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例 题 选 讲

例 题 选 讲. 1. 求平面曲线 r ( t ) = ( a cos t , a sin t ) 在任意点的曲率．. 解 . x = a cos t , y = a sin t ，运用曲率计算公式. 直接计算即可得 k ( t ) = 1 / a ．. 2. 求曲线 r = a j 的曲率．. 提示： 这是一个极坐标方程，将它化成直角坐标方程： r = ( a j cos j , a j sin j ) ，然后再用曲率计算公式进行计算．注意 j 是曲线的参数．. 3. 求使曲线 y = e x 的曲率取得极值的点．.

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Presentation Transcript

  1. 例 题 选 讲

  2. 1. 求平面曲线 r(t) = (acost, asint) 在任意点的曲率． 解.x = acost, y = asint，运用曲率计算公式 直接计算即可得 k (t) = 1 / a．

  3. 2.求曲线 r = aj 的曲率． 提示：这是一个极坐标方程，将它化成直角坐标方程：r= (aj cosj, aj sinj)，然后再用曲率计算公式进行计算．注意 j 是曲线的参数．

  4. 3. 求使曲线 y = ex 的曲率取得极值的点． 提示：用曲率计算公式得 k (x) = ex / (1 + e2x)3/2. 然后求函数 k (x) 的极值点．

  5. 4. 设有曲线 C: x = et, y = e-t, z = t2， 求当 t = 1 时的切线方程． 解.切线的方向向量为 r'= (et, – e-t, 2t)．曲线在其上任意一点的切线方程是 然后将 t = 1 代入得所求．

  6. 5. 曲线 x = 3t – t3, y = 3t2, z = 3t + t3 上哪些点的切线与平面 3x + y + z + 2 = 0 平行? 解.设曲线为 r= (x(t), y(t), z(t))，则切向量是 r'= (3 – 3t2, 6t, 3 + 3t2)．平面的法向量为 n= (3,1,1)．曲线的切向量平行于平面的充分必要条件是 r'⊥n，即 3(3 – 3t2) + 6t + (3 + 3t2) = 0. 解这个方程可得 t = – 1, 2．所求点为 (– 2,3, – 4) 和 (– 2,12,14)。

  7. 6. 证明曲线 r= r(s)（kt ≠ 0）是球面曲线的充分必要条件是存在常向量 a使得 r– a= –k -1b– t-1 (k -1) ∙ g. 证明. • 充分性.根据假设条件可知 (r–a)∥g,所以 [(r–a)2] ∙ = 2(r–a) ⋅ r∙ = 2(r–a) ⋅a = 2[– k -1b – t -1(k -1) ∙g] ⋅a= 0， 因此 |r–a|2 = c2，即曲线在以 a为中心、以 c 为半径的球面上．

  8. 必要性.若 C 是半径为 c的球面上的曲线，令 a是球面的球心，则 r– a是球面的法向量，因此也是 C的法向量，于是它可写成 r– a= ab+ bg，其中 a和 b是两个函数．两边和 b作内积得 a=(r–a)⋅b=k-1r∙∙⋅(r–a) =–k -1r∙⋅r∙=– k -1|a|2=– k -1. 另一方面，由于 [b⋅(r–a)]∙=b∙⋅(r–a)+b ⋅r∙=tg⋅(r–a)， 所以有 b=(r–a)⋅g=t-1 [b⋅(r–a)]∙=–t-1(k -1)∙ .

  9. 7. 曲面为球面的充分必要条件是所有法线过定点． 证明.曲面的法线方程是 R–r=ln． • 充分性．设法线过定点 R0，则 R0–r=ln．两边微分得 –dr=(dl)n+ldn，比较两边法向量的系数得 dl=0，即 l是常数，所以 |R0–r|=|l|，这说明曲面是球面． • 必要性.球面的法线都过球心，而球心是一个定点.

  10. 8. 求证：在曲面上的两族曲线 Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0 正交的充分必要条件是 ER–2FQ+GP=0． 证明.两个方向 d=du:dv和 d=du:dv正交的充分必要条件是 Edudu+F(dudv+dudv)+Gdvdv=0， 即 Edd+F(d+d)+G=0．另一方面，d 和 d是 Pd2+2Qd+R=0 的两个根，所以 dd=R/P，d+d=–Q/P．代入正交条件即可．

  11. 9. 证明 nu×nv=K(ru×rv). 证明.因为 n 是 P点的单位法向量，所以 nu 和 nv是曲面在该点的切向量，因此 nu×nv∥n，即 ru×rv∥nu×nv，所以有 nu×nv=l(ru×rv)．两边与 ru×rv作内积得 (nu×nv)⋅(ru×rv)=l(ru×rv)⋅(rv×rv)．

  12. 将此式两端运用拉格朗日公式得 (nu⋅ru)(nv⋅rv)–(nu⋅rv)2 =l[(ru⋅ru)(rv⋅rv)–(ru⋅rv)2], 即 LN–M2=l(EG–F2)．于是 l=(LN–M2)/(EG–F2)=K． 这样我们得到了nu×nv=K(ru×rv).

  13. 10. 设有正则曲面 S:r=r(u,v)，P是 S 上一点，TPS是曲面 S 在 P 点的切平面，v,w∈TPM．证明 W(v)×W(w)=Kv×w． 证明. 设 v=v1ru+v2rv，w=w1ru+w2rv，则 W(v)=–v1nu–v2nv，W(w)=–w1nu–w2nv． 于是 v×w=(v1w2–v2w1)ru×rv， W(v)×W(w) =(v1w2–v2w1)nu×nv =(v1w2–v2w1)nu×nv =(v1w2–v2w1)Kru×rv =Kv×w. 这里我们运用了 nu×nv=Kru×rv．

  14. 11. 若曲面 S 的高斯曲率处处小于零，则曲面 S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线． 证明.如果存在，设为 C，它所围城的区域设为 D，则由高斯-波涅公式为 由于曲线光滑，所以 Si(p – ai)=0 ．又由于 C=∂D是测地线，所以 kg=0 ．于是有 这不可能，因为等式左边为负，右边为正．

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