Εισαγωγή στην Κρυπτογραφία

1. Εισαγωγή στην Κρυπτογραφία Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού

2. Σχηματική αναπαράσταση Κρυπτογραφημένο μήνυμα Κρυπτογράφηση με το δημόσιο κλειδί του B Αποκρυπτογράφηση με το ιδιωτικό κλειδί του B Χρήστης A Χρήστης B Αποκρυπτογράφηση με το ιδιωτικό κλειδί του A Κρυπτογράφηση με το δημόσιο κλειδί του A Κρυπτογραφημένο μήνυμα

3. Μαθηματική Θεωρία • Συνάρτηση μίας κατεύθυνσης(one-way) ονομάζεται κάποια συνάρτηση η οποία είναι εύκολο να υπολογιστεί, αλλά πολύ δύσκολο να αντιστραφεί. ‘Καταπακτή’ (‘trapdoor’)σε μία τέτοια συνάρτηση αποκαλείται οποιαδήποτε γνώση μας επιτρέπει να την αντιστρέψουμε. • Η κρυπτογράφηση σε ένα σύστημα Δημοσίου Κλειδιού πρέπει να είναι μία ‘one-way’συνάρτηση η οποία να έχει ένα ‘trapdoor’ (το ιδιωτικό κλειδί αποκρυπτογράφησης). • Το ‘trapdoor’ πρέπει να το γνωρίζει μόνο ο παραλήπτης.

4. Κάποια παραδείγματα συναρτήσεων μίας κατεύθυνσης • Πολλαπλασιασμός δύο πολύ μεγάλων πρώτων αριθμών. • x  x2 (mod m), όπου m σύνθετος αριθμός • x  axστο πεπερασμένο σώμαGF(2n)ήGF(p). • k  Ek(m)για σταθερό m, όπου τοEk είναι η συνάρτηση κρυπτογράφησης σε ένα σύστημα συμμετρικού κλειδιού, το οποίο είναι ασφαλές έναντι σε επιθέσεις known plaintext. • x a.xόπουxείναι έναn-bit δυαδικόδιάνυσμα καιaείναι μία σταθερή n-άδα ακεραίων. Τότε το a.xείναι ένας ακέραιος.

5. Στοιχεία Θεωρίας Πολυπλοκότητας • Προβλήματα τα οποία μπορούν να επιλυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο ανήκουν στην κλάση P • Προβλήματα των οποίων μία καταφατική απάντηση μπορεί να επιβεβαιωθεί σε πολυωνυμικό χρόνο, δοθείσας κάποιας επιπρόσθετης πληροφορίας, ανήκουν στην κλάση NP • Προβλήματα των οποίων μία αρνητική απάντηση μπορεί να επιβεβαιωθεί σε πολυωνυμικό χρόνο, δοθείσας κάποιας επιπρόσθετης πληροφορίας, ανήκουν στην κλάση co-NP • Τα πιο δύσκολα NP προβλήματα ονομάζονται NP-complete.

6. Στοιχεία Θεωρίας Πολυπλοκότητας • Ένα NP πρόβλημα χαρακτηρίζεται από το ότι δεν έχει βρεθεί πολυωνυμικός αλγόριθμος που να το επιλύει. • Ισχύει P  NP • Παρόλο που πιστεύεται ότι NP ≠ P, εν τούτοις δεν έχει αποδειχτεί • Παράδειγμα: η ανάλυση ενός αριθμού στους πρώτους του παράγοντες είναι NP πρόβλημα • Συναρτήσεις μίας κατεύθυνσης στην πράξη θεωρούνται αυτές που εμφανίζονται στα NP προβλήματα

7. Υπολογιστικά δύσκολα προβλήματα που χρησιμοποιούνται στην κρυπτογραφία (I) • Factoring: για δοθέν ακέραιο n, εύρεση της παραγοντοποίησής του σε πρώτους παράγοντες • RSA problem: Για δοθέν ακέραιο n που είναι γινόμενο δύο πολύ μεγάλων πρώτων p και q διαφορετικών μεταξύ τους, δοθένφυσικό e τέτοιον ώστε gcd(e,(p-1)(q-1))=1 και δοθέν ακεραίου c, εύρεση ακεραίου m με την ιδιότητα: me c(mod n) • Quadratic Residuocity Problem (QRP):Δοθέντος σύνθετου περιττού ακέραιου n και ακεραίου a με Jacobi σύμβολο , έλεγχος για το αν το a είναι ή όχι τετραγωνικό υπόλοιπο modulo n.

8. Υπολογιστικά δύσκολα προβλήματα που χρησιμοποιούνται στην κρυπτογραφία (II) • Square roots modulo n (SQROOT): για δοθέν σύνθετο ακέραιο n και a  Qn (το σύνολο των τετραγωνικών υπολοίπων mod n), εύρεσητετραγωνικής ρίζας του a modulo n (δηλαδή, εύρεση x με την ιδιότητα x2a(mod n)) • Discrete logarithm problem (DLP): Δοθέντος πρώτου p, ενός στοιχείου-γεννήτορα a της ομάδας Zp* και ενός στοιχείου β Zp*, εύρεση ακεραίου x, 0 ≤ x ≤ p-2 τέτοιου ώστε ax β (mod p) • Generalized discrete logarithm problem (GDLP): Δοθείσης μίας πεπερασμένης κυκλικής ομάδας G τάξης n, ενός γεννήτορα a της ομάδας και ενός στοιχείου β G, εύρεση ακεραίου x, 0 ≤ x ≤ n-1 τέτοιου ώστε ax =β

9. Υπολογιστικά δύσκολα προβλήματα που χρησιμοποιούνται στην κρυπτογραφία (III) • Diffie – Hellman problem (DHP): Δοθέντος ενός πρώτου p, ενός στοιχείου-γεννήτορα a της ομάδας Zp* και στοιχείων aαmod p και aβmod p, εύρεση του aαβmod p. • Generalized Diffie – Hellman problem (GDHP): Δοθείσης μίαςπεπερασμένης κυκλικής ομάδας G, ενός στοιχείου-γεννήτορα a της ομάδας και στοιχείων aακαι aβ της ομάδας, εύρεση του aαβ. • Subset sum problem (SUBSET-SUM):Δοθέντος ενός συνόλου θετικών ακεραίων {a1, a2, …, an} και ενός θετικού ακεραίου s, έλεγχος για το υπάρχει ή όχι υποσύνολο των aiτέτοιων ώστε το άθροισμά τους να ισούται με s.

10. Αλγόριθμος RSA {βασίζεται στο πρόβλημα της παραγοντοποίησης} • Πήρε το όνομά του από τους εμπνευστές του Rivest, Shamir, Adleman. • Kάθε χρήστης διαλέγει τυχαία δύο πολύ μεγάλους πρώτους αριθμούς p, q, και υπολογίζει το γινόμενο N=pq. • Το N θα πρέπει να αποτελείται τουλάχιστον από 200 ψηφία και δημοσιοποιείται • Τα p και q κρατούνται μυστικά.

11. Ο αλγόριθμος RSA (συνέχεια) • Με χρήση των p και q, ο χρήστης υπολογίζει τη συνάρτηση Euler φ(N), που ισούται με το πλήθος των θετικών ακεραίων που είναι πρώτοι ως προς το N. • φ(N)=φ(p)φ(q) = (p-1) (q-1) • Στη συνέχεια ο χρήστης διαλέγει έναν τυχαίο αριθμό e μικρότερο τουφ(Ν)με την ιδιότητα gcd(e,φ(N))=1. Οι αριθμοί e και Ν δημοσιοποιούνται. • Με τον επεκταμένο (extended) αλγόριθμο του Ευκλείδη, ο χρήστης υπολογίζει τον μοναδικό ακέραιο d, 1 < d < φ(N), με την ιδιότητα ed=1 (mod φ(Ν)). • Το δημόσιο κλειδί του χρήστη είναι το ζεύγος (N,e). Το ιδιωτικό του κλειδί είναι ο αριθμός d.

12. Επεκταμένος αλγόριθμος του Ευκλείδη • Για δοθέντα a, b με α ≥ b ≥ 0, εύρεση του g = gcd(a,b) και ακεραίων x, y με την ιδιότητα ax + by =g (στον RSA: a = φ(Ν), b = e και επίσης g = 1. Στο d θα αποδοθεί η τιμή του y, δηλ., φ(Ν)x + ed = 1, οπότε ed = 1 mod φ(Ν)). • Βήμα 1: Αν b=0, τότε: g=a, x=1, y=0, δηλ., a=a1+00 ΤΕΛΟΣ.Διαφορετικά, • Βήμα 2: x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1 • Βήμα 3: Για όσο ισχύει b > 0 • q = a/b, r = a  qb, x = x2  qx1, y = y2  qy1 • a = b, b = r, x2 = x1, x1 = x, y2 = y1, y1 = y • Βήμα 4: g=a, x=x2, y=y2 και επέστρεψε(g, x, y) ΤΕΛΟΣ

13. Παράδειγμαγενικό • Έστω a = 4864, b = 3458 , αρχικά x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1 • q = a/b, r = a  qb, x = x2  qx1, y = y2  qy1 • a = b, b = r, x2 = x1, x1 = x, y2 = y1, y1 = y Άρα x =x2=32 και y= y2=-45, συνεπώς: Αποτέλεσμα: 4864·32 + 3458 ·(-45) = 38 = gcd(4864, 3458)

14. Παράδειγμαγια RSA Έστω p=47, q=59, N=pq=2773, φ(Ν)=(p -1)(q -1)=2668, e=17 Άρα x =x2=-1 και y= y2=157, συνεπώς: Αποτέλεσμα: 2668· (-1) + 17 · 157 = 1, άρα 17 · 157 =1 mod 2668

15. Παράδειγμαειδικό για τον RSA(με αντιστοίχηση στα βήματα του συνήθη) Πιο απλή μέθοδος! Έστω p=47, q=59, N=pq=2773, φ(Ν)=(p -1)(q -1)=2668, e=17 Τα βήματα του επεκταμένου αλγορίθμου του Ευκλείδη περιγράφονται πιο απλά με βάση τα βήματα του συνήθη αλγορίθμου, όπως φαίνεται στο παράδειγμα Συνήθης Επεκταμένος 2668=17·156 + 16 16= 2668 17·156 17=1·16 + 1 1= 17  1 ·16= 17  1 ·(2668  17 ·156) = ( 1)·2668 + 17·157 Άρα, 17 · 157 = 1 mod φ(2668)

16. Αλγόριθμος RSA (κρυπτογράφηση) • Για να κρυπτογραφηθεί ένα μήνυμα m που θέλει να στείλει κάποιος χρήστης B στον χρήστη A, το m διασπάταισε μία σειρά τμημάτων m1, m2, …, mp, όπου κάθε miαναπαρίσταται από έναν ακέραιο μεταξύ 0 και N. • Η κρυπτογράφηση γίνεται ξεχωριστά για κάθε block miμε χρήση των δημοσίων κλειδιών e και N του A και παράγονται τα κρυπτογράμματα ciως εξής: ci=mie mod N

17. Αλγόριθμος RSA(αποκρυπτογράφηση) • Ο A αποκρυπτογραφεί τοκρυπτόγραμμα c υπολογίζοντας το m = cd mod N. Η σχέση μεταξύ του d και του e εξασφαλίζει τη σωστή ανάκτηση του m. • Μόνο ο Αμπορεί να αποκρυπτογραφήσει το μήνυμα, αφού είναι ο μόνος που γνωρίζει το d. • O RSA στην ουσία στηρίζεται στα υπολογιστικά δύσκολα προβλήματα Factoringκαι RSA Problem– η δυσκολία αυτών του προσδίδει και την ασφάλειά του

18. Ερμηνεία της αποκρυπτογράφησης RSA • Από ed = 1 mod φ(Ν) = 1 mod (p-1)(q-1) έπεται ότι υπάρχει ακέραιος k με ed = kφ(Ν) +1. • Άρα cid= mied= mikφ(N)+1 = mik(p-1)(q-1)+1 = mi mik(p-1)(q-1) • Εάν το miδιαιρείται από το p, τότε mied= 0ed = mimod p • Εάν το miδεν διαιρείται από το p, τότε (Θεώρημα Εuler) mip-1= 1mod p, οπότε mied= mimod p • Ομοίως έχουμε mied= mimod q • Επειδή p  q έπεται mied= mimod N

19. Επιθέσεις εναντίον RSA • Παραγοντοποίηση του N στους πρώτους παράγοντές του p και q. Ο επιτιθέμενος θα μπορεί έτσι να υπολογίσει το d. (πρόβλημα factoring). • Αν το πλήθος των πιθανών μηνυμάτων δεν είναι μεγάλο, ο επιτιθέμενος μπορεί να αποκρυπτογραφήσει το c κάνοντας απλά εξαντλητικό έλεγχο κρυπτογραφώντας όλα τα πιθανά μηνύματα, μέχρι να παραχθεί το c. (Forward search attack) • Για περαιτέρω μεθόδους: “Handbook of Applied Cryptography”, παράγραφος 8.2.2

20. Ασφάλεια του RSA • Όσο πιο μεγάλο είναι το N (κλειδί), τόσο πιο μεγάλη η ασφάλεια.Από την άλλη, ο RSA γίνεται πιο αργός. • Τα p, q πρέπει να έχουν μεγάλη διαφορά μεταξύ τους: αν η διαφορά p-q είναι μικρή, τότε p  , και έτσι ο p (άρα και ο q) μπορούν να υπολογιστούν με δοκιμές. • Ο 512-bit RSA-155 «έσπασε» μέσα σε 7 μήνες το 1999. • Το RSA lab προτείνει σήμερα σαν μέγεθος κλειδιού τουλάχιστον 1024 bits.

21. Σύνοψη RSA και παράδειγμα ΘεωρίαΠαράδειγμα N = pq 2773 = 47 · 59 p=47 q=59 ed  1(mod(p-1) (q-1)) 17 · 157 ≡ 1(mod 2668) e=17 d=157 Δημόσιο κλειδί: (e,Ν) (17,2773) Ιδιωτικό κλειδί: (d) (157) Μήνυμα m (0 < m < N) m = 31 H γνώση των p, q απαιτείται για τον υπολογισμό του d Κρυπτογράφηση: c ≡ me (mod n) 587 ≡ 3117 (mod 2773) Αποκρυπτογράφηση: m ≡cd (mod N) 31 ≡ 587157 (mod 2773)

22. El GamalΑλγόριθμος {Βασίζεται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου} • Παράμετροι συστήματος: Ακέραιοι g,p • Ο p είναι ένας μεγάλος πρώτος και ο g ένα πρωταρχικό στοιχείο (στοιχείο – γεννήτορας) του Zp*. (δηλαδή: gκ≠ 1 (mod p) για όλα τα k μικρότερα του p-1) Επιλέγονται τυχαία από έναν χρήστη Α. • O A επιλέγει ιδιωτικό κλειδί a: 1 ≤ a < p – 2 • Υπολογισμός του y = ga mod p. • To Δημόσιο Κλειδί του A είναι η τριπλέτα (p, g, y). • To ιδιωτικό του κλειδί είναι το a.

23. Εύρεση στοιχείου – γεννήτορα σε μία πεπερασμένη ομάδα • Γενική περίπτωση: Έστω μία ομάδα G με n στοιχεία, όπου n=p1e1p2e2…pkek (το μοναδικό του ανάπτυγμα σε πρώτους παράγοντες). Αναζητείται στοιχείο g της ομάδας, που οι διαδοχικές του δυνάμεις σαρώνουν όλη την ομάδα (στοιχείο – γεννήτορας ή πρωταρχικό) (Ειδική περίπτωση στον El Gamal: n=p) • Βήμα 1: Επιλογή τυχαίουστοιχείου a της ομάδας • Βήμα 2: Για i=1 έως κάνε τα εξής: • Υπολογισμός b=an/pi • Αν b=1, πήγαινε στο Βήμα 1 • g=a

24. Κρυπτογράφηση El Gamal{δημόσιο κλειδί (p, g, y)} Αν ο B θέλει να στείλει ένα μήνυμα m στον A, τότε: • Ο B παράγει τυχαίο ακέραιο k, 1≤ k ≤ p-2. • Αναπαριστά το μήνυμα m ως ακέραιο μικρότερο ή ίσο του p-1. • O B στέλνειτα: γ = gk (mod p) και το δ = myk (mod p) στον A. • Αποκρυπτογράφηση: Ο Aχρησιμοποιεί το a για τον υπολογισμό του ykαπό το gkκαι στην συνέχεια υπολογίζει το m, ως εξής:

25. Αποκρυπτογράφηση El Gamal {Ο Α έχει δεχτεί τα: γ = gk (mod p) και δ = myk (mod p) } {Το y έχει υπολογιστεί ως y = ga mod p} • OA υπολογίζει το γp-1-a = γ-a (μια που γνωρίζει το ιδιωτικό του κλειδί a) • Ο A ανακτά το μήνυμα m με τον υπολογισμό (γp-1-a)δ mod p. • Επαλήθευση: (γp-1-a)δ γ-aδ g-ak myk  g-ak mgak m mod p.

26. Χαρακτηριστικά του αλγορίθμου El Gamal • Ο αποστολέας χρειάζεται γεννήτρια τυχαίων αριθμών(για τον ακέραιο k). • Το κρυπτόγραμμα είναι δύο φορές πιο μεγάλο από το μήνυμα • Η ασφάλειά του στηρίζεται στη δυσκολία επίλυσης των προβλημάτων DLP και DHP.

27. Κρυπτογράφηση El Gamal – Παράδειγμα • Πρώτοςp = 2357 Πρωταρχικό στοιχείοg = 2 • Ιδιωτικό κλειδί: a= 1751 • y = 21751(mod 2357) = 1185 • Μήνυμα m = 2035 • Έστω τυχαίος ακέραιοςk = 1520που παράγει ο αποστολέας. Τότε, κάνει τους εξής υπολογισμούς: • γ = gk= 21520(mod 2357) = 1430 • δ = myk =2035·11851520(mod 2357) = 697 • Συνεπώς, μεταδίδεταιτο ζεύγος (1430, 697) από τον B στον A

28. Κρυπτογράφηση El Gamal – Παράδειγμα (συνέχεια) Για την αποκρυπτογράφηση: γp-1-a 1430605 mod 2357 = 872 Εύρεσηm:872 · 697 mod 2357 = 2035

29. Σχήμα Rabin • Ένας χρήστης A επιλέγει δύο τυχαίους μεγάλους πρώτους αριθμούς p, q και υπολογίζει το γινόμενό τους N • Το δημόσιο κλειδί του A είναι το N, και το ιδιωτικό τα p, q. • Για την κρυπτογράφηση του μηνύματος m που θέλει να στείλει κάποιος χρήστης στον A, απλά το υψώνει στο τετράγωνο mod Ν: c  m2 (mod N) • Για την αποκρυπτογράφηση, πρέπει να είναι γνωστά τα p, q – άρα μόνο ο A μπορεί να αποκρυπτογραφήσει το μήνυμα που εστάλη από τον B. • Η ασφάλειά του έγκειται στο ότι κάθε προσπάθεια υπολογισμού του m από επιτιθέμενο, απαιτεί αντιμετώπιση είτε του προβλήματος Factoringείτε του SQROOT. • Πρόβλημα: για γνωστά p, q, υπάρχουν τέσσερις τετραγωνικές ρίζες του c (mod pq). Άρα, ο A πρέπει να επιλέξει μεταξύ 4 πιθανών μηνυμάτων Αρχικό μήνυμα κρυπτόγραμμα

30. Αποκρυπτογράφηση Rabin • Βήμα 1: Εύρεση δύο τετραγωνικών ριζών r, -r του c (mod p), με βάση τον ακόλουθο αλγόριθμο: • Επιλογή τυχαίου b (με δοκιμές) μικρότερου του p, μέχρις ότου το b2-4c να μην είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod p (αυτό εξασφαλίζεται με τη συνθήκη Jacobi: ) • Αν f(x) = x2 – bx + a στο Ζpτότε r = x(p+1)/2 mod f(x) • Βήμα 2: Εύρεση δύο τετραγωνικών ριζών s, -s του c (mod q), με βάση τον παραπάνω αλγόριθμο • Βήμα 3: Με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, εύρεση ακεραίων e και d: ep + dq =1 • Βήμα 4: Θέτουμε x=(rdq + sep) mod N και y=(rdq-sep) mod N • Βήμα 5: Οι ζητούμενες τετραγωνικές ρίζες είναι x,  y (mod N)

31. Άλλα παραδείγματα συστημάτων Δημοσίου Κλειδιού • McEliece κρυπτοσύστημα • Βασίζεται σε κώδικες διόρθωσης σφάλματος • Μία γενική περιγραφή στο: http://www.math.unl.edu/~jeverson/McElieceProject.pdf • Knapsak αλγόριθμοι • Βασίζονται στο πρόβλημα subset sum: δοθέντος ενός συνόλου θετικών ακεραίων I = {a1, a2,….an) και ενός θετικού ακεραίου s, έλεγχος για το αν υπάρχει υποσύνολο του Ι, του οποίου το άθροισμα των στοιχείων του να ισούται με s. (Πρόβλημα NP-complete) • Παραδείγματα: Merkle-Hellman, Chor-Rivest • R.C. Merkle and M.E. Hellman, Hiding information and signatures in trapdoor knapsacks, IEEE Transactions on Information Theory 24 (1978), 525-530. • B. Chor and R.L. Rivest, A knapsack-type public-key cryptosystem based on arithmetic in finite fields, IEEE Transactions on Information Theory (5) 34 (1988), 901-909. • Elliptic Curve κρυπτοσύστημα • Μία γενική περιγραφή και σύγκριση με τον RSA υπάρχει στο: http://www.rsasecurity.com/rsalabs/technotes/elliptic_curve.html

32. Γενικά πλεονεκτήματα τωνσυστημάτων Δημοσίου Κλειδιού • Μόνο το ιδιωτικό κλειδί πρέπει να μένει κρυφό • Το ζεύγος δημόσιο κλειδί – ιδιωτικό κλειδί μπορεί να μένει το ίδιο για μεγάλα χρονικά διαστήματα (π.χ. για χρόνια) • Σε ένα μεγάλο δίκτυο, ο αριθμός των κλειδιών που χρειάζονται είναι μικρότερος από ό,τι αν χρησιμοποιούνταν συμμετρική κρυπτογράφηση

33. Γενικά μειονεκτήματα τωνσυστημάτων Δημοσίου Κλειδιού • Η απόδοση (throughput) είναι σημαντικά μικρότερη, συγκριτικά με τους καλύτερους block ciphers (100 φορές πιο αργοί). • Το μήκος των κλειδιών είναι πιο μεγάλο, ως προς τους block ciphers • Κανένας αλγόριθμος δεν έχει αποδειχτεί ασφαλής (αν και το ίδιο ισχύει και στους block ciphers): όλοι στηρίζονται σε γνωστά προβλήματα της θεωρίας υπολογισμού

34. Συνδυασμός συστημάτων Δημοσίου και Συμμετρικού Κλειδιού • Όχι ανταγωνιστικά – χρησιμοποιούνται μαζί • Το δημόσιο κλειδί διαμοιράζεται εύκολα, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο σε μικρά μηνύματα • Το συμμετρικό κλειδί διανέμεται δύσκολα (πρόβλημα εύρεσης ασφαλούς «καναλιού» μετάδοσής του), αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε μεγάλα μηνύματα • Έχουν συμπληρωματικά προτερήματα και ελαττώματα

35. Συνδυασμός Συμμετρικού – Δημοσίου Κλειδιού • Συχνά, η επικοινωνία ξεκινά με πιστοποίηση ταυτότητας, με χρήση αλγορίθμου Δημοσίου κλειδιού A B Public Key Authentication

36. Συνδυασμός Συμμετρικού – Δημοσίου Κλειδιού (II) • Στη συνέχεια, ο καθένας παράγει ένα συμμετρικό κλειδί • Κρυπτογραφεί το συμμετρικό του κλειδί με το δημόσιο κλειδί του άλλου και του το στέλνει • Έτσι, και οι δύο έχουν το συμμετρικό κλειδί για την επικοινωνία με τον άλλο Public Key Encryption B A Symmetric Session Key

37. Συνδυασμός Συμμετρικού – Δημοσίου Κλειδιού (III) • Τελικά, επικοινωνεί ο ένας με τον άλλον με το συμμετρικό κλειδί • Με άλλα λόγια, η κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού έλυσε το πρόβλημα της εύρεσης ασφαλούς καναλιού, για την ανταλλαγή των κλειδιών Symmetric Session Key B A