Tracking Error and Performance Measurement

1. Tracking Error and Performance Measurement di Massimiliano Kaucic 7 Febbraio 2005

2. Modelli per il tracking error Quadratici Lineari Misure di Performance Tradizionali Di Avversione al Rischio

3. Tracking Error È una misura per le deviazioni di una variabile aleatoria da un’altra In termini finanziari, è una misura dell’andamento di un portafoglio, o di un fondo, rispetto ad un dato benchmark

4. Applicazioni dei modelli di tracking error • Per identificare le variabili esplicative di un • portafoglio: potrebbe essere l’individuazione di • uno stile di investimento per un fondo; 2. Per evidenziare i “pesi” dei fattori economici che conferiscano al portafoglio le caratteristiche di rischio/rendimento simili al predefinito benchmark: ad esempio, per replicare un indice con un numero considerevolmente minore di titoli.

5. Multi Factor Models Lo sviluppo dell’analisi del tracking error è nato con lo studio dei modelli multi fattoriali, del tipo frazione di investimento sul titolo rendimento di un titolo (factor return) rendimento del benchmark errore campionario

6. I β vanno interpretati come misure di sensibilità del rendimento del portafoglio, in questo caso del benchmark, ai cambiamenti in uno o più fattori (cioè i rendimenti dei titoli del mio portafoglio). L’ipotesi centrale di questo modello multi fattoriale è la relazione lineare fra la variabile dipendente “rendimento del benchmark” e le variabili esplicative “rendimenti dei titoli” del mio portafoglio. Si usa il termine tracking quando questa dipendenza è espressa in termini ottimali.

7. Il tracking error ottimale è tipicamente ottenuto minimizzando la somma dei quadrati delle differenze fra il benchmark e i factor returns rispetto alle misure di sensitività β. In altri termini, il tracking error è la varianza dei residui della regressione. In queste ipotesi, il tracking error ottenuto risulta essere uno stimatore BLUE (best linear unbiased).

8. Le espressioni matematiche sono in forma matriciale Indichiamo con Y il vettore dei rendimenti del benchmark, con X la matrice dei rendimenti del mio portafoglio e con ε il vettore dei residui. 1. Da questa espressione ricaviamo il tracking error variance, ovvero ε’ ε. 2. Determinazione di βcome stimatore BLUE:

9. Mean Square Models I tracking errors sono calcolati come i momenti secondi annualizzati delle differenze fra i rendimenti del portafoglio e quelli del benchmark: rendimento del portafoglio al tempo i rendimento del benchmark al tempo i ampiezza del campione

10. Modelli quadratici a confronto La maggior differenza fra l’approccio a media-varianza e il tracking error quadratico è che il rendimento di soglia del portafoglio è sostituito da una variabile aleatoria, il rendimento del benchmark. • Roll’s model (tracking error in ipotesi downside risk): • Mean-Variance model:

11. L’identificazione di uno stile di investimento e l’introduzione di vincoli lineari sulla funzione oggetto, permettono di interpretare i β come frazioni di investimento. Dal momento che vengono aggiunti dei vincoli, in generale, le proprietà dei BLUE non saranno più soddisfatte dal tracking error. Viene a mancare la caratteristica fondamentale che ha guidato la scelta dell’espressione quadratica del tracking error!

12. Linear Models Una definizione di tracking error pensata per replicare un dato benchmark con la prospettiva degli investitori: Generare un modello di rendimento con un portafoglio fattoriale che corrisponda quanto più possibile al rendimento del benchmark. Una soluzione è considerare i valori assoluti delle deviazioni del portafoglio fattoriale rispetto al benchmark, piuttosto che i quadrati delle differenze

13. Linear Models MinMax Model MinMax model (MinMax) Mean Absolute Deviations model (MAD) Si usa il massimo della distanza fra i rendimenti del porta- foglio fattoriale e del benchmark: Rappresenta una strategia di protezione rispetto al caso peggiore.

14. MAD Model Si usa la somma del valori assoluti delle deviazioni del portafoglio fattoriale dai rendimenti del benchmarck: • Dal momento che nel MAD Model gli outliers sono • considerati in media, il modello risulta più robusto • contro questi rispetto al MinMax Model. 2. Dal momento che nei modelli quadratici le deviazioni sono al quadrato, grandi differenze causano pesi maggiori in questi modelli rispetto al MAD Model. Lo stimatore MAD è meno sensibile rispetto agli outliers rispetto alle stime quadratiche.

15. Il downside risk di un investimento È una percezione di rischio da parte degli investitori nel momento in cui il rendimento del proprio portafoglio è inferiore al rendimento del benchmark La minimizzazione del tracking error è ristretta alle sole deviazioni negative fra i rendimenti del portafoglio fattoriale e quelli del benchmark

16. Per costruire un portafoglio protetto (hedgeable portfolio) si richiede una minimizzazione simmetrica del tracking error, mentre per raggiungere una performance di alto livello con un potenziale downside fissato è consigliabile l’uso di un modello downside Downside Linear Models Mean Absolute Downside Deviations model (MADD) Downside MinMax model (MMinMax)

17. La scelta del modello dipende dall’obiettivo dell’investimento • per costruire un hedge portfolio riferendosi ad un indice • come benchmark, un modello MAD è più appropriato di • uno MinMax; 2. quest’ultimo è consigliabile si vogliono eliminare i periodi di grande divergenza fra l’andamento del portafoglio e il benchmark; 3. i modelli downside si usano per evitare gravi perdite nel portafoglio fattoriale; 4. in assenza di vincoli è meglio impiegare lo stimatore quadratico.

18. Modelli quadratici e lineari a confronto Misura del rischio: VARIANZA • Modello di Markowitz • il rendimento atteso è multivariato normale; • l’investitore è avverso al rischio e sceglie il rischio • minore. Misura del rischio: DEVIAZIONI ASSOLUTE • Modello di Konno e Yamazaki Se il rendimento atteso è multivariato normale, la minimizzazione delle deviazioni assolute fornisce risultati prossimi alla formulazione quadratica.

19. Modello di Rudolf, Wolter e Zimmermann La minimizzazione delle deviazioni assolute, anche in una visione di downside risk, è equivalente alla massimizzazione dell’utilità attesa in condizioni di avversione al rischio.

20. Misure di Performance Tradizionali Si riferiscono ad un investitore rappresentativo che massimiz- za l’utilità attesa. • Sharpe Ratio: • è il rapporto fra il rendimento atteso e il rischio, misurato • con la deviazione standard Information Ratio:

21. 2. Alpha di Jensen: è la parte di performance del portafoglio che non è spiegata dal suo β del CAPM dove rischio sistematico del portafoglio

22. 3. Higher Moment (HM) di Hwang e Sathell (1998): è basata sul terzo momento del CAPM dove

23. Alcune considerazioni sulle formule è la skewness dei rendimenti del mercato è la kurtosis dei rendimenti del mercato Se la distribuzione dei rendimenti del mercato è normale, o l’utilità degli investitori è governata solo dalle media e dalla varianza, allora questa misura è equivalente all’Alpha di Jensen e si hanno:

24. La Prospect Theory La convenzionale teoria dell’utilità attesa è stata criticata per non essere consistente con il comportamento degli investitori. In questa nuova teoria, gli investitori massimizzano la somma pesata di una funzione del valore, che è calcolata in termini di guadagni e perdite piuttosto che di ricchezza finale e i pesi sono soggettivi e non oggettivi.

25. ricchezza benchmark guadagni ricchezza investitore

26. La loss aversion performance (LAP) è il rapporto tra i guadagni e le perdite, entrambi elevati ad una data potenza. Quando ci si riferisce ad un benchmark, la misura del LAP diventa il rapporto fra i tracking errors positivi e quelli negativi, elevati ad una data potenza.

27. Come calcolare il LAP

28. House Money Effect Gli investitori tendono a prendere maggiori rischi quando hanno conseguito guadagni recenti La LAP dovrebbe essere una funzione dei guadagni e delle perdite precedenti tanto quanto di quelli correnti Exponentially weighted loss aversion utility function House money loss aversion utility function

29. House money loss aversion utility Il coefficiente di loss aversion dipende dai guadagni e dalle perdite precedenti: Questa funzione di utilità presenta uno spigolo nello zero. Quindi si enfatizza il passaggio dalle perdite ai Guadagni.

30. Exponentially weighted loss aversion utility Questa funzione di utilità soddisfa la condizione di concavità intorno allo zero. Nei mercati finanziari si hanno varie scelte dell’indice di mercato per il benchmark. Sebbene siano fortemente correlati, alune piccole differenze sono inevitabili: così piccoli guadagni con un benchmark, possono diventare piccole perdite per un altro.

31. Adattamento ad un gestore di fondi I guadagni e le perdite sono calcolati relativamente alla rischiosità di un benchmark (stock market index): La loss utility function riscritta usando il benchmark:

32. Valore atteso della LA utility: Valore atteso di una funzione di utilità media varianza: Come nella teoria classica, si mira a massimizzare l’utilità attesa.

33. Loss aversion performance measures 1. Con analogia al SR: Questa espressione ammette distribuzioni dei rendimenti asimmetriche. Tenendo condo dell’house money effect, il coefficiente di loss aversion, λt, dipende dalla performance Precedente, per cui si hanno le seguenti misure:

34. 2. 3.

35. Dal punto di vista di un investitore, una “buona performance” si realizza quando questa è associata positivamente con la media e la skewness e negativamente con la varianza e la kurtosis Le LAP sembrano essere molto più appropriate rispetto alle misure standard per le scelte dei fondi in un’ottica loss avertion, poiché risultano positiva- mente associate con i livelli di tracking error e negativamente con la kurtosis dei tracking errors