教材地位分析

1. 空 角 求 间 其 及 法

2. 地位分析 教材地位分析 （1） 立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。 空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。 高考地位分析 （2） 在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。 高考要求 立体几何高考分析 理解空间角的概念、会求空间角的大小。 高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。

3. “一作” “二证” “三算” 空间角的求解步骤： 1.作出所求的空间角 <定位> 2.证明所作的角符合定义 <定性> 3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之，空间角的求解步骤为： “三算” “一作” “二证” 撤消

4. 典例分析 例1. 如图，正方体 ，M、N分别为 ， 的中点，求直线AM与CN所成角。 途径一 过D1作D1E//AM，作D1F//CN，显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。 途径二 过D1作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。 方法提炼 途径一 途径二

5. 如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内 分点，满足 . （1）求证：A1P⊥平面AQD； （2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值. D1 C1 A1 B1 Q D C 由以上的作法可知 即为所求角。 A P B 典例分析 例2. [ 厦门市2004届高三年质量检查-数学（文）] 解析 （1）易证，略 ？ （2）如何作出线面角 过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD R 由（1）知A1P⊥面AQD，设A1P交AR与S，连接SQ即可。 S 只需解△QSP即可。 方法提炼

6. P P 过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。 D A A D 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则 为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。 B C B C 典例分析 例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。 解析1 定义法 E 解析2 Q N F M 垂面法 跳转

7. E E P P A A D D B B C C 典例分析 例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。 解析3 利用三垂线求解 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。 易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显 然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G， 连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即角EGF为二面角E-P C-D的平面角，只需解△EFG即可。 F G 解析4 射影面积法 由解析3的分析过程知，△PFC为△ PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin ＝ ，余下的问题比较容易解决！ F 跳转

8. P A D B C 典例分析 例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。 解析5 复习 利用空间余弦定理求解 在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于E，BF ⊥PC于F，连接EF即可。 F 利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出 即可。 E 方法提炼

9. KEY: 针对训练2如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。  KEY: E  P P B A E O O C 针对训练 针对训练1已知二面角－ l－  ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 － l－  的大小。 A . O D l 撤消

10. β α ι 针对训练4在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把 直角坐标平面折成大小为 的二面角后， ，则 的值为。 针对训练 针对训练3如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α, PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 P KEY120º B A O

11. 专题小结 本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为： 线线角，用平移，妙选顶点， 线面角，作射影，二足相连。 二面角，求法多，空间余弦， 用定义，三垂线，射影垂面。 熟化归，解三角，算准结果， 作证求，三环节，环环相扣。 求解的基本思路为： 技 巧 “移”、“补” 、“换” 空间 问题 平面 问题 化 归

12. ＝ 二面角的平面角 1.定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 ? 等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。 二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上。 （2）角的两边分别在两个面内。 （3）角的边都要垂直于二面角的棱。 返回

13. 方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 中点 返回

14. 方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 方法提炼2 求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。 撤消 返回

15. A o o B 方法提炼3 求二面角的方法比较多，常见的有 （1） 定义法 在棱上的点分别作棱的垂线， 如例3解析1 如例3解析2 （2） 利用三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线， （3） 垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线， 如例3解析3 (2) 三垂线定理法 （点在面内） (1)定义法（点在棱上） A o B (3) 垂面法（点在空间内） A

16. 运用公式 求解，如例3解析5 方法提炼3（续） （4） 射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解 A 如图所示， 射影DBC、斜面△ABC与两面所 成的二面角之间有：  B D H M C （5）空间余弦定理 返回

17. 空间余弦定理脉络 n n m m 推广 c c ｃ2＝ａ2＋ｂ2 ｃ2＝ａ2＋ｂ2－2abcos    m E 推广 d n F C l 撤消 EF2＝ａ2＋ｂ2+d 2－2abcos 

18.   A m E d d n B m F C l 空间余弦定理证明 如图，CBF= 为二面角的平面角  ，在CBF中，由余弦定理可求得CF 再由RtECF可得 用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离，异面直线所成角，还可求二面角的平面角。 返回