Теория вероятностей и математическая статистика

1. Теория вероятностей и математическая статистика Занятие 5. Основные числовые характеристики случайных величин Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н., Шерстнёва Анна Игоревна

2. Дискретныеи непрерывныеслучайные величины. Дискретная случайная величина: принимает отдельные, изолированные значения. Непрерывная случайная величина: возможные значения целиком заполняют некоторый промежуток. f (x)= F’(x) F(x) = p(X < x) плотность распределения функция распределения

3. 1. Математическое ожидание Возможные значения случайной величины сосредоточены вокруг некоторого среднего значения этой случайной величины. Для характеристики этого среднего значения и служит математическое ожидание. Для дискретной и непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется по-разному.

4. X x1 x2 … xn Пусть p p1 p2 … pn Если случайная величина Х принимает бесконечное множество значений, то Определение.Математическим ожиданиемдискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех возможных значений этой случайной величины на соответствующие им вероятности. Обозначается М(Х).

5. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближённо равно средне-му арифметическому значений случайной величины. Пусть n – количество испытаний (достаточно большое). Найдём среднее арифметическое всех значений:

6. Определение. Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определённый интеграл f(x) – плотность распределения случайной величины Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ox, то

7. 2. Дисперсия Пример. , но X и Y сильно отличаются Нужна оценка рассеяния возможных значений случайной величины от математического ожидания.

8. Вопрос: можно ли для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вычислить отклонения каждого из этих значений от математического ожида-ния и затем найти их среднее? 1 0

9. Определение. Дисперсиейслучайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания:

10. 1. Дискретная случайная величина

11. Пример. Способ 1. Х 2 5 7 р (Х–М(Х))2 9 0 4 4 Х 2 25 49 Способ 2.

12. 2. Непрерывная случайная величина По определению Но

13. 3. Среднее квадратическое отклонение Определение.Средним квадратическим отклоне-ниемслучайной величины Х называют корень из её дисперсии:

14. 4. Начальный момент порядка k – дискретная – непрерывная Начальный момент первого порядка: – математическое ожидание

15. 5. Центральный момент порядка k – дискретная – непрерывная Центральный момент второго порядка: – дисперсия

16. 6. Мода Для дискретной случайной величины мода – это наиболее вероятное по сравнению с двумя соседними значение. 0,24 0,36 0,20 < > Мода: 20

17. Для непрерывной случайной величины мода – значение, при котором плотность распределения f(x) достигает максимума.

18. У случайной величины может быть несколько мод. Распределения с одной, двумя или большим чис-лом мод называются соответственно унимодаль-ными, бимодальнымиили мультимодальными.

19. 7. Медиана такое число m, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше m или больше m, то есть Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная плотностью распределения, делится пополам. Площадь всей фигуры: 1 ½ ½

20. 8. Квантиль уровня р такое число хр, что F(x) – функция распределения F-1(x) – функция, обратная к функции распределения Квантиль уровня 0.5 – это медиана. Квантили уровней ¼, ½, ¾ называют соответственно первым, вторым и третьим квартилями. Квантили уровней 0.1, 0.2, 0.3, …, 0.9 называют децилями. Квантили уровней 0.01, 0.02, 0.03, …, 0.99называют процентилями.

21. Основные дискретные распределения 1. Биномиальное распределение Возможные значения: k = 0, 1, 2, …, n р – параметр распределения p(k) = pk(1 – p)n-k Cnk М(Х) = np D(Х) = npq 2. Распределение Пуассона Возможные значения: k =0, 1, 2, …, n λ – параметр распределения

22. 3. Геометрическое распределение Возможные значения: все натуральные числа k = 1, 2, 3, … p(k) = (1 – p)k-1p р – параметр распределения 4. Гипергеометрическое распределение Возможные значения: k =0, 1, 2, …, min (M,n) N, M, n – параметры распределения

23. Основные непрерывные распределения 1. Показательное распределение λ – параметр распределения 2. Равномерное распределение a, b – параметры распределения

24. 3. Нормальное распределение a, σ – параметры распределения

25. Контрольные вопросы • Какопределяется математическое ожидание дискретной случайной величины? • Какопределяется математическое ожидание непрерывной случайной величины? • Какой вероятностный смысл математического ожидания? • Что такое дисперсия случайной величины? • Что характеризует дисперсия? • Какопределяется дисперсия дискретной случайной величины? • Какопределяется дисперсия непрерывной случайной величины? • Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины? • Как определяются начальные моменты порядка k? • Чем является начальный момент первого порядка?

26. Контрольные вопросы • Как определяются центральные моменты порядка k? • Чем является центральный момент второго порядка? • Что такое мода дискретной случайной величины? Непрерывной? • Как определяется медиана случайной величины? • Приведите геометрическую иллюстрацию медианы. • Что такое квантили уровня p? • Чему равны математические ожидания и дисперсии основных дискретных и непрерывных распределений?