตรงที่มีหัวลูกศรในเชิงเรขาคณิตแทนปริมาณเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์ที่เป็นส่วนของเส้นตรงที่มีหัวลูกศร โดยใช้ความยาวของส่วนของเส้นตรง ซึ่งมีความยาวจำกัดแทนขนาด ใช้หัวลูกศรชี้บอกทิศทาง เรียกสัญลักษณ์ดังกล่าวว่า เวกเตอร์เชิงเรขาคณิต

5. เพื่อให้การกล่าวถึงเวกเตอร์เชิงเรขาคณิตมีความชัดเจน จะระบุจุดสองจุด จุดหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้น อีกจุดหนึ่งเป็นจุดปลาย เช่น A เป็นจุดเริ่มต้น B เป็นจุดปลายของเวกเตอร์ B A

6. B A ความยาวของ แทนขนาดของด้วย เวกเตอร์ AB แทนด้วย

7. B D R F Q P A C E S การเท่ากันของเวกเตอร์ บทนิยามเวกเตอร์เชิงเรขาคณิตสองเวกเตอร์เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน

8. = มีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกัน  มีทิศทางเดียวกัน แต่ขนาดไม่เท่ากัน มีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้ามกัน  B D R F Q P A C E S มีขนาดและทิศทางต่างกัน 

9. บทนิยามเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้น และจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์ แทนด้วย เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 0 โดยทั่วไปจะไม่กล่าวถึงทิศทางของ ถ้าจะกล่าวถึงให้ถือว่ามีทิศทางใดก็ได้ เวกเตอร์ศูนย์

10. B D R F Q P A C E S การขนานกันของเวกเตอร์ เวกเตอร์สองเวกเตอร์ขนานกันก็ต่อเมื่อมีทิศทางเดียวกัน หรือมีทิศทางตรงข้ามกัน

11. และ // // , และ มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน ใช้สัญลักษณ์ // , B B D R F A A C E S

12. ถ้า เป็นเวกเตอร์เชิงเรขาคณิตใดๆ จะแทนเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากันกับ แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ ด้วย B B A A

13. A B 40 เมตร ถ้าวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด B เป็นระยะทาง 40 เมตร

14. C 30 เมตร A B 40 เมตร ถ้าวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด B เป็นระยะทาง 40 เมตร แล้วเคลื่อนที่จากจุด B ไปจุด C ในแนวตั้งฉากกับ AB เป็นระยะทาง 30 เมตร B

15. C 30 เมตร A B 40 เมตร 50 เมตร ถ้าวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด B เป็นระยะทาง 40 เมตร แล้วเคลื่อนที่จากจุด B ไปจุด C ในแนวตั้งฉากกับ AB เป็นระยะทาง 30 เมตร ผลลัพธ์จากการเคลื่อนที่ทั้งสองครั้งนี้เท่ากับการที่วัตถุเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด C เป็นระยะทาง 50 เมตร

16. C 30 เมตร A B 40 เมตร 50 เมตร การเคลื่อนที่ของวัตถุนี้เป็นเป็นปริมาณที่สามารถใช้เวกเตอร์เชิงเรขาคณิตแทนได้ ให้ , และ แทนการเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด B จากจุด B ไปถึงจุด C และจากจุด A ไปถึงจุด C ตามลำดับ

17. C 30 เมตร A B 40 เมตร 50 เมตร เรียก ว่า ผลรวม หรือผลบวกของ และ ใช้สัญลักษณ์ = + = = 50 เมตร

18. ชายสองคนต้องการเคลื่อนที่เรือ (Q) ในคลองที่ตื้นเขิน ทั้งสองคนอยู่บนฝั่งเดียวกัน คนหนึ่ง (R) ลากจูงเรือด้วยการดึงเชือกแล้วเดินไปข้างหน้า อีกคน (P) ใช้ไม้ถ่อค้ำเรือให้เดินหน้า และไม่ให้เรือเข้ามากระทบฝั่ง ผลของการใช้แรงกระทำกับเรือของทั้งสองคนทำให้เรือแล่นไปข้างหน้าตามลำคลอง

19. Q S R P แทน แรงที่ชายคนหนึ่งผลักดันเรือ แทน แรงที่ชายอีกคนหนึ่งฉุดดึงเรือ แทน แรงที่เป็นผลรวมของแรงที่ทำให้เรือ แล่นไปข้างหน้า

20. A Q S C O R P B กล่าวคือ ให้ = , = และ = เขียนแผนภาพใหม่ โดยให้แรงที่กระทำกับเรือมีจุดเริ่มต้นที่เดียวกัน

21. จะได้ว่า OACB เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยมีส่วนของเส้นตรง OC เป็นเส้นทะแยงมุมจะได้ A C O B ดังนั้น = จะได้ = + = + ผลบวกนี้เป็นไปตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน

22. ถ้า และ เป็นเวกเตอร์เชิงเรขาคณิต ที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดเดียวกัน คือที่จุด O A C O B กฏสี่เหลี่ยมด้านขนานของการบวกเวกเตอร์ สร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน OACB โดยมีส่วนของเส้นตรง OC เป็นเส้นทะแยงมุม

23. ผลบวกของ และ เท่ากับเวกเตอร์ผลลัพธ์ เขียนแทนด้วย + = ผลบวกนี้เป็นไปตามกฏสี่เหลี่ยมด้านขนาน A C O B

24. จะเห็นว่า มีจุดเริ่มต้นที่จุดปลายของ เวกเตอร์ผลลัพธ์ มีจุดเริ่มต้นเดียวกันกับ และมีจุดปลายเดียวกันกับ A C O B ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และขนานกันดังนั้น = จะได้ + =

25. บทนิยามถ้า และ เป็นเวกเตอร์เชิงเรขาคณิตใดๆ ผลบวกของ และ เขียนแทนด้วย เป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A และมีจุดปลายที่จุด E โดยมีการสร้าง ดังรูปต่อไป D A C B การบวกเวกเตอร์

26. เมื่อสร้าง = จะได้ + = + = D A C B E

27. F D E C B A จงหาผลบวกของ , และ หรือหา + + จากรูปที่กำหนดให้

28. 1. ที่จุด B บน สร้าง = F Q D P E C B A 2. ที่จุด P บน สร้าง = จะได้ + + = + + = เป็นเวกเตอร์ผลลัพธ์

29. B B C C C A A D D D + จากรูปที่กำหนดให้ จงหา +

30. B B B C C A A A จงหา + D D + จากรูปที่กำหนดให้

31. บทนิยาม ถ้า เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ n เป็นสเกลาร์ 1. ถ้า n0 และ แล้ว มีทิศทางเดียวกันกับ 2. ถ้า n0 และ แล้ว มีทิศทางตรงข้ามกับ 3. ถ้า n=0 แล้ว 4. ขนาดของ เท่ากับเมื่อ n คือ ค่าสัมบูรณ์ของ n การคูณสเกลาร์กับเวกเตอร์

32. กำหนด ดังรูป จงหาเวกเตอร์ และ

33. ถ้า และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ m และ n เป็นสเกลาร์ 1. (0) = 2. (1) = 3. m(n ) =(mn) 4. (m + n) =m + n 5. m( + ) =m + m สมบัติเบื้องต้นของการคูณสเกลาร์กับเวกเตอร์

34. บทนิยามถ้า และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ขนานกับ เขียนแทนด้วย// ก็ต่อเมื่อ มีสเกลาร์ m  0ที่ทำให้ การขนานกันของเวกเตอร์

35. ถ้า เป็นเวกเตอร์ใดๆ ที่ไมเป็นศูนย์จะได้ว่า เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย บทนิยามเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย เรียกว่าเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

36. เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี ทิศทางเดียวกับ

37. บทนิยามถ้า และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ผลต่างของ กับ เขียนแทนด้วย - หมายถึง+ + = - ผลต่างของเวกเตอร์

38. เราอาจหาเวกเตอร์ผลต่าง และได้ง่ายๆ โดยใช้แผนภาพที่มีจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสองเป็นจุดเดียวกัน

39. ถ้า , และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ m และ n เป็นสเกลาร์ 1. 2. สมบัติเบื้องต้นของการบวกเวกเตอร์ สมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

40. 3. 4. 5. สมบัติการแจกแจง สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก

41. บทนิยามผลคูณสเกลาร์(scalar product หรือ dot product) ของเวกเตอร์และ เขียนแทนด้วยกำหนดดังนี้เมื่อ  เป็นมุมระหว่าง และ โดยที่ 0   180 การคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์

42. ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม   ด้านประชิดมุม  พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก cos 0= 1 cos 90= 0

43. กำหนดจุด M(8, 6) และ N(11, 0) บนระนาบในระบบพิกัดฉาก จงหา y M(8, 6) N(11, 0)  X O

44. จากรูป จะได้ Y N(11, 0)  X O P M(8, 6) 10 หน่วย 6 หน่วย 8 หน่วย

45. ถ้า , และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ m และ n เป็นสเกลาร์ 1. สมบัติการสลับที่ 2. สมบัติการแจกแจง 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม 4. กำลังสองของขนาดของเวกเตอร์ 5. อสมการของโคชี-ชวาร์ช 6. อสมการสามเหลี่ยม สมบัติเบื้องต้นของผลคูณเชิงสเกลาร์

46. บทนิยามถ้า และ ตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากับหนึ่งมุมฉาก หรือ 90 องศา ถ้า และ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ ตั้งฉากกับ ก็ต่อเมื่อ การตั้งฉากกันของเวกเตอร์

47. บทนิยามเวกเตอร์ คือคู่อันดับ (a, b) เขียนแทนด้วย เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง เรียก aว่าองค์ประกอบที่หนึ่ง และเรียก b ว่าองค์ประกอบที่สอง เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ

48. ในเชิงเรขาคณิต สามารถแทนเวกเตอร์ซึ่งมีจุดเริ่มต้นที่จุด O(0, 0) และมีจุดปลายที่ A(a, b) ด้วย Y A(a, b) b O X a สำหรับเวกเตอร์ศูนย์ใน R2 เป็นเวกเตอร์ที่ทั้งสององค์ประกอบเป็น 0 กล่าวคือ

49. กำหนด จงหา ขนาดของเวกเตอร์ บทนิยามเมื่อ เป็นเวกเตอร์ใน R2ขนาดของ กำหนดดังนี้

50. บทนิยามเมื่อ และ เป็นเวกเตอร์ใน R2กล่าวว่า ก็ต่อเมื่อ a1= a2และ b1= b2 การเท่ากันของเวกเตอร์