高级微观经济学 : 数学基础

1. 高级微观经济学:数学基础 集合论初步与拓扑学初步

2. 中国经济学教育历史的回顾 • 20世纪20年代中国高等教育的高起点 • 新中国建立一边倒:学习苏联教政治经济学 • 20世纪80初,厉以宁,张培刚讲授微观经济学 • 20世纪80年代邹至庄等教授举办计量经济学讲座 • 1984年开始在本科高年级讲授初级微观经济学 • 1992年在本科一年级讲授初级微观经济学 • 20世纪90年代后期开始或者说21世纪初讲授高级微观经济学,博弈论等.

3. 1 高级微观经济学教材参考数目:

4. 微观经济学入门教材 • 曼昆《经济学原理》上下册，88元。曼昆为哈佛高才生，天才横溢，属新古典凯恩斯主义学派，研究范围偏重宏观经济分析。 • 萨缪尔森《经济学》(Economics) • 斯蒂格利茨《经济学》及系列辅助教材。斯蒂格利茨在信息经济学成就甚高，此书可作为前二者的补充，前二者所涉及经济学内容主要是以价格理论及边际分析为基础，不包括不对称信息经济学、不确定性分析部分。斯蒂格利茨之《经济学》可填充前二者之空白。

5. 高级微观经济学教材 • 杰弗瑞·A ·杰里 菲里普·瑞尼《高级微观经济学(Advanced Microeconomic Theory)》上海财经大学出版社,2003年版; • 范里安《高级微观经济学》经济管理出版社。这是范里安在《微观经济学---现代观点》的基础上的标准高级教材。平新乔:《微观经济学18讲》，北京大学出版社,2001年版; • 邹薇:《高级微观经济学》武汉大学出版社,2004年版.

6. 数学工具： • 中国大学本科考研究生之数学三（高数、线性代数、概率论与数理统计）为必修之基础课， • 其他之数学工具则包括拓扑学初步（凸集、凹集、微分方程稳定性）、线性规划、非线性规划（不等式约束规划）、泛函分析、最优控制理论（最大值原理、汉密尔顿函数）离散时间优化规划（不动点性质、值函数）、时间序列分析、随机变量等等。 • 蒋中一《数理经济学基本方法》（基础水平） • 王则柯:《拓扑学方法和经济学应用》,中国经济出版社,1999年版; • 阿罗:《数理经济学手册》经济科学出版社.

7. 01 集合论初步

8. 数学附录目录 • A01.集合的概念和运算(集合论初步) • A01.1 集合的基本概念 • A01.2 集合的基本运算 • A01.3 集合中元素的计数 • A02.二元关系与函数(拓扑学初步)

9. A02:二元关系与函数 • A02.1 集合的笛卡儿积与二元关系 • A02.2 关系的运算 • A02.3 关系的性质:自反性\反自反性\对称性\反对称性\传递性 • A02.4 关系的闭包:闭包定义/闭包的构造方法/闭包的性质 • A02.5 等价关系和偏序关系等价关系的定义与实例: • A02.6 函数的定义和性质 • A02.7 函数的复合和反函数

10. A01:集合定义与表示 集合论是现代数学的基础，也是经济学的基础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握： • 集合中的一个基本概念 • 集合中的两种关系 • 集合中的三种特殊集合 • 集合中的四种表示方法 •  集合中的五种运算 •  集合中的21个常用公式

11. (1）一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。(1）一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。 (2）集合中的两个关系  集合间的比较关系：A＝B，A≠B，AB，AB。  集合与元素间的隶属关系：aA，aA。 (3） 三种特殊的集合  空集  全集E  幂集（A）。

12. （4） 集合的四种表示法：  枚举法:即将集合元素一一列举。例：{1, 2, 3,…}  特性刻划法:即用元素的性质刻划集合。例：{x | p (x)}  图示法:即用文氏图表示集合及集合间的关系。例：  运算法:即用已知集合的运算构造新的集合。例： S＝A∪ （B∩C）

13. （5）集合的五种运算： • 并AB = { x | xAxB } • 交AB = { x | xAxB } • 相对补AB = { x | xAxB } • 对称差AB = (AB)(BA) • = (AB)(AB) • 绝对补A = EA 例：E={0,1,2,3,4},A= {1,2,3} ,B= {1,4} ,C= {3} AB= {1,2,3,4}= BA; AB = {1}= B A AB = {2,3}； BA = {4}； CA =  AB= {2,3}  {4}= {2,3,4}; AB ={1,2,3,4}- {1} = {2,3,4}; A = {0,4};  B= {0,2,3} AB = A B = {2,3}

14. （6）集合的21个公式： 交换律： A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A 结合律： A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C 分配律： A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

15. E与 的互补： ～E＝ ～＝E 等幂律： A∪A＝A A∩A＝A 吸收律： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A 狄·莫根定律： ～（A∪B）＝～A∩～B ～（A∩B）＝～A∪～B 同一律： A∪＝A A∩E＝A 零一律： A∪E＝E A∩＝ 互补律： A∪～A＝E A∩～A＝ 双补律： ～（～A）＝A

16. 有限集与无限集 （1）有限集与无限集的基本概念  有限集的两个定义   集合S与Nn一 一对应   非无限集即为有限集  无限集的两个定义   S与一 一对应函数f：SS使得：f (S)  S   S存在与其等势的真子集

17. 可列集——基数为0 无限集 实数集——基数为  更大基数的集——（A） 自然数集 有理数集 整 数 集 无限集 （3）四个常用的无限集：  自然数集N  整数集I  有理数集Q  实数集R （4） 无限集的势 （5） 无限集分类（按势分类）

18. 幂集、n元有序组与笛卡尔乘积 （7）幂集  幂集定义：集合A的所有子集所组成的集合，可记为（A）。  幂集性质：|A|＝n 则|  (A) |＝2 n

19. （8）n元有序组与笛卡尔乘积 n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它有两个基本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。  基本概念之一：有序偶。例：（a , b）  基本概念之二： n元有序组。 例：（a1 , a2 ,…an）  基本运算：笛卡尔乘积。例：AB

20. 凸集 非凸集 非凸集 定义A1.1 Rn上的凸集 定义A1.1Rn上的凸集 如果对所有x1S,x2S,我们有 tx1+(1-t)x2S 则S Rn是一个凸集, 对所有 t,0≤t ≤1. • 凸集是微观经济理论的每个领域内的基本的构造材料. • Note:如果对于集合内任意两个点,这两个点的所有加权平均也是同一个集合的点.x(1)＋(1- ) x(2) = x(2)＋(x(1)- x(2))是连接 x(1)与x(2)的线段 。

21. A02: 二元关系与函数 • A02.1 集合的笛卡儿积与二元关系 • A02.2 关系的运算 • A02.3 关系的性质 • A02.4 关系的闭包 • A02.5 等价关系和偏序关系 • A02.6 函数的定义和性质 • A02.7 函数的复合和反函数

22. 关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联，主要有关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联，主要有  一个基本概念  两种表示方法  三种运算  九个公式  五种性质

23. A02.1 集合的笛卡儿积和二元关系 • 笛卡儿积及其性质 • 二元关系的定义 • 二元关系的表示

24. 有序 n 元组 定义 一个有序 n (n3) 元组(x1, x2, …, xn) 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即 (x1, x2, …, xn) =((x1, x2, …, xn-1), xn) 实例 ：空间直角坐标系中的坐标(3，5，－6) n 维向量是有序n元组. 当 n=1时, (x)形式上可以看成有序 1 元组.

25. 笛卡儿积 定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素，B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样的有序对组成的集合叫做A与B 的笛卡儿积 记作AB， 即 AB ={(x,y) | xA  yB } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c), (3,a),(3,b),(3,c)} BA ={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2), (a,3),(b,3),(c,3)} A={}, P(A)A={(,),({},)}

26. 定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如(x,y)∈R, 可记作 xRy；如果(x,y)R, 则记作x y 实例：R={(1,2),(a,b)}, S={(1,2),a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等. 二元关系的定义

27. A02.2 关系的五种性质 • 自反性 • 反自反性 • 对称性 • 反对称性 • 传递性

28. 自反性 定义 设R为A上的关系, (1) 若x(x∈A→(x,x)R), 则称R在A上是自反的. 实例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 对称性 定义设R为A上的关系, (1) 若xy(x,y∈A∧(x,y)∈R→(y,x)∈R), 则称R为A上对称的关系.（关系矩阵为对称矩阵；如果两顶点之间有边，一定是一对方向相反的边）

29. 传递性 定义设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧(x,y)∈R∧(y,z)∈R→(x,z)∈R),则称R是A上的传递关系.

30. A02.3 函数的定义与性质 函数是一种特殊的关系，它在数学中具有普遍重要价值，函数主要内容有：  一个基本概念  两种基本运算  三种性质函数  四种常用函数

31. （1）一个基本概念——函数的基本概念 函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；以及y＝f（x）。

32. X Y X Y X Y g f h x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 （2）三种不同性质函数： • 满射与内射:函数f使得Y中的每个元素均有X中的元素与之对应，这种函数叫做从X到Y上的函数，否则叫做从X到Y内的函数。 • 一对一与多对一:函数g使得不但X中的每一个元素xi唯一对应一个Y中的一个元素yj，而且也只有一个xi对应yj，也就是说一个像只有一个像源与之对应，这种函数叫做一对一的函数，否则叫做多对一的函数。 • 一一对应（双射）:函数h使得X与Y间建立了—一对应的关系，这种函数叫X与了间—一对应的函数。

33. Y g f X Z h y1 y2 x1 x2 x3 z1 z2 复合函数、反函数、多元函数 （3）两种运算：  复合运算（复合函数）设函数f：XY，g：YZ则复合函数h＝gf：XZ是一个新的函数。 定义：设函数f：XY，g：YZ，它们所组成的复合函数或叫复合映射gf，也是一个函数h：XZ，即： h＝g f：{(x , z)|xX , zZ且至少存在一个yY，有y=f（x），z＝g（y）}．

34.  逆运算（反函数） 定义：设f：XY是—一对应的函数，则f所构成的逆关系叫f的逆映射或叫f的反函数，记以f—1：Y  X （4）函数分类：  一元函数：f (x)  二元函数：f (x , y)  多元函数：f (x1, x2 , …xn )

35. （5） 四种常用函数 • 常值函数：f (x)＝b • 恒等函数：f (a)＝a  单调递增函数与严格单调递增函数：  单调递减函数与严格单调递减函数 ： 1 aA’  特征函数： f (a)＝ 0 aA’

36. A.1.3 一点拓扑学

37. Bε(X0) （ ） X0+ε X0_ε X0 ε X0 Bε(X0)Rn ε X0 Bε(X0) 【 】 Bε(X0)Rn X0+ε X0_ε X0 定义A1.4 • 1.以X0为中心,以ε>0(一个实数)为半径的开球是Rn上的点的子集: Bε(X0)≡{x Rn|d(X0,x)< ε} • 2.以X0为中心,以ε>0为半径的闭球是Rn上的点的子集: B*ε(X0)≡{x Rn|d(X0,x)|≤ε}

38. x1 S, x1T x2 S, x2T z=tx1+(1-t)x2S z=tx1+(1-t)x2T   zS∩T  S∩T是凸的 定理A1.1 设S和T是Rn上的凸集,那么,S∩T是凸集 (凸集的交集是凸集) Proof:设S,T是凸集,x1,x2是S∩T任意两点, x1,x2 S∩T

39. X0 ε X ε` Bε(X0)Rn 定义A1.5 Rn上的开集 • 如果对于所有 • X ∈S,存在一些ε>0,使得, Bε(X0) S,那么,S  Rn是一个开集. 定理:A1.2 Rn上的开集 1.空集Φ是一个开集 2.整个空间Rn是开集 3.开集的并是开集 4.任何有限开集的交是开集.

40. 定理A1.3.每个开集是开球的并集. • 设S是一个开集,对于每个x S,选择一些εx>0 使得Bεx(X) S,那么: • S  ∪Bεx(X) • 证明: 一方面,x S,对εx>0 • 因为S是开集, x Bεx(X) •  ∪Bεx(X) • 另一方面: x ∪Bεx(X)  一些S,使得x  Bεx(S)  x S •  ∪Bεx(X)  S

41. 定义A1.6 Rn上的闭集 • 如果S的补集Sc是个开集,那么,S是一个闭集. • 定理A1.4. Rn上的闭集 • 1.空集Φ是一个闭集 • 2.整个空间Rn是闭集 • 3.闭集的有限并是闭集 • 4.闭集的交是闭集

42. x2 X0 y ε M x0 ε ε` y=f(x) x Bε(X0)Rn D ε`` x1 -M 有界 定义A1.7 有界集 • 如果Rn上一个集合S完全包含在一些半径ε的球内(或者为开球或者为闭球)则称S是有界的.也就是说,如果对于一些X∈Rn ,存在一些ε>0,使得,S  Bε(x) ,则称S是有界的. 图A1.14 在R 中的有界集

43. 定理A1.5 实数子集的上界与下界 • 1.设S是R内的一个有界开集,并设a与b是S是最大下界与最小上界(g.l.b 和l.u.b),那么,,aS,并且bS. • 2.设S是R内的一个有界闭集,并设a与b是S是最大下界与最小上界,那么,,aS,并且b  S. 定义A1.8(海涅—鲍瑞尔)紧集 如果一个集合S是一个有界闭集,S在Rn上则称为紧的.

44. f(X1) f(X0)+ f(X0) f(X0) f(X0)-     X0 X0-b X0 X0+a X1 A1.3.1 连续性 • 如果对于所有的ε>0,使得, 总存在>0,使得d(x,x0)< 蕴涵着d(f(x),f(x0))< ε,那么,函数:f:R→R是在点x0处连续.如果函数在其定义域每个点上连续,那么,该函数被称为一个连续函数. f(X0)+ f(X0)-

45. ε ( ) f(x0) B ε(f(x0)) ε B(x0)    ( x0 ) 定义A1.9 (柯西)连续性 • 设D是Rn的一个子集,并且设f:D→ Rn .如果对于每个ε>0,使得, 总存在>0,使得下列式子成立,那么,f在点x0处连续.f(B(x0)∩D)  Bε(f(x0)) • 如果f在每个点xD上连续,那么,f被称为一个连续函数. • 柯西连续性考虑的是定义域内开球的象与值域的象的开集的关系.也就是说,定义域内一点的开球(在D内)的象是点(x0)象的开球的子集则连续. • 连续性可以把定义域的开性与闭性在象集得到很好的保护.

46. 定义A1.10 D中的开集 • 设D是Rn的一个子集,因此,如果对于每个点xS,存在ε>0,使得, Bε(x)∩DS,那么,D的一个子集S在D内是开的. • 设D是Rn的一个子集,D的子集S的补集,即集合{x DxS}在D内是开的,那么,S在D内是闭的.

47. 定理A1.6 连续性与其逆像 • 设D是Rn的一个子集,如下的条件是等价的 • 1.f:D →Rn是连续的 • 2.对于Rn内每个开球,f-1 (B)在D内也是开的. • 3.对于Rn内每个开集S, f-1 (S)在D内是开的. • (1)(2) • 设B是象中的一个开球,>0,使得Bε(f(x))B, • 因为f连续,δ使得, f(Bδ(x)∩D) Bε(f(x))B. 因此, Bδ(x)∩D f-1(B). 因为,x 是任意的,我们得出结论是f-1(B)在D内的开的,故(2)成立.

48. (2)(3) • (2)成立,S是Rn中的开集,根据A1.3, S= ∪iIBi,因此,f-1(S)=f-1(∪iIBi)= ∪iI f-1(Bi) 根据(2), f-1(Bi)在D内是开的, f-1(S)是D内开集的并集. S是Rn中的开集,f-1(S)也是开集.

49. 设xD,x>0 B(f(x))在Rn中是开的  f-1(B(f(x)))在D中是开的  x f-1(B(f(x)))  δ>0,使得xBδ(x)∩D f-1(B(f(x)))  f(Bδ(x)∩D )B(f(x))  f连续 (3)(1) (3)存立

50. 定理A.1.6紧集的连续象还是紧集 • 设D是Rn的一个子集,并设f:D→Rn是一个连续函数.如果S D是D内的一个紧集,那么 ,其象f(S) Rn在Rn也是紧集.