Chapitre VIII. Introduction aux graphes

1. Chapitre VIII.Introduction aux graphes Définitions Structures de données Connexité Arbre couvrant de poids minimal Parcours des graphes orientés

2. 2 3 4 1 DéfinitionsGraphes orientés • Un graphe orienté : • - ensemble des sommets • - ensemble des arcs : relation binaire sur N • Exemple : N=?, A=?

3. Arcs et sommets - l’extrémité initiale (début) - l’extrémité terminale (fin) est un prédécesseur de est un successeur de

4. Etiquettes • Etiquettes • Le nom d’un sommet doit être unique dans un graphe • Plusieurs sommets peuvent avoir la même étiquette Est fille de 1 2 Anne Claude

5. Chemins • Un chemin dans un graphe orienté est une liste • La longueur d’un chemin est k-1 = nbr arcs faisant partie du chemin • Le cas trivial k=1: tout sommet n isolé est un chemin de longueur zéro de n à n

6. 2 3 4 1 Graphes cycliques et acycliques • Un cycle dans un graphe orienté est un chemin de longueur 1 ou plus qui part et aboutit au même sommet • Un chemin trivial (l=0) n’est pas un cycle • Une chemin composé d’un seul arc est un cycle de longueur 1 Si un graphe a un ou plusieurs Cycles on l’appelle « graphe cyclique » Sinon « acyclique »

7. Problème • Dans un graphe orienté- itinéraire représenté sous forme d’une liste simplement chainée supprimer tous les cycles

8. Graphes non-orientés • Une arête est un ensemble de deux sommets • L’arête indique que les sommets sont liés dans deux directions • Les sommets sont dits adjacents • Un graphe ayant des arêtes, c’est –à-dire possédant une relation symétrique des arcs est appelé un graphe non-orienté

9. Structures de données • (1) Listes d’adjacence • Type Liste =^maillon • Maillon=Enregistrement • IdNoeud : Nœud {entier- pour simplifier} • Suivant: Liste • Fin • Nœuds : tableau[1…N] de Liste

10. Exemple 5 7 1 2 1 3 2 4 5 6 4 6 3 7 Graphe orienté 8 7

11. Matrice d’adjacence • arcs : tableau[1..N][1..N] de Booléen

12. 5 Représentation d’un graphe non-orienté 7 1 2 1 Transformer le GO en GNO! 3 2 4 5 6 4 6 3 7 8 7 Principe : remplacer chaque arête par les arcs allant dans deux directions, matrice d’adjacence est symétrique

13. Connexité(1) • Composante connexe : ensemble de sommets pour lesquels il existe un chemin entre tout sommet et n’importe quel autre sommet • Une composante connexe est maximale : aucun sommet faisant partie d’une composante connexe ne possède un chemin vers un sommet en dehors de la composante connexe • Si un graphe consiste en une seule composante connexe, alors on l’appelle graphe connexe

14. Connexité(2) • Connexité est une relation d’équivalence définie sur les sommets du graphe non-orienté P: • niPnjssi il existe un chemin de nivers nj • 1) Réflexive : nPn pour tout sommet n puisqu’il existe un chemin de longueur 0 entre tout sommet et lui-même • 2) Symétrique : si niPnj alors il existe un chemin de nivers nj. Puisque le graphe est non-orienté, la séquence inverse de sommets est aussi un chemin. Donc njPni • 3) Transitive : si niPnj et njPnk alors niPnj.

15. Algorithme pour construire les composantes connexes(1) • Principe : • - Commencer par le graphe G0 composé des sommets de G avec aucune arête. • - Considérer les arêtes de G une par une pour construire une séquence des graphes G0, G1, G, … où Gi est composé des sommets de G et des i premières arêtes de G

16. Algorithme pour construire les composantes connexes(2) • La base : la liste des arêtes non-utilisées est vide • Initialisation. G0 est seulement composé des sommets de G sans arêtes. Chaque sommet est une composante connexe. • La récurrence. On suppose qu’on a les composantes connexes du graphe Gi après avoir considéré les i premières arêtes. Considérons i+1 ère arête (ni, nj) • 1. Si ni et nj font partie de la même composante de Gi , alors Gi+1 a le même ensemble des composantes connexes. • 2. Si ni et nj font partie de composantes différentes, on fusionne les composantes contenant ni et nj afin d’obtenir les composantes connexes pour Gi+1 • Lorsqu’on a considéré toutes les arêtes de cette manière, on obtient les composantes connexes du graphe G

17. Construction des composantes connexes (2) • Problèmes à résoudre : • (1) Etant donné un sommet, trouver sa composante courante • (2) Fusionner deux composantes en une seule • Choix de structures de données : chaque composante connexe d’un graphe sera représentée par un arbre. • Le résultat de l’algorithme : une forêt des arbres

18. Construction des composantes connexes(3) 2 3 1 1 2 4 5 6 6 3 7 7 4 8 8 Deux polygones sont considérés adjacents ssi ils ont une arête commune 5

19. 1 7 2 6 3 4 2 5 6 4 6 1 6 5 4 8 Construction des composantes connexes(4) O 1 2 3 4 5 6 7 8 J BC Ve R Vi B Ro

20. Construction des composantes connexes(5) • Liste des arêtes

21. Structures de données(1) • -Liste d’adjacence • -Liste des arêtes. • -Liste des nœuds d’un arbre • Type ListeArêtes = ^Arête • Arête = Enregistrement • noeud1, noeud2 : TypeNoeud • Suivant : ListeArêtes • FinEnregistrement • Arêtes : ListeArêtes • Tout sommet du graphe doit posséder un nœud d’arbre correspondant • TypeNœud peut être une étiquette de nœud (entier)

22. Structures de données(2) • Type PtrNoeudArbre = ^NoeudArbre • NoeudArbre = Enregistrement • père : PtrNoeudArbre • hauteur: entier • Fin Enregistrement • Nœuds: Tableau[1..n] de PtrNoeud • Ce tableau associe un nœud dans un arbre général à chaque sommet du graphe

23. Fonctions auxiliaires • (1)Fonction TrouveRacine( a: nœud): PtrNoeudArbre • { renvoie la racine de l’arbre contenant le nœud x correspondant au sommet courant du graphe} • Var Racine, Courant : PtrNoeudArbre; • Début • Racine : = nœuds[a]; • TQ Racine.père<>NIL faire • Racine:=Racine^.père; FTQ Retourner Racine FinTrouveRacine

24. Fonctions Auxiliaires (2) • (2)Procédure FusionArbres(x,y,: PtrNoeudArbre) • {fusionne les arbres dont les racines sont x et y, en faisant devenir racine du plus bas le descendant de la racine du plus haut} • Var pbas, phaut : PtrNoeudArbre • Début • Si x^.hauteur>y^.hauteur alors phaut:=x pbas=:=y sinon phaut:= y pbas:=x FSi pbas^.père:= phaut; Si pbas^.hauteur = pahaut^.hauteur alors phaut^.hauteur:=phaut^.hauteur+1 FSI FinFusionArbres

25. Algorithme de construction des composantes connexes • Soient G – le graphe contenant n sommets, e: sa liste des arêtes « arêtes » • 1) Initialiser n arbres • 2)Pour toutes les arêtes dans la liste : • Si les extrémités sont dans deux arbres différents, fusionner les composantes-arbres.

26. Algorithme de construction des composantes connexes(2) • Procédure CompCon(réf Noeuds : Tableau [1..n]de PtrNoeuds; arêtes : ListeArêtes) • Var u:TypeNoeud • a,b: PtrNoeudArbre • e:ListeArêtes • Pour u de 1 à n faire • new(Noeuds[u]) • Nœuds[u].père:=NIL • Nœuds[u].hauteur:=0; • FPour • e:=arêtes • TQ e<>NIL faire • a:=TrouveRacine(e^.noeud1) • b:=TrouveRacine(e^.noeud2) • Si a<>b alors • FusionArbres(a,b); FSi • E:=e^.suivant • FTQ • FinCompCon

27. Analyse • Après l’exécution le tableau « Nœuds » code les arbres-composantes-connexes. • Temps d’exécution • (1) FusionArbre : le chemin de n’importe quel nœud d’un arbre construit par la procédure FusionArbre : le temps est inférieur à log(n). Alors TrouveRacine prend un temps en O(log(n)) • (2) Procédure FusionArbres : O(1) • (2)Initialisation (boucle Pour) O(n) • (3)Boucle while : O(mlog(n)), m – nombre des arêtes • O(n+mlog(n)) • En général donc O(n+mlog(n)) –cas spécifiques • - absence des arêtes O(n) • - fortement connexe O(mlog(n))

28. Arbre couvrant de poids minimal • Soit W={wi,j} l’ensemble des « poids » des arêtes du graphe G. • Nous allons nous limiter aux graphes connexes • Un arbre couvrant (non-ordonné, sans racine = un graphe non-orienté n’ayant pas de cycles) • Un arbre couvrant pour un graphe non-orienté G est composé des sommets de G avec un sous-ensemble des arêtes de G qui • relient les sommets : il existe un chemin entre tous les sommets, pris deux par deux, en prenant uniquement les arêtes de l’arbre couvrant • forment un arbre sans racine, non-ordonné • Un arbre couvrant de poids minimal: la somme des poids des arêtes est la plus petite que possible

29. Algorithme de Kruskal • 1. Considérer les arêtes dans l’ordre croisant de leurs poids • 2. Considérant les arêtes, • Si une arête possède ses deux extrémités dans des composantes différentes, alors • on sélectionne cette arête pour l’arbre couvrant et on fusionne les composantes de la même façon que dans l’algorithme de construction des composantes connexes. • sinon • on ne sélectionne pas l’arête pour l’arbre couvrant.

30. Parcours des graphes orientés(1) • Recherche en profondeur (dfs) • Principe : similaire au parcours en profondeur des arbres. • Pb : existence des cycles ( possibilité de boucler à l’infini!) • Solution : marquer les sommets visités • Structures de données : Graphe : tableau de sommets avec des listes d’adjacence

31. Parcours des graphes orientés(2) • Type Liste =^maillon • Maillon=Enregistrement • IdNoeud : Nœud {entier} • Marque: (visité, non-visité) • Suivant: Liste • Fin • Graphe : tableau[1…N] de Liste

32. Parcours des graphes orientés(3) • Parcours en profondeur • Procédure dfs(G: Graphe; u: entier){numéro du nœud ) • Var p:Liste {liste d’adjacence du nœud u} • V: entier {sommet dans la cellule sur lequel pointe p} • Début • G[u].Marque:=Visité • p:=G[u].suivant • TQ p<>NIL faire v:=p^.IdNoeud Si G[v].Marque:=Non-visité alors dfs(v) FSi p:=p^.suivant FTQ Findfs • Le temps d’exécution est proportionnel au nombre des arcs explorés. • Version itérative :utilisation d’une pile de parcours

33. Parcours des graphes orientés(4) • Parcours en largeur : visiter d’abord tous les voisins du sommet courant qui n’ont pas été marqués • Procédure bfs( G : graphe, u:entier) • Var v,w,i: entiers • F: file • Début • F:=file-vide; G[u].Marque:=Visité • Enfiler(F,u) • TQ non est-vide(F) faire • v: = premier(F); Defiler(F); • p:=G[v].suivant • TQ p<>NIL faire • w:=p^.IdNoeud • Si G[w].Marque:=Non-visité • alors • G[w].Marque=Visité • Enfiler(F,w) • FSi FTQ • FTQ Finbfs