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第二章 振 动 和 波

第二章 振 动 和 波. vibration and wave. 第二章振动和波. 掌握： 谐振动方程、波动方程 熟悉： 同方向、同频率谐振动的合 成、波的干涉 了解： 振动的合成与分解、驻波、拍. 第一节 谐振动 （ simple harmonic motion SHM ）. 一、谐振动方程 1 、为什么要研究谐振动 2 、谐振动： 在一个位置附近沿固定轨迹进行 往复运动，且位移 x 是时间的正弦 或余弦函数。.

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第二章 振 动 和 波

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  1. 第二章 振 动 和 波 vibration and wave

  2. 第二章振动和波 掌握：谐振动方程、波动方程 熟悉：同方向、同频率谐振动的合 成、波的干涉 了解：振动的合成与分解、驻波、拍

  3. 第一节谐振动（simple harmonic motion SHM） 一、谐振动方程 1、为什么要研究谐振动 2、谐振动：在一个位置附近沿固定轨迹进行 往复运动，且位移 x 是时间的正弦 或余弦函数。

  4. 一、谐振动方程 确定物体在 t＝0 秒时 的运动状态 位移 最大位移（振幅） 角频率 初位相 在2π秒时间内的振 动次数： （rad/s）

  5. 三、SHM的三种表示方法 1、方程 2、用振动曲线表示 3、旋转矢量

  6. 【例1】 一个 SHM 由旋转矢量表示，已 知矢量长度4厘米，逆时针旋转，ω为 π （ 1/s），t为0秒时的位置如图。 ω （1）求SHM方程； （2）作振动曲线图。 x 【解】 （1）

  7. （2） ∵ x（cm） 4 2 1/6 t（s） 2/3 5/3 0 -1/3 -4

  8. 振动曲线作图小结： 1、注意标出坐标轴物理量、单位和原点； 2、找作图关键点：t＝0和x＝0两点; 3、根据振幅和周期描出曲线。

  9. 四、SHM 的速度和加速度 1、 SHM 的速度

  10. 2、 SHM 的加速度

  11. 3. SHM 的x、v、a 位相关系 a x v 0 t

  12. 速度正、负判断 1）题目告诉（如向x正向运动,x负向运动） 2）根据图象 x x t t t=0， V>0 x x t t T=0，V<0

  13. X（cm） 4 2 【例2】 0 t（s） 1 试根据曲线图推出该质 点的振动方程式。 由图可知，A＝4cm，且t＝0时， 【解】： x＝2cm，代入振动方程

  14. ？ 又当t＝1s时，x＝2cm，代入振动方程： ？

  15. 根据振动速度判断：

  16. 【例3】 一谐振动物体的谐振动方程为 ，求此物体由 处起，向x轴负方向运动，再回到平衡位置所需 的时间。 【解】 （1）起始时间 ∵

  17. （2）回到平衡位置时间 ∵

  18. 第二节 谐振动的合成 一、同方向、同频率谐振动的合成 分运动 合运动 旋转矢量法求合成

  19. 合振动的几个参数 1、振幅 2、相位

  20. 合成的三种情况 1、=2- 1=2k —— 分振动同相： A=A1+A2，合振幅最大，合振动加强；

  21. 2、=2-1=(2k+1)——分振动反相 A=|A1-A2|，合振幅最小，合振动减弱 3、其他情况： |A1-A2|<A<A1+A2

  22. 二、拍 1、拍的方程表示 2、拍的图象表示 3、分析 4、拍形成的录象

  23. 二、拍 1、拍的方程表示 分振动 合振动 拍频

  24. 2、拍的图象表示

  25. 3、分析 1、合振动不是 SHM; 2、合振幅是变化的，合振幅变化缓慢, 幅值<2A,位相改变π，振动曲线重复; 3、合振幅变化周期为 

  26. 三、合振动的分解 一个任意(具有周期为T=2/)周期性振动，可 分解为一系列圆频率等于  的整数倍的谐振动 式中：A0、An和Bn为恒量，即分振动的振幅  称为基频； n称 n 次谐波。

  27. 方波的合成

  28. 例1：已知某周期性振动为 F（t）＝4＋1.5cost＋5cos3t ＋3cos4t（mm）， 试作出其频谱图。 A(mm) 5 3 1  3 4 

  29. 频率成分: f=1HZ2HZ 4HZ 对应振幅 : A=1cm 3cm 5cm 例2: A(cm) 5 3 1 f(Hz) 1 2 3 4

  30. 第三节 波动 一、波动方程 二、讨论 三、波的能量 四、惠更斯原理

  31. 1、波动的理解 在弹性媒质中，当任一质点在外界作用下偏离平衡位置发生振动时，由于质点间的弹性联系，周围的质点也跟着振动起来，振动由近而远地传播出去，形成波动 理解：波动传播的只是振动状态（或能量），媒质中各质点仅在各自平衡位置附近振动，并不随波前进；振动是 波动的根源。

  32. 一、波动方程 1、波动方程表示在波的传播方向上各质点振动 的位移 y、质点位置 x 和时间 t 的关系。 2、在一个振动周期内传播的距离为波长。 在波的传播方向上两点之间为一个波长，则 这两点振动的位相差为 。 3、若在波的传播方向上两点间距离为x，则这两 点位相差为 。

  33. 一、波动方程

  34. 二、讨论 1、ｔ＝常量，ｙ为ｘ的函数，表示时间ｔ时刻各不同位置的质点位移情况，反映了空间周期性，是一个波动图。

  35. 2、ｘ＝常量，ｙ为ｔ的函数，表示距原点 ｘ处的质点振动情况，反映了时间周期性，是一个振动图。 3、ｘ和ｔ都为变量，表示波在前进方向上任意位置任意时刻质点位移情况。

  36. 振动图 波动图 x y 振动图与波动图的区别 坐标不同 x t 0 0 一个振动质点位移和时间的关系 一系列质点在同一时刻的位移关系 描述对象不同 振动周期 T 波长 λ 最大值间距 随着时间的推移，沿t轴延伸，波形不再改变。 随着x位置的推移，沿x轴延伸，波形随时间改变。 从变化上看 波动图表示波的传播方向上一系列质点在同一时刻的位移 振动图表示了一个振动质点在不同时刻的位移 综述

  37. 三、波动曲线上各点振动方向

  38. 例：设某一时可绳上横波的波形和波的 传播方向如图，试用箭头表明A～I各质 点振动方向。

  39. 三、波动曲线上各点振动方向 X = 0 振动曲线 t = 0 v < 0 t = 0 波动曲线 x = 0 v > 0

  40. 例：某简谐波在t＝0和t＝1s时的波形如图。 求波动方程。( ）

  41. 解：

  42. 例4波动方程ｙ＝0.05cos（10πt－4πx）m 求（1）振幅、波长、频率、周期和波速； （2）x＝λ/2处质点振动方程； （3）作t＝1.1s时的波动曲线。 解:1) A=0.05m f=5Hz λ=0.5m T=0.2s c=2.5m/s

  43. 2) x＝λ/2处,即x=0.25m处,代入方程 3)将t=1.1s代入方程 y(m) 0.05 0 x(m)

  44. 例2—4 有一简谐横波，沿x轴(水平方向)正向传播，波速为100米/秒,沿x轴每1米长度内含有50个波长，振幅为3厘米；若t=0时原点O处的质点通过平衡位置向上运动。试求此简谐波的波动方程。 由A=0.03m，c=100m/s，λ=1/50m 可得T=λ/c=1/5000c，ω=2π/T=10000πs-1

  45. 由初始条件，t=0时，yo=Acosφ=0, vo=-ωAsinφ＞0可得初位相φ=3π/2 ∴原点O处质点的振动方程为 y=Acos(ωt+φ) ＝0.03cos(10000πt+3π/2)m 波动方程 y=0.03cos[10000π(t-x/100)+3π/2]m

  46. 【例】（P.42/21）一质点在弹性媒质中作简谐振动,振幅为0.2cm，周期为4πs。取该质点过y0＝0.1cm处往y轴正方向运动的瞬时为t＝0。已知由此质点振动激起的横波沿x轴正向传播,其波长为2cm。求波动方程。【例】（P.42/21）一质点在弹性媒质中作简谐振动,振幅为0.2cm，周期为4πs。取该质点过y0＝0.1cm处往y轴正方向运动的瞬时为t＝0。已知由此质点振动激起的横波沿x轴正向传播,其波长为2cm。求波动方程。 【解】

  47. （1）求原点振动方程y0=Acos（ωt+φ） A=0.2cm，T=4πs，ω=2π/ T=0.5rad/s t=0时, y0=0.2cosφ=0.1, cosφ=0.5,φ=±π/3 ∵v0=－ωAsinφ＞0， ∴ sinφ＜0,φ=－π/3 y0=0.2cos（0.5t －π/3 ）cm

  48. （2）求波动方程 ∵λ=cT， y=0.2cos（0.5（t － ）－π/3 ） = 0.2cos［0.5（t －2πx ）－π/3 ］cm

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