第 3 章 土体中的应力 (6 学时 )

1. 第3章 土体中的应力(6学时)

2. 主要内容：土体的自重应力、基底压力、地基中的附加应力、土的有效应力原理主要内容：土体的自重应力、基底压力、地基中的附加应力、土的有效应力原理 • 能力培养要求：理解自重应力和附加应力的概念，了解附加应力的分布规律；熟练掌握自重应力、基底压力和基底附加压力的计算；掌握多种荷载作用下竖向附加应力的计算；了解土的有效应力原理。 • 教学形式：教师主讲、课堂讨论、工程案例分析等。

3. 本章只讨论： • 自重应力； • 静荷载引起的附加应力； 3.1 概 述 土中应力可分为：自重应力 附加应力

4. 基本假定分析： (1) 土的分散性影响及连续介质假定 基础底面的尺寸远大于土颗粒; 工程实践中一般所关心只是平均应力。 (2) 土的非均质性和非线性影响 实际工程中土中应力水平相对较低； 一定应力范围内，应力应变关系可看作是线性关系。

5. (3) 弹性理论假定 假定地基土为均匀的、各向同性的弹性体； 采用经典弹性力学方法进行计算。 • 应力符号以压为正； • 一般不考虑拉应力的影响； • 有现成的简单的解析解。 上述假定是本章的基础

6. 土体中自重应力 • 3.2 土体中自重应力 • 一、垂直方向的自重应力 • 假定土体为均质的半无限弹性体 • 取高度z，截面积A=1的土柱 • 由平衡条件得 • szA= z A • 于是 • sz= z 可见，自重应力随深度呈线性增加。

7. 成层土的自重应力分布 成层土的自重应力 各土层厚度及重度分别为hi和i，则第n层土底面上: cz=1h1+2h2+…+nhn

8. 有地下水存在时的自重应力 • 首先确定是否考虑浮力 • 考虑浮力影响时，用浮重度代替重度。

9. 二、水平向自重应力的计算 根据广义虎克定律： 式中，E为弹性摸量（一般用变形摸量E0代替）。 对于侧限应力状态，有sx=sy=0，得

10. 再利用sx = sy，得 式中，K0为土的静止侧压力系数，为泊松比。 注意：K0和依土的种类和密度而异，可通过试验确定。

11. 3.3 基底压力 • 建筑物荷载由基础传给地基; • 所以，必须首先计算基础底面的应力分布。

12. (a) 理想柔性基础 (b) 堤坝下基底压力 柔性基础 基底压力的分布规律 （1）情况1 • 基础抗弯刚度EI=0，相当于绝对柔性基础 • 基底压力分布与作用荷载分布相同。

13. (a) 马鞍形分布(b) 抛物线分布 (c) 钟形分布 刚性基础 （2）情况2 刚度很大(即EI=),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构)。

14. 基底压力的简化计算 • 基底压力分布十分复杂； • 但是，分布形状的影响只局限在一定深度范围内； • （圣维南原理） • 实用上，假定基底压力分布为线性分布；

15. 中心荷载作用 一、中心荷载 荷载作用在基础形心处时: 式中：F竖直荷载； A基础底面积。

16. 二、偏心荷载 按偏心受压公式计算： 式中：F、M中心竖直荷载及弯矩，M=Fe e荷载偏心距 W基础底面抵抗矩 b、l宽度与长度。

17. (a) (b) (c) 偏心荷载时几种情况 基底压力分布可能情况： a、当e< b/6 时，pmin>0，梯形分布； b、当e= b/6 时，pmin=0，三角形分布； c、当e>b/6 时，pmin<0，边缘反力为负值，基底压力重新分布。

18. 假定重新分布后基底最大压应力为pmax，则：假定重新分布后基底最大压应力为pmax，则：

19. 三、偏心斜向荷载 • 荷载合力可分解为铅直向的分力PV与水平向的分力PH。沿铅直向基底压力分布可由PV代替P按前述方法计算。水平方向基底压力的计算分为两种情况： • 1）假设水平方向基底压力为均匀分布 • 2）假设各点水平方向基底压力与该点铅直向基底压力成正比

20. 四、基底附加压力的计算 概念：作用在基础底面的压力与该处原来的自重应力之差。 计算公式： p0=psz=pD  —基底以上土的重度； D—基底埋深

21. 3.4地基中的附加应力 • 空间问题 • 应力与计算点处的坐标(x, y, z)有关。 • （如L/B 10的基础) • 平面问题 • 应力与计算点处的坐标(x, z)有关。 • （如L/B 10的基础、路堤、土坝）

22. 一、附加应力的空间问题 （一）集中荷载作用下地基中的附加应力 1.Boussinesq课题： 半无限弹性体表面作用竖向集中荷载P，计算任一点M的应力。

23. 对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成 K称为应力分布系数，是r/z的函数，可由图3-7查得。

24. 规律分析： （1）集中力作用线上最大. （2）随着r的增加而逐渐减小(应力扩散现象)。 （3）集中力作用点处为奇异点。 （4）作用有多个集中力时，可叠加（应力积聚现象）。 2.西罗第课题(Cerruti)(略)

25. (二)分布荷载下地基中的附加应力 1.矩形面积均布荷载

26. 在基底范围内取单元面积dA=dxdy • 单元面积上分布荷载看作是集中力dF=pdxdy • 集中力在M点处的竖向附加应力为：

27. 进行积分： 令 则 • α可由表3-2查得 • 这里n=L/B，m=z/B 注意：L为长边，B为短边。

28. 对于均布矩形荷载附加应力计算点 不位于角点下的情况： (a) o点在荷载面边缘 (2)o点在荷载面内 Ⅳ Ⅲ Ⅱ o o Ⅰ Ⅰ Ⅱ

29. 对于均布矩形荷载附加应力计算点 不位于角点下的情况： (4)o点在荷载面角点外侧 (3)o点在荷载面边缘外侧 Ⅲ Ⅰ Ⅰ o Ⅱ Ⅳ Ⅱ Ⅳ Ⅲ o

30. 2. 矩形面积上作用三角形分布荷载 求角点下M的竖向应力？ 分析步骤：见教材

31. 求角点下M的竖向应力注意的问题： • 将坐标原点取在荷载为零的角点上 • 取单元面积dA=dxdy，其上作用集中力dF=(x/b)p dx dy；

32. 计算公式： α称为应力系数，为n=L/B和m=z/B的函数，可由表3-3查得。

33. 荷载的组合：

34. 二、附加应力的平面问题 (一)均布线荷载情况-----Flamant课题 • 取微分长度dy • 荷载pdy看成是集中力，则：

35. 则

36. (二)条形均布铅直荷载的情况 a) 任一点竖向应力 分析步骤： • 荷载宽度方向取微分宽度； • 荷载dp=pd视为线荷载，在M点处附加应力为dz。 • 在荷载宽度范围内积分，得：

37. u为应力系数,是n=x/b和m=z/b的函数,从表3-6查得。

38. (3) 三角形分布条形荷载 分析步骤： 思路与上类似，见教材！

39. 计算公式为： s为应力系数，是n=x/b和m=z/b的函数。

40. 思考：影响深度是否相同？ 关于土中附加应力的讨论 回答：基础面积不同，影响深度不同！

41. 3.5土的有效应力原理一、基本概念 太沙基（Terzaghi, 1925 ） 使土力学从一般固体力学中分离出来，成为一门独立的分支学科。 考虑隔离体平衡，得 A=sAs+uwAw+uaAa

42. 对于饱和土体，ua和Aa均为零，则 A=sAs+uw(AAs) 分析： • As很小，第2项中As/A可略去不计； • 但第1项不能略去。

43. 几点结论： 用u表示孔隙水压力uw。则 =+u 此即著名的饱和土的有效应力原理！ • 孔隙水压力在各个方向上的大小相等； • 有效应力作用使孔隙体积发生改变,土体发生压缩； • 有效应力控制了土体的变形及强度。 非饱和土的有效应力公式还处于探索阶段！

44. 二、自重应力、基底压力和附加应力下的两种力系二、自重应力、基底压力和附加应力下的两种力系 (一)自重应力下的两种力系

45. （二）基地压力的两种力系

46. （三）附加应力的两种力系