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实验七 最优化方法

一、线性规划的概 念. 二、线性规划的图解法. 三、用 MATLAB 优化工具箱解线性规划. 四、整数规划. 实验七 最优化方法. 实验 7.1 线性规划. 设计化生产甲产品 件 ，乙产品 件，满足条件. 且使 达到最大. 一、线性规划的概 念. 例 1 资源的最佳利用问题：某工厂有 A 、 B 、 C 、 D 四种机床，可生产甲、乙两种产品．一件产品需经各台机床加工的时间和利润情况如表所示，问如何安排生产才能使得到的利润最高？.

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实验七 最优化方法

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Presentation Transcript

  1. 一、线性规划的概 念 二、线性规划的图解法 三、用MATLAB优化工具箱解线性规划 四、整数规划 实验七 最优化方法 实验7.1 线性规划

  2. 设计化生产甲产品 件 ，乙产品 件，满足条件 且使 达到最大 一、线性规划的概 念 例1资源的最佳利用问题：某工厂有A、B、C、D四种机床，可生产甲、乙两种产品．一件产品需经各台机床加工的时间和利润情况如表所示，问如何安排生产才能使得到的利润最高？

  3. 设由砖厂Ai运往工地Bj的运量为 （单位：万块），问题的数学模型为：求 的值，要求满足条件： 且使 具有最小值。 例2运输问题：设有两个砖厂A1、A2，生产砖产量分别为23万块与27万块，将砖供应B1、B2、B3三个工地，其需要量分别为17万块、18万块和15万块，自产地到工地的运价如表所示

  4. 以上两个例子，虽然有着不同的实际内容，但它们都具有三个共同的特征：以上两个例子，虽然有着不同的实际内容，但它们都具有三个共同的特征： ①　需要确定一组变量的值，这些变量通常称为决策变量，简称变量，它们通常是非负的. ②　对于决策变量，存在着可用一组线性等式或不等式来表达的限制条件，这些条件称为约束条件. ③　有一个可以表示为决策变量的线性函数的目标要求，这一函数称为目标函数．按问题的不同要求，可要求目标函数达到最大值或最小值． 在线性约束条件下，要求一组决策变量的值，使线性目标函数达到最大值或最小值的问题，就叫做线性规划问题，常用符号LP(Linear Programming )表示。

  5. 线性规划的一般数学模型为：求决策变量 的一组值，满足约束条件 或 使目标函数 达到所要求的最小值maxz或最小值minz. 也称非负条件，有时对某些变量没有非负要求，cj 称为价值系数，满足约束条件的决策变量的一组值，称为线性规划的可行解，使目标函数达到所要求的最大值或最小值的可行解，成为线性规划的最优解，也就是线性规划的解，其线性规划的解的过程叫做解线性规划。

  6. 标准形式 矩阵形式

  7. 例1 约束条件 目标函数 二、线性规划的图解法 解：如图可行域：OABCD 当红线移动到B(4,2)时，z 达到最大值14 注：线性规划有唯一解、无穷解或无解这三种情况．对于决策变量两个以上的线性规划就不能用图解法，最常用、最有效的算法之一是单纯形方法。

  8. 模型1 命令 x=linprog(c,A,b) 模型2 命令 x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 三、用MATLAB优化工具箱解线性规划 注：若没有不等式Ax≤b存在，则令A=[ ]，b=[ ]

  9. 模型3 命令 x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0) [x,fval=linprog(…)返回最优解x及x处的目标函数值fval 注：1.若没有等式约束Aeqx=beq，则令Aeq=[ ]， beq=[ ] 2.其中X0表示初始点

  10. 例1 且使 达到最大 A=[1 1;1 2;1 0;0 1]; b=[6,8,4,3]; c=-[2,3]; A1=[]; b1=[]; v1=[0,0]; x=linprog(c,A,b,A1,b1,v1) ↙ Optimization terminated. x = 4.0000 2.0000 [x,fval]=linprog(c,A,b,A1,b1,v1) ↙ Optimization terminated. x = 4.0000 2.0000 fval = -14.0000

  11. 且使 具有最小值。 例2 x = 0 8.0000 15.0000 17.0000 10.0000 0 z = 3.6500e+003 a=[1,1,1,0,0,0;0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1]; b=[23,27,17,18,15]; c=[50,60,70,60,110,160]; v1=zeros(1,6); [x,feval]=linprog(c,[],[],a,b,v1) ↙

  12. 例3解线性规划 目标函数 a=[-2,1;1,-1]; b=[4,2]; c=-[1,1]; v1=[0,0]; x=linprog(c,a,b,[ ],[ ],v1) ↙ Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error has stalled: the dual appears to be infeasible (and the primal unbounded). (The primal residual < TolFun=1.00e-008.) x = 1.0e+009 * 1.4007 2.8007 表明此线性规划无最优解

  13. 四、整数规划 当线性规划中要求决策变量为整数解时，称为整数规划，MATLAB中没有解整数规划的命令，但可以先解线性规划，再在它的最优解附近试探。 例4某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少80人，周六至少90人．现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少．如果周日的需求量由80增至90人，方案怎样改变． 解：先考虑只聘用全时雇员的方案，设周一到周日每天聘用的人数为x1,x2,…,x7,由于每人连续工作5天，所以周一工作的雇员应是周四到周一聘用的，按照需要至少50人，于是

  14. Optimization terminated. x = 0.0000 10.0000 30.0000 10.0000 30.0000 10.0000 0.0000 fval = 90.0000 c=ones(1,7); a=ones(7); a1=triu(a,1);a3=triu(a,3);a5=tril(a,-5); A=-(a-a1+a3-a5); b=-[50 50 50 50 80 90 80]; v1=zeros(1,7); [x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],v1)↙ 即周二、四、六各聘用10人，三、五各聘用30人，共聘用90人。

  15. 如果周日的需求量由80人增至90人，计算结果为如果周日的需求量由80人增至90人，计算结果为 x = 0.0000 3.3333 33.3333 10.0000 33.3333 10.0000 3.3333 fval = 93.3333 必须处理出现小数的问题，若将小数全部进位，聘用方案为（0，4，34，10，34，10，4），共96人，这不是最优的，实际上可以发现有只用94人的方案：（0，3，34，10，34，10，3）或（0，4，33，10，33，10，4）．

  16. 实验任务 1.某厂用两台机床加工三种零件，情况如下表所示，问怎样安排两台机床一个生产周期的加工任务，才能使加工成本最低？

  17. 2.有四个煤产地A1,A2,A3,A4,今年产量（单位：万吨）分别为35，45，55，65；有6个销地B1~B6 ，今年销量分别为40，20，30，40，30，40，预计明年6个销地的销量各增加5万吨。计划部门为了使产销平衡，打算增加年产30万吨的采煤设备，把它分别拨给煤产地A1,A2,A3,A4使用，因此增加了生产成本（单位：万元）分别为20，30，15，25。问应将这套设备拨给哪个产地能使增加的总成本（生产成本和运输成本）最低？运价如下表：

  18. 一、非线性规划的概念 二、二次规划 三、无约束非线性规划 四、带约束非线性规划 实验7.2 非线性规划

  19. 一、非线性规划的概念 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题，一般来说，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 我们先来讨论最简单的非线性规划——二次规划

  20. 二、二次规划 二次规划（Quadratic Programming ，记作QP）指目标函数是二次函数，约束条件为线性的，其一般形式为： 其中，x，A，b，Aeq，beq与线性规划相同；H为n 阶对称矩阵。

  21. 例1求解 解二次规划的命令： x=quadprog (H,c,A,b) x=quadprog (H,c,A,Aeq,beq) x=quadprog (H,c,A, Aeq,beq,VLB,VUB) x=quadprog (H,c,A, Aeq,beq,VLB,VUB,X0) [x,fval] =quadprog (H,c,A,b,…)

  22. H=[1,-1;-1,2]; c=[-2,-6]; A=[-1,2;2,1];b=[2;3]; Aeq=[1,1];beq=[2];VLB=[0,0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)↙ Optimization terminated. x = 0.6667 1.3333 z = -8.2222

  23. 三、无约束非线性规划 无约束非线性规划的一般形式是 其中 f 可以是非线性的，这实际上就是多元函数极值问题 1.求单变量有界非线性函数在区间上的极小值 [x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2,options) 它的返回值是极小点 x 和函数的极小值，这里fun是用M文件定义的函数或MATLAB中的单变量数学函数.

  24. 在[0，8]上的最大值与最小值． 例2求 解先编写文件“f．m”定义函数： function y=f(x) y=2*exp(-x)*sin(x)； 在MATLAB命令窗口中输入： [xmin,ymin]=fminbnd('f',0,8) ↙ xmin = 3.9270 ymin = -0.0279

  25. 要求最大值，只需对 -f（x）求最小值 f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; [xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8) ↙ xmax = 0.7854 ymax = -0.6448 故最大值为0.6448，最小值为-0.0279

  26. 2.求多变量函数的极小值 [x,fval]=fminunc(fun,x0,options,p1,p2,…) 它的返回值是向量x的值和函数的极小值。fun是一个M文件，x0是向量x的初始值，options是优化参数，p1,p2是可以传递给fun 的一些参数。

  27. 例3求最小值 解 编写M文件 function f=fun1(x) f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); x0=[-1,1]; x=fminunc(‘fun1’,x0) ↙ x = 0.5000 -1.0000 y=fun1(x) ↙ y = 1.4644e-015

  28. 四、带约束非线性规划 带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫约束规划问题。 带约束非线性规划的一般形式为 标准型为

  29. 例4求 用MATLAB解非线性规划的一般步骤是 （1）建立M文件，定义目标函数 （2）若约束条件中有非线性约束：C(x)<=0或Ceqx=0，则建立M文件定义函数C(x)与Ceq(x) （3）建立主程序，非线性规划求解的函数是fmincon

  30. 解 先建立M文件fun1.m,定义目标函数 function f=fun1(x) f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 再建立M文件mycon.m,定义非线性约束 function [g,ceq]=mycon(x) g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10]; ceq=0; 主程序为 x0=[-1,1];A=[];b=[]; Aeq=[1,1];beq=[0]; vlb=[];vub=[]; [x,fval]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon') ↙

  31. x = -1.2247 1.2247 fval = 1.8951

  32. 实验任务 1.求极值 2.对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成无盖水槽，问如何剪法是水槽的容积最大？ 3.解下列二次规划

  33. 选作:求解非线性规划

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