數值積分與瑕積分

1. 數值積分與瑕積分 控晶一乙 第六組 組長: 呂國弘 組員: 陳尚璆 黃詩暉 孫岱榆 楊承翰

2. 瑕積分

3. 瑕積分 在定義積分時，我們要求函數f在閉區間上是有界的，而在微積分基本定理中則假設f在 [a, b] 上是連續的。 但若f在[a, b]中的某些點上不連續且在這些點的極限是發散到無窮時，仍然可以考慮積分存在的可能性，一個積分符合以下條件的其中之一，即稱為瑕積分 1. 積分的左右極限或其中之一是無窮的 2. f 是由無限個不連續區間所組成的在區間 [a, b] 上 舉例來說 和

4. 定義1 1.若函數f(x)在 [a,)區間連續，則定義為下述極限 2.若函數f(x)在(-,b]區間連續，則定義為下述極限 若以上各式極限存在，則我們稱此瑕積分為收斂，否則就稱此瑕積分為發散。 3.若以及 都收斂，則我們稱收斂。

5. 定義2 1.若f在區間[a,b)上連續且 ，則定義 2.若f在區間(a,b]上連續且 ，則定義 若以上各式極限存在，則我們稱此瑕積分為收斂，否則就稱此 瑕積分為發散。 3.若f在區間[a,c)與(c, b]上連續，，且與 皆收斂，則稱瑕積分 為收斂，否則稱為發散， 並定義為

6. 比較定理 假設函數f(x)與g(x)均為連續，且 f(x) ≧ g(x) ≧0 對所有 x ≧ a，則 (1)若 收斂，則亦收斂。 (2)若 發散，則亦發散。 上述定理之逆敘述均不成立。

7. 範例 求瑕積分 解: 在時趨近無限大 根據定義 故 發散

8. 數值積分

9. 數值積分 有些積分是很難正確的去算出它的值的，例如 的不定積分就無法用初等函數表示。 而在很多實際應用中，只能知道積分函數在某些特定點的取值，比如天氣測量中的氣溫、濕度、氣壓等。這時是無法用求不定積分的方法計算函數的積分的。 在這種情形下，我們可借由數值方法去求它的近似值。

10. 梯形法則 = b 。 若f(x)在[a, b]上有定義，將區間[a, b]分割為n等分，既 ，其中 , ，每個小區間的寬度 ，則f(x)在區間的積分值近似於梯形面積

11. 梯形法則 將所有梯形面積加總，進行推導

12. 範例-使用梯形法 以梯形法來估算 ，並比較 n ＝ 4 和 n ＝ 8 的結果。 當 n ＝ 4 時，子區間的寬度為 而子區間的端點為 利用梯形法可得

13. 當 n ＝ 8 時，子區間的寬度為 而子區間的端點為 利用梯形法可得

14. 辛普森法則 = b 若f(x)在[a, b]上有定義，將區間[a, b]分割為n等分，既 ，其中 , ，每個子區間的寬度 ，在子區間 [x0, x2]以通過(x0, f(x0))，(x1, f(x1))，(x2,f(x2))的二次多項式 來代替 f(x)，可得

15. 辛普森法則 在子區間 [xi－2, xi] 重複以上的步驟，可得

16. 範例-使用辛普森法 以辛普森法來估算 ，並比較 n ＝ 4 和 n ＝ 8 的結果。 當 n ＝ 4 時，子區間的寬度為 而子區間的端點為 利用辛普森法可得

17. 當 n ＝ 8 時，子區間的寬度為 而子區間的端點為 利用辛普森法可得

18. 比較梯形法和辛普森法的範例 正確值 梯形法當n=4時 ,當n=8時 辛普森法當n=4時 ,當n=8時 • 由上列結果可得知 • 當n 值增加，誤差會變小。 • 當 n 固定時，辛普森法所得的結果比梯形法精準。

19. 參考資料 • 微積分，張勝麟等著，再版 • 維基百科 • 數值積分 - 真理大學imei.au.edu.tw/ocw/sites/default/.../Lecture7_2_numerical_integration