第 42 课时　二次函数与几何综合类存在性问题

考向互动探究 考向互动探究第42课时　二次函数与几何综合类存在性问题

图42－1 第42课时┃考向互动探究考向互动探究探究一、二次函数与三角形的结合例1．[2013•重庆]如图42－1，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标； (2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．考向互动探究

例题分层分析(1)抛物线的关系式不清，不能通过解方程的方法确定B点的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点坐标吗？例题分层分析(1)抛物线的关系式不清，不能通过解方程的方法确定B点的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点坐标吗？ (2)求抛物线的关系式应具备哪些条件呢？由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三个条件试一试． (3)根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值． (4)如何用待定系数法求出直线AC的关系式． (5)D点的坐标怎么用x来表示？ (6)QD怎样用含x的代数式来表示． (7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？第42课时┃考向互动探究考向互动探究

第42课时┃考向互动探究 解析考向互动探究

解题方法点析　　解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．解题方法点析　　解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．第42课时┃考向互动探究考向互动探究

图42－2 第42课时┃考向互动探究探究二、二次函数与四边形的结合例2．[2013•枣庄]如图42－2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点．考向互动探究

第42课时┃考向互动探究 (1)求这个二次函数的关系式； (2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．考向互动探究

例题分层分析(1)图中已知抛物线几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的关系式；例题分层分析(1)图中已知抛物线几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的关系式； (2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？ (3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大．第42课时┃考向互动探究考向互动探究

解题方法点析　　求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差．解题方法点析　　求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差．第42课时┃考向互动探究考向互动探究

图42－3 第42课时┃考向互动探究探究三、二次函数与相似三角形的结合例3．[2013•凉山]如图42－3，抛物线y＝ax2－2ax＋ca≠0交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G. (1)求抛物线的关系式； (2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；考向互动探究

第42课时┃考向互动探究 (3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．考向互动探究

例题分层分析(1)将A(3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－2ax＋c，求出抛物线的关系式．例题分层分析(1)将A(3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－2ax＋c，求出抛物线的关系式． (2)根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的关系式． (3)根据抛物线和直线AC的关系式如何表示出点P、点M的坐标，求PM的长． (4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E是对应点，则以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM. 第42课时┃考向互动探究考向互动探究

解题方法点析　　此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．解题方法点析　　此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．第42课时┃考向互动探究考向互动探究

图42－4 第42课时┃考向互动探究探究四、二次函数与圆的结合例4．[2013•巴中]如图42－4，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数关系式； (2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数关系式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．考向互动探究

例题分层分析(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛物线的关系式是y＝a(x－4)(x＋1)，把C(0，2)代入试试．例题分层分析(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛物线的关系式是y＝a(x－4)(x＋1)，把C(0，2)代入试试． (2)顶点M和C点的坐标怎么求？ (3)如何求∠PCD＝90°？用勾股定理的逆定理试试．第42课时┃考向互动探究考向互动探究

解题方法点析　　用待定系数法求一次函数、二次函数的关系式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．解题方法点析　　用待定系数法求一次函数、二次函数的关系式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．第42课时┃考向互动探究考向互动探究

第 42 课时 二次函数与几何综合类存在性问题