一、集合的基本概念

1. 一、集合的基本概念 1. 集合與元素： (1) 集合：界定明確，且能判定組成的個體(分子)的一個群體， 常以英文 S或其他大寫字母表示。 (2) 元素：組成群體的個體，常以英文 x或其他小寫字母表示。 (3)集合與元素的關係： 若 x是集合 S中的一個元素，以 x S (讀作 x 屬於S)表示之； 若 x不是集合 S 中的一個元素，以 xS (讀作x不屬於S)表示之。 例：1{ 1, 2, 3, 4, 5 }，9{1, 2, 3, 4, 5 }。 本段結束

2. 2. 集合表示法： (1) 列舉法：將集合的元素一一列出，用逗號分開，寫在大括號{ }內。 例：12 的所有正因數所成的集合為{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 }。 (2) 描述法：將集合的元素以通式表之， 其表示法為 例：4的倍數所成的集合為 3. 空集合：不含任何元素的集合，稱為空集合，以符號或{ }表示之。 4. 子集(部分集合)： 若集合 A 的每一個元素都是集合 B 的元素，即 A 是 B 的一部分， 則稱 A 是 B 的子集(或部分集合)，以 AB或 BA表示。 例：正整數集合 N 為實數集合 R 的一部分，即 NR。 注意：我們視空集合  為任何集合的部分集合。 本段結束

3. 5. 集合的相等：若 AB且 BA，則 A、B兩集合相等，記為 A=B。 例：設A={ x x2+2x3=0}，B={ x  |x+1|=2 }，則 A=B。 6. 交集：由集合 A與集合 B共同元素所組成的集合， A B 稱為 A與 B的交集，記為 AB， 即 AB={x xA且 xB }。 例：設 A={ 1, 2, 3 }，B={ 2, 3, 4 }， AB 則 AB={ 2, 3 }。 則 M2M3= M6。 例：設 Mk為所有k的倍數所成的集合， 注意：若集合 A與集合 B沒有共同元素，則 AB = 。 本段結束

4. 7. 聯集：集合 A與集合 B所有元素組成的集合， A B 稱為 A與 B的聯集，記為 AB， 即 AB={ xx A或 xB }。 例：設 A={ 1, 2, 3 }， B={ 2, 3, 4 }， AB 則 AB={ 1, 2, 3, 4 }。 8. 差集：在集合 A中但不在集合 B中的元素所成的集合， 稱為 A與 B的差集，以 AB表示， A A B B 即 AB={ xx A但 xB } 。 例：設 A={ 1, 2, 3 }，B={ 2, 3, 4 }， 則 AB={ 1 }， AB BA BA={ 4 }。 本段結束

5. 9. 範例： 若 AB=，求 k 的範圍。 解： 若 A  B =  B A AB   k+1 3 k+1 1 k 4。 故所求 k 4。 Let’s do an exercise !

6. 馬上練習：設 a 是實數，且A={ 2, 4, a2a+3 }，B={ a2, a+11, a+6 }， 若 AB={ 4, 9 }，求 a 的值。 Ans：2。 a=3或 2。 解：由 AB={ 4 , 9 } 知 a2a+3=9 B={ 1, 14, 9 } 不合。 (1) 若 a=3 滿足所求。 B={ 4, 9, 4 } (2) 若 a=2 故 a=2。 ＃

7. 10. 宇集：所討論對象之全體所成的集合，常以 U表示。 例：設宇集 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }， A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， B={ 2, 4, 6, 8 }， 則 U  (AB) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }  { 2, 4, 6 } = { 1, 3, 5, 7, 8, 9 }。 11. 補集：若 U為宇集，UA稱為 A的補集，記為 A， 即 A= U A ={ xxA}。 例：設宇集 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }， A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， 則 A={ 7, 8, 9 }。 本段結束

8. (A  B) = A  B。 12. 迪摩根定律：(A  B) = A  B； (1)(A  B)  = AB： 左圓：A；右圓：B 說明：(AB) = 兩圓所成區域之外 = 藍橫線且 紅直線劃過的區域 = 左圓之外且 右圓之外 = A B。 (2)(A  B)  = A  B： 說明：(AB) = 兩圓共同的區域之外 = 藍橫線或 紅直線劃過的區域 = 左圓之外或 右圓之外 = A B 。 To be continued ：例

9. 例：設宇集U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 2倍數：M2={ 2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14 }， 3倍數：M3={ 3, 6, 9, 12, 15 }。 2且 3的倍數 M2  M3 = { 6, 12}。 2或 3的倍數=M2  M3 = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 }。 (1) 不是 2或 3 的倍數(與 6 互質) ：(M2 M3) = U  (M2 M3) = {1, 5, 7, 11, 13 }。 刪除 2倍數，再刪除 3倍數：M2  M3 = { 1, 5, 7, 11, 13 }。  (M2 M3) = M2  M3 。 (2) 不是2倍數，或不是 3倍數 ：M2 M3= { 1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 }。 不是 2與 3的倍數 ： (M2M3 )= { 1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 }。 (M2 M3)=M2 M3。 本段結束

10. 二、集合元素的計數 1. 高斯符號： [x]表示小於或等於x的最大整數。 例：[] = 3 ， [2] = 2 ， [3.1] = 4 。 2. 集合元素的個數：集合 S 中所有元素個數以 例：S = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } n(S) = 5。 本段結束

11. 3. 排容原理(二個)：任意兩集合 A與 B，恆有 A B n(A B) = n(A) + n(B)  n(AB) 。 範例：在 1 到 1000 的整數中， 3 或 5 的倍數共有多少個? AB 解：令 M3為 3倍數的集合，M5為 5倍數的集合， 所求 = n(M3 M5) = n(M3) +n(M5) n(M3M5) = 333 + 200  66 = 467 。 Let’s do an exercise !

12. 馬上練習：在 1 到 500 的整數中，與 35 互質的整數共有多少個? Ans：343。 解：由 35 = 5  7 與 35 互質即表不是 5 或 7 的倍數。 所求 = n(M5M7) = 全  n(M5M7) = 500  [n(M5)+n(M7)n(M3M5)] = 500  (100+7114) = 343。 ＃

13. 4. 排容原理(三個)：設 A、B、C為三集合，則 B n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C) AB BC n(AB)n(BC)n(AC) A +n(ABC)。 ABC 範例：在 1 到 1000 的整數中， C 4 或 6 或 9 的倍數共有多少個? AC 解：所求 = n(M4M6M9) = n(M4)+n(M6)+n(M9) n(M4M6)n(M6M9)n(M4M9) +n(M4M6M9) = 250+166+111835527+27 = 389。 Let’s do an exercise !

14. 馬上練習：在 1 到 200 的整數中，與 30 互質的整數共有多少個? Ans：54。 解：由 30=235 與 3 0互質即表不是 2 或 3 或 5 的倍數。 所求 = n(M2M3M5) = 全n(M2M3M5) =200[n(M2)+n(M3)+n(M5)n(M2M3)n(M3M5)n(M2M5) +n(M2M3M5)] = 200(100+66+40331320+6) = 54。 ＃

15. 5. 範例： 15 個學生之中有 10 個高，11 壯，12 帥， 求其中又高又壯又帥至少有幾個? 解：n(高壯) = 10 + 11  n(高壯)  15  10 + 11  15 n(高壯)  6n(高壯) 8n(壯帥) 同理，11 + 12  15 n(壯帥) 10 + 12  15 n(高帥) 7n(高帥) ∵n(高壯帥) = n(高) + n(壯) + n(帥)  n(高壯)  n(壯帥)  n(高帥)+ n(高壯帥) ∴n(高壯帥) = n(高壯帥)  n(高)  n(壯)  n(帥) +n(高壯) + n(壯帥) + n(高帥) 15 10  11  12+ 6 + 8 + 7= 3。故所求為 3。 ＃

16. 三、加法原理 1. 樹狀結構：將原本零散無組織的東西，將其組成像樹枝分叉 的結構圖，將這樣的圖形稱為樹狀圖。 範例：如圖之正立方體中， H B 從 A 走到 B 的捷徑有多少條? G F B D D 解： E C B G A D B C E A H B H B F 故所求為 6。 G B Let’s do an exercise !

17. 馬上練習：右圖為一正四面體，從 A 點出發， 沿著稜線走到 D 點，且各頂點最多經過一次， 求有幾種走法? D Ans：5 種。 A C 解： C D B D B D B C A D D ＃

18. 2. 範例：甲乙兩人下棋，沒有平手的情形下， 連勝兩盤或先勝三盤者即贏得比賽， 求比賽的情形可能有幾種? 甲 甲 甲 甲 乙 甲 乙 乙 乙 解： 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 乙 乙 故所求為 10 種。 Let’s do an exercise !

19. 馬上練習：甲乙兩人比賽網球，先勝三局者贏得比賽，馬上練習：甲乙兩人比賽網球，先勝三局者贏得比賽， 目前甲已贏了一局，求比賽的情形可能有幾種? Ans：10種。 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 解： 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 甲 甲 乙 乙 乙 ＃

20. 3. 加法原理： 當完成一件事的辦法有相異的 n 類， 在第一類辦法中有 m1種不同的方法， 在第二類辦法中有 m2種不同的方法， …， 在第 n 類辦法中有 mn種不同的方法， 則完成這件事共有 m1+m2+…+mn種不同的方法， 此性質稱為加法原理。 210 126 5 15 70 35 1 4. 範例：如右圖(小方格皆正方形)， B 10 20 35 4 56 由 A 取捷徑走到 B， 84 1 共有多少方法? 15 10 6 21 3 28 1 解：由 A 到各路口的方法數， 5 6 4 2 3 7 1 如圖所示。 A 1 1 1 1 1 1 故所求方法數為 210。 Let’s do an exercise !

21. 馬上練習：(1) 如左下圖(小方格皆正方形)，不經著色區域， 由 A 取捷徑走到 B 共有多少方法? (2) 如右下圖(小方格皆正方形)，由 A 取捷徑走到 B， 共有多少方法? Ans：(1) 110 (2) 48。 解：由 A 到各路口的方法數，如下圖所示。 110 48 5 15 25 6 16 30 40 66 1 B B 26 15 6 14 10 10 4 10 44 18 1 11 4 5 3 3 4 6 18 4 1 1 6 4 5 6 2 3 2 3 4 7 1 1 A A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＃

22. 5. 範例：一樓梯共有 10 階，今有一人上樓，若每步跨 1 階或 2 階， 則此人上到第 10 階共有多少種方法? 解：令an表上到第 n階的方法數， a2 = 2。 a1 = 1； 顯然上到第 1階有 1種 上到第 2階有 2種 a3=a1+ a2 而上到第 3階可由第 1階或第 2階上去 = 1 + 2 = 3。 同理，上到第 4階可由第 2階或第3階上去 a4 =a2 + a3 = 2 + 3 = 5。 … 上到第 n階可由第 n2階或第 n1階上去 an = an2+ an1，其中 n  3，a1 = 1，a2 = 2。 1， 13， 21， 34， 2， 3， 55， 89，…， 因此 an形成數列： 5， 8， Let’s do an exercise ! 故所求 a10 = 89種。 注意：滿足 an = an2+a n1的數列，是一種遞迴數列。

23. 馬上練習：一樓梯共有 8 階，今有一人上樓，若每步跨 1 階 或 2 階或 3 階，則此人上到第 8 階共有多少種方法? Ans：81。 解：令 an表上到第 n 階的方法數， a2 = 2。 a1 = 1 ； 上到第 2 階有 2 種 顯然上到第 1 階有 1 種 a3 = 4。 上到第 3 階有 4 種 而上到第 4 階，可由第 1 階或第 2 階或第 3 階上去 a4= a1 + a2 + a3 = 1+2+4 = 7。 同理，上到第 5 階，可由第 2 階或第 3 階或第 4 階上去 a5= a2 + a3 + a4 = 2+4+7 =13。 … 上到第 n 階，可由第 n3 階或第 n2 階或第 n1 階上去 an= an3+an2+an1 ， 其中 n4，a1=1，a2=2，a3=4。 因此 an形成數列：1，2，4，7，13，24，44，81，…。 故所求 a8=81 種。 ＃

24. 四、乘法原理 當完成一件事需要分成 n 個步驟， 在第一個步驟有 m1種不同的方法， 在第二個步驟有 m2種不同的方法， … 在第 n 個步驟有 mn種不同的方法， 則完成這件事共有 m1m2…mn種不同的方法， 此性質稱為乘法原理。 本段結束

25. 1. 範例：以「0，1，2，3，4，5」等五個數字中的三個， 做成數字相異的三位數， 求：(1) 共有幾個? (2) 偶數有幾個? (3) 奇數有幾個? 5 5  4 = 100個。 解：  5  4  1 = 20個。 4 4  2 故偶數共 52個。 = 32個。 4 4  3 = 48 個。 Let’s do an exercise ! 注意：奇數個數 = 全  偶數個數 = 100  52 = 48個。

26. 馬上練習：以「0，1，2，3，4，5，6」七個數字中的三個，馬上練習：以「0，1，2，3，4，5，6」七個數字中的三個， 做成數字相異的三位數， 求：(1) 共有幾個? (2) 偶數有幾個? (3) 奇數有幾個? Ans：(1) 180 (2) 105 (3) 75。 665 = 180 個。 解：  651 = 30 個。 = 75 個。  553  553 = 75 個。 ＃

27. 2. 範例：在 1 到 1000 的自然數中， 求：(1) 數字中有 0 的有幾個 ? (2) 一共有多少個 0 ? 9個。 解：(1) 二位數： □ 0  99=81個 (不含100、200、…)。 三位數： □ □ 0 □ 0 □  99=81個(不含100、200、…)。 □ 0 0 9個。 1個。 四位數：1000 共有 9+81+81+9+1 = 181 個數。 (2) 91+ 811+ 811+ 92+13 = 192 個， 即共有 192 個 0。 Let’s do an exercise !

28. 馬上練習：在 10 到 1000 的自然數中，數字中有 6 的有幾個 ? Ans：270。 8個(不含66)。 解：二位數：□ 6 9個(不含66)。 6 □ 6 6 1 個。  89 = 72個(不含166、266、…)。 三位數：□ □ 6  89 = 72個(不含166、266、…)。 □ 6 □  99 = 81個(不含166、266、…)。 6 □ □ □ 6 6 8個(不含666)。 6 □ 6 9個(不含666)。 9 個(不含666)。 6 6 □ 1個。 6 6 6 共有 8+9+1+72+72+81+8+9+9+1 = 270 個數。 ＃

29. 3. 範例：求 104的： (1) 正因數的個數。 (2) 所有正因數的總和。 (3) 正因數中為完全平方數的個數。 (4) 所有正因數的乘積。 解：(1) 104= 24  54， 正因數為 2a 形式的有 20，21，22，23，24，有 5種。 正因數為 5b 形式的有 50，51，52，53，54，有 5種。 故正因數共有 (4+1)(4+1) = 5  5 = 25個。 (2) 正因數總和 = (20+21+22+23+24)(50+51+52+53+54) = 24211。 To be continued (3) (4)

30. (3) 正因數中為完全平方數的個數。 (4) 所有正因數的乘積。 解：(3) 正因數中為完全平方數(次方為偶數)， 其中 2a形式的有 20，22，24，共 3種； 5b形式的有 50，52，54，共 3種。 故所求 = 3  3 = 9個。 (4) 104 的正因數共有 25個， 則 104 = 1 104 = 2 5000 共 25組 = 4  2500 … Let’s do an exercise ! = 104  1 故 104的所有正因數乘積

31. 馬上練習：求 504 的： (1) 正因數個數。 (2) 所有正因數的總和。 (3) 正因數中為完全平方數的個數。 (4) 所有正因數的乘積。 Ans：(1) 24個 (2) 1560 (3) 4個 (4) 50412。 解：(1) 504 = 23  32  7， 正因數為 2a形式的有 20，21，22，23，共 4種。 正因數為 3b形式的有 30，31，32，共 3種。 正因數為 7c形式的有 70，71，共 2種 故正因數共有 (3+1)(2+1)(1+1) = 432 = 24 個。 (2) 正因數總和 = (20+21+22+23)(30+31+32)(70+71) = 1560。 To be continued (3)

32. (3)正因數中為完全平方數的個數。 (4)所有正因數的乘積。 (3) 正因數中為完全平方數(次方為偶數)， 解： 其中 2a形式的有 20，22，共 2種。 其中 3b形式的有 30，32，共 2種。 故所求 = 2  2 = 4 個。 (4) 504 的正因數共有 24個， 則 504 = 1  504 = 2  252 = 3  168 共 24組 … = 504  1 故 504 的所有正因數乘積 ＃

33. 4. 範例：如右圖，由 A 取捷徑走到 B，必過 C 點有多少方法? B  解：由 A 到 C 有 15種， C C 到 B 有 6種。  故所求方法數為 15  6 = 90。  A 6 3  1 B 2 1 3 15 3 10 6 1  C  1 C 1 4 2 3 1 5 1  A 1 1 1 Let’s do an exercise !

34. 馬上練習：一樓梯共有 9 階，今有一人上樓，若每步跨 1 階或 2 階， 求此人上到第 9 階且其中必過第 5 階種方法數。 Ans：40。 解：令 an表上到第 n 階的方法數，且 n  5。 a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8， 令 bmn表從第 m階上到第 n階的方法數，且 m  5。  b56=1，b57=2，b58=3，b59=5， 故所求為 8 5= 40。 ＃

35. 5. 範例：如圖，由 A 走到 B，只可向右、向上、向下走 (不得向左走)，且同一點不得經過兩次，則 (1) 畫出「上下上上下」的方法 ? (2) 共有幾種方法 ? B 解：(1)「上下上上下」的方法，  上 上 上 下 下 如右圖所示。  A (2) 以虛線隔開，由左至右共有 5 個區域， B 每個區域都有  4 5 1 2 3 上、下兩種路徑可選。  A 故所求 = 2  2  2  2  2 = 32 種。 Let’s do an exercise !

36. 馬上練習：如圖，由 A 走到 B，只可向右、向上、向下走 (不得向左走)，且同一點不得經過兩次， 求共有幾種方法? B  Ans：80 種。 解： 4  4  5 = 80 種。 ＃  A

37. 6. 範例：如圖，由 A 走到 B，只可向右、向上、向下走 (不得向左走)，且同一點不得經過兩次， B  求 (1) 共有幾種方法 ? (2) 若要經過 C 點，共有幾種方法 ? 解：(1) 共有 4  4  5  4 = 320種。 C  (2) 刪除 C 點後的圖形，如右圖所示。  A 以虛線可區隔出三個區域。 B   不過 C 點有 4(22+12)4 = 96種 故過 C 點共有 320  96 = 224種。 ＃  A

38. 7. 範例：將 5 種不同顏色塗在下圖各區域中， 每區域一顏色且相鄰區域異色，各有幾種方法? 解：(1) AC 是否同色將影響 B 與 D 的選擇。 AC同色： D A C B AC異色： 故共有 5144 + 5433 = 80+180 = 260 種。 B (2) BD同色： C A E BD異色： D 故共有 54133 + 54322 = 180+240 = 420 種。 Let’s do an exercise !

39. 馬上練習：一家四口，父母兄妺，每人都會洗碗，也會做飯，馬上練習：一家四口，父母兄妺，每人都會洗碗，也會做飯， 但每餐飯，做飯者不洗碗。某假日午晚兩餐， 做飯者非同一人，洗碗者也非同一人，問有幾種情形? Ans：84 種。 解：所求即在 4 個區域各塗上 午飯後洗碗 作午飯 一種顏色，相鄰不同色， 晚飯後洗碗 作晚飯 且有 4 種顏色可選 A D AC同色： B C AC異色： 故共有 4133 +4322 = 36 + 48 = 84 種。 ＃

40. 8. 範例：設一室有四個門，甲乙二人由不同之門進入 再由不同的門出去，且各人不得由同一門進出， 求共有幾種方法? A  進入有 12 種。 解：進入： B D 出去：設甲由 A 進入，乙由 B 進入 C 甲由 B 出：  3 種。  4 種。 甲不由 B 出： 故共有 12  7 = 84 種。 Let’s do an exercise !

41. 馬上練習：設一室有五個門，甲乙二人由不同之門進入馬上練習：設一室有五個門，甲乙二人由不同之門進入 再由不同的門出去，且各人不得由同一門進出， 求共有幾種方法? Ans：260種。 甲 A 進入有 20種。 解：進入： 甲 E 甲 乙 B 出去：設甲由 A 進入，乙由 B 進入 乙 C 乙 D 4種。 甲由 B 出： 甲不由 B 出： 9種。 故共有 20  13 = 260種。 ＃

42. 9. 範例：若一個體育場有 6 個出入口，甲乙丙三人，分別由 不同的門進入體育場，出場時也由不同的門離開， 但限制每人不能由同一門進出，共多少方法數? 解：進入： 進入有120種。 令 A、B、C 分別表甲、乙、丙三人再由進入之門出去。 所求出去數 = 全  n(ABC) = 全  [n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(BC)n(AC)+n(ABC)] = 654 ( 15431143+111) = 71 。 故共有 12071 = 8520 種。 ＃

43. 10. 範例：某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是 球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四色， 球衣有白、綠、藍三色，而球鞋有黑、白、灰三色。公司決定 紅色球帽不搭配灰色鞋子，而白色球衣則必須搭配藍色帽子， 其他顏色的搭配沒有限制，問最多有少種不同款式的公仔? 解：白衣有限制：分白衣與非白衣考慮。  3 種。  4 種。  18 種。 本節結束 故共有 3 + 4 + 18 = 25 種。 注意：白衣須藍帽，但藍帽可搭綠衣或藍衣。