第二讲 曲线的极坐标方程

1. 第二讲 曲线的极坐标方程 在直角坐标平面上，曲线可以用 x、y 的二元方程F（x，y）＝0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。 同理，在极坐标平面上，曲线也可以用关于、 的二元方程G（，）＝0来表示，这种方程称为曲线的极坐标方程。 类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。 设P（  ， ）是曲线上的任意一点，把曲线看作适合某种条件的点的轨迹，根据已知条件，求出关于、的关系式，并化简整理得G（ ，）＝0，即为曲线的极坐标方程。

2. 探索:如图，半径为r的圆的圆心坐标为(r,0)(r>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？ 解：如图所示， 设P（，）为圆上任意一点，由于OP⊥AP |OA|=2r，∠POA＝θ则 |OP|＝|OA|cos∠POA 即 ＝2rcos 所以 所求圆的极坐标方程为 ＝2rcos

3. 曲线的极坐标方程 一、定义： 如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程 f(,)=0 ； (２)方程 f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是 f(,)=0 。

4. 例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？

5. 思考：求圆心在C（r,π/2)、半径为r的圆的极坐标方程？ 解：如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。 设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为（2r, ）。 设圆上任意一点为P（，），连结PA，则 ｜OP｜＝（0），∠POx＝ 在Rt△POA中，由于 cos∠POA= ，即=2rsin 所以 ＝2rsin为所求圆的极坐标方程。

6. 练习、 1、求圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程。 2、求圆心在A(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程。 3、圆心在(a,3/2)，半径为a的圆的极坐标方程。 4、求在圆心的极坐标为A（4，0），半径为4的圆中， 求过极点O的弦的中点的轨迹。

7. 例2、求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程。 如图所示，在所求直线 l 上任取一点P（，）， 连结OP， 解： 则 OP＝，∠POA＝ P(，) P(，) 在Rt△POA中，由于OA=OPcos，   θ θ x x 即 2＝cos, O A(2,0) O A(2,0) 所以 cos=2为所求直线的极坐标方程。

8. 变式训练：直线L经过点M（3， ），且与极轴的夹角为 的直线的极坐标方程。 练习、将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1） （4） 例3、求： （1）过极点且与极轴成600的角的直线的方程。 （2）过点 ， （2）过点 ， 平行于极轴的直线的方程。 角的直线方程。 且和极轴成 （3）过点 例4、将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的 互化。 （2） （1） （2） （3）

9. 小 结 在极坐标系中，我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置。 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法。 ① ② 在极坐标系中，求曲线的极坐标方程与在直角坐标系中求曲线的直角坐标方程的方法是类似的。