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第六章 轉動

第六章 轉動. 6-1 角速度和角加速度. 6-2 純滾動. 6-3 力矩和轉動. 6-4 角動量和角動量守恆定律. 6-1 角速度和角加速度 (1/9). 何謂剛體 ?. 大小和形狀保持固定不變的物體。. [ 說明 ] ：剛體內部各質點之間的相對位置保持不變。. [ 問題 ] ：生活周遭有哪些物體是剛體 ?. 6-1 角速度和角加速度 (2/9). 角位移. [ 說明 1] ：如上圖，物體繞 O 點轉動時，除了 O 點外，其餘各 質點在相同時間 (Δt) 內，均轉過相同的角度 (Δθ) 。.

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第六章 轉動

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  1. 第六章 轉動 6-1 角速度和角加速度 6-2 純滾動 6-3 力矩和轉動 6-4 角動量和角動量守恆定律

  2. 6-1角速度和角加速度 (1/9) • 何謂剛體 ? 大小和形狀保持固定不變的物體。 [說明]：剛體內部各質點之間的相對位置保持不變。 [問題]：生活周遭有哪些物體是剛體?

  3. 6-1角速度和角加速度 (2/9) • 角位移 [說明1]：如上圖，物體繞O點轉動時，除了O點外，其餘各 質點在相同時間(Δt)內，均轉過相同的角度(Δθ)。 [說明2]：物體轉動的角度稱為「角位移」，常見單位包括 「度(o)」、 「 弧度(rad)」、「圈(轉)(rev)」。

  4. Dq 2p 平均角速度 w= w = =2pf Dt T Dq lim 瞬時角速度 w= Dt Dt0 [說明]：在週期性的轉動中，物體在一個週期內轉了 2p的角度，∴ 6-1角速度和角加速度 (3/9) • 角速度 v.s. 速度 比照平均角速度、瞬時角速度的定義方式，你知道 如何定義「平均角速度」和「瞬時角速度」嗎?

  5. [問題]：10 r.p.s.= r.p.m.= rad/s。 6-1角速度和角加速度 (4/9) • 角速度的單位 角速度的單位，除了有 o/s、rad/s以外，也常以 r.p.m.(每分鐘圈數)、r.p.s.(每秒鐘圈數)表示。 600 20p

  6. 6-1角速度和角加速度 (5/9) • 角速度的方向 [問題]：如右圖，有兩人分立於水車兩側， 則兩人觀察到水車的轉動方向是否一致? [說明]：轉動常以「順時鐘」或「逆時鐘」方向表示，為了 避免誤解，角速度的方向以『右手定則』決定。

  7. Ds rDq Dq lim lim lim v= = = =rw r Dt Dt Dt Dt0 Dt0 Dt0 6-1角速度和角加速度 (6/9) • 角速度 v.s. 線速率 如右圖，A點在Δt的時間內所行經的路徑長為Δs， 所以A點的線速率 [說明]：由上式可知，雖然剛體內各質點的角速度都相同， 但 r 可能不同，所以線速率可能不同。

  8. Dw 平均角加速度 a= Dt 瞬時角加速度 a = Dw lim Dt Dt0 6-1角速度和角加速度 (7/9) • 角加速度 [問題]：角加速度方向與何者方向相同?

  9. v w v w vo wo 1 1 t t 2 2 t t (2)s=vot+ at2 (2)Dq=wot+ at2 6-1角速度和角加速度 (8/9) • 等角加速度運動公式 v.s.等加速度運動公式 (1)v=vo+at (1)w=wo+at (3)w2=wo2+2aDq (3)v2=vo2+2as

  10. Dv rDw Dw lim lim lim at= = = =ra r Dt Dt Dt Dt0 Dt0 Dt0 加速度a= at2+an2 = r a2+w4 6-1角速度和角加速度 (9/9) • 角加速度 v.s. 切線加速度 如右圖，質點的切線加速度 [說明]：當質點作圓運動時，其加速度 可分解為切線加速度at和 法線加速度an。 其中， at=ra；an=rw2。

  11. 圓心前進的距離 = 同時間內圓上各點所走的路徑長 圓心的速率 = 圓上各點的速率 6-2 純滾動(1/2) [說明]：如上圖，若圓盤在圓周上的 AA’ 弧長，等於在地面上 與其相對應的AA’ 長度，則這種滾動稱為純滾動。

  12. 6-2 純滾動(2/2) A v C B O D [問題]：如上圖，若圓盤作純滾動，且圓心速率為v，則 A、B、C、D各點對地面而言，速率各是多少?

  13. z mi Fi ri 6-3力矩和轉動(1/6) [說明1]：如上圖，剛體繞一固定的轉軸轉動，Fi為作用於 第i個質點的合力，其繞轉軸作圓運動的半徑為ri。

  14. z mi Fi Fit Fiz ri Fir 6-3力矩和轉動(2/6) Fi 可分解為三個互相垂直的分力： 平行於轉軸的分力Fiz 為轉軸支撐物的反作用力所平衡； 徑向分力Fir 對轉動沒有影響； 只有切線方向的分力Fit 對剛體產生角加速度。

  15. z mi Fi Fit Fiz ri Fir 6-3力矩和轉動(3/6) Fit使質點 mi 獲得切線加速度 ait，即Fit=mi ait。 因為ait=ri a，且作用於mi的力矩τi = ri Fit τi = ri Fit= mi ri2a

  16. z mi Fi Fit Fiz ri τ= τi =( mi ri2) a= Ia i i Fir [說明2]： I=( mi ri2) ，稱為該剛體繞此軸的轉動慣量 i 6-3力矩和轉動(4/6) 因為剛體所受的總力矩 t 為所有質點所受力矩的向量和

  17. 6-3力矩和轉動(5/6) • 轉動方程式τ= Iav.s. 移動方程式F=ma 1. 合力使物體移動( F=ma)； 合力矩使物體轉動( τ= Ia)。 2. 轉動慣量 I在轉動中扮演的角色，類似於 慣性質量 m在移動中所扮演的角色。 [問題]：為什麼人騎著腳踏車時不易傾倒， 但卻不容易坐在靜止的腳踏車而保持平衡?

  18. 6-3力矩和轉動(6/6) • 均勻剛體的轉動慣量 (僅供參考) 1 2 I=MR2 I= MR2 I= MR2 2 5 1 1 I= ML2 I= ML2 3 12

  19. q p=mv r⊥ r 如上圖，質點相對於O點的角動量 = r⊥ p = rp sinq 6-4角動量和角動量守恆定律(1/6) • 角動量的定義 O

  20. p=mv 如上圖，若以圓心為參考系的原點， 質點作圓運動時，其角動量 l = r p = r mv r 6-4角動量和角動量守恆定律(2/6) • 作圓運動的角動量 O

  21. z 如上圖，當剛體以角速度w轉動時，根據角動量的 定義，可得第i個質點相對於轉軸的角動量 L i= ri mi vi = ri mi ( ri w ) =( mi ri2 ) w 剛體的總角動量 L= li=(miri2)w=Iw i i 6-4角動量和角動量守恆定律(3/6) • 剛體轉動的角動量

  22. DL Dw lim lim = Ia =  I Dt Dt DL lim t= Dt0 Dt0  Dt Dt0 6-4角動量和角動量守恆定律(4/6) • 力矩 v.s.角動量 若剛體所受的合力矩不為零，根據τ= Ia ， 剛體將獲得角加速度a而使角速度w隨之改變；  根據 L= Iw ，剛體角動量的變化量 DL=I Dw 物理意義：剛體所受的合力矩等於其角動量的時變率。

  23. 6-4角動量和角動量守恆定律(5/6) • 角動量守恆定律 DL lim t= Dt Dt0 當剛體所受的合力矩為零，則D L =0，代表角動量L 不隨時間改變，是一個定值，此即角動量守恆定律。 I1w1= I2w2

  24. 6-4角動量和角動量守恆定律(6/6) Dp DL lim lim t=Ia= F=Ma= Dt Dt Dt0 Dt0

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