Тема 6. Транспортная логистика. Транспортная задача

1. Тема 6. Транспортная логистика. Транспортная задача Презентация подготовлена преподавателем кафедры «Прикладной математики» Тесёлкиной Е.С.

2. Предметом ТЛ является комплекс задач, связанный с организацией перемещения грузов транспортом общего назначения. В области ТЛ ставятся и решаются следующие задачи: • определение оптимального плана перевозок однородной продукции, • многопродуктовыеТЗ с независимыми и взаимозаменяемыми поставками, • задачи размещения с учетом транспортных и производственных затрат, • определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции.

3. Задачи ТЛ решаются во взаимной связи с другими задачами логистики, такими, как производственная логистика (ПС), складская логистика, логистика запасов, сбытовая логистика, информационная логистика. • При решении задач, возникающих в ТЛ часто используется модель ТЗ и ее различные модификации.

4. Стандартная ТЗ и ее модификации • Данная модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов (например, заводов) в пункты доставки (например, склады). • Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими. Кроме того, модель можно видоизменить, с тем чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции.

5. Транспортная задача представляет собой ЗЛП, однако ее специфическая структура позволяет так модифицировать симплекс-метод, что вычислительные процедуры становятся более эффективными. • При разработке метода решения транспортной задачи существенную роль играет теория двойственности.

6. В классической транспортной задаче рассматриваются перевозки (прямые или с промежуточными пунктами) одного или нескольких видов продукции из исходных пунктов в пункты назначения. • Эту задачу можно видоизменить, включив в нее ограничения сверху на пропускные способности транспортных коммуникаций. • Задачу о назначениях и задачу управления запасами можно рассматривать как задачи транспортного типа.

7. Постановка транспортной задачи • Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Ai в количестве ai(i = 1..m) единиц соответственно, • необходимо доставить n потребителям Bj в количестве bj ( j = 1..n) единиц. • Известна стоимость cij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. • Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы, полностью удовлетворить потребности и имеющий минимальную стоимость.

8. Обозначим через xij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю. Тогда стоимость перевозки составит cijxij. • Стоимость всего плана перевозок выразится двойной суммой • Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: а) все грузы должны быть перевезены, т.е. б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

9. Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид: (1) (2) (3) Xij ³ 0, i = 1..m, j = 1..n (4)

10. В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е. • Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е. выполняется данное условие, называется закрытой моделью; в противном случае – открытой. • Для открытой модели может быть два случая: а) суммарные запасы превышают суммарные потребности,б) суммарные потребности превышают суммарные запасы.

11. Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений. • Случай «а»: • Случай «б»:

12. Открытая модель решается приведением к закрытой модели. • В случае (а), вводится фиктивный потребитель Bn+1, потребность которого . • В случае (б), вводится фиктивный поставщик Am+1, запасы которого . Как стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя (Cin+1, i=1,..,m), так и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика (Cm+1j, j=1,..,n) полагаются равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

13. Замечание. Однако возможна ситуация, когда эти стоимости не равны нулю. Например, если: • каждая недопоставленная единица продукции облагается штрафом (транспортные расходы на единицу недопоставленной продукции (Cm+1j) равны штрафу за единицу недополученной продукции). • продукция имеется в избытке (можно назначить штраф за хранение невывезенной продукции, приняв его за стоимость (Cin+1) перевозки к фиктивному потребителю). • поставщик (s) должен вывезти всю продукцию (стоимость перевозки к фиктивному потребителю необходимо сделать очень высокой: Csn+1=M).

14. ТЗ имеет n+m уравнений с mn неизвестными. • Матрицу X=(xij)m,n , удовлетворяющую условиям (3.2)-(3.4), называют планом перевозок ТЗ. • План X*, при котором целевая функция (3.1) обращается в минимум, называется оптимальным. • План ТЗ называется опорным, если из его основных коммуникаций (ij;Xij>0) невозможно составить замкнутый маршрут. • Опорный план ТЗ содержит не более m+n-1 положительных перевозок.

15. Решение • Решение описанной выше математической модели можно реализовать с помощью надстройки «Поиск решения» в Excel (см. пример «СР_3_Транспортная задача.xlsx»). • Кроме того задача может быть решена методом потенциалов. • Выбирайте любой удобный для вас способ.

16. Метод потенциалов является методом пошагового улучшения имеющегося решения до тех пор пока оно не станет оптимальным. • Для получения первоначального решения (опорного плана), которое будет улучшаться, применяются разные методы.

17. Методы составления первоначального опорного плана: • метод северо-западного угла, 2. метод минимального элемента. Метод МЭ является вариантом метода СЗУ, учитывающим специфику матрицы C=(cij)m,n. Продемонстрировать на примере оба метода.

18. Задача 1 • Заводы фирмы-производителя стиральных машин расположены в А1, А2 и А3. Основные центры распределения продукции сосредоточены в В1 и В2. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000,1500 и 1200 стиральных машин ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 стиральных машин соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одной стиральной машины на один километр равняется примерно 8 копейкам.

19. Расстояния в километрах между заводами и центрами распределения приведены в следующей таблице:Расстояния можно перевести в стоимость перевозки одной стиральной машины (переводной коэффициент = 0,08 руб./км).

20. Таблица стоимостей (округленных до рубля ) содержит коэффициенты Сij общей модели: Обозначим количество стиральных машин, перевозимых из исходного пункта i в пункт назначения j, через Xij. Поскольку суммарный объем производства стиральных машин равен суммарному спросу, данная модель является сбалансированной транспортной моделью.

21. Задача линейного программирования с ограничениями в виде равенств формулируется следующим образом: • минимизировать Z=80X11+215X12+100X21+108X22+102X31+68X32 • при ограничениях X11+X12 = 1000, X21+X22 = 1500, X31+X32 = 1200, X11+X21+X31 = 2300, X12+X22+X32 = 1400, Xij³0 для всех i,j.

22. Метод потенциалов решения транспортной задачи • Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой другой ЗЛП, существует двойственная к ней задача. • Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (2) через Ui ( i = 1,..,m) и вида (3) – Vj ( j = 1,..,n), тогда двойственная задача имеет вид: Ui +Vj£Cij , i = 1..m, j = 1..n • Переменные задачи, двойственной к транспортной, Ui и Vj называют потенциалами поставщика и потребителя соответственно.

23. Для оптимальности плана X=(Xij)mn ТЗ, необходимо и достаточно существование чисел (потенциалов) V1,V2,…,Vn и U1, U2, …, Um таких, что  1. Ui + Vj£ Cijдля i = 1,..,m , j = 1,…,n 2. Ui + Vj = Cij , для техi, j, гдеXij>0 (5)

24. Из утверждения следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, достаточно выполнения следующих условий: • а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы X) сумма потенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза Ui + Vj = Cij(6) • б) для каждой незанятой клетки (Xij = 0) сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки единицы груза Ui + Vj£Cij (7)

25. Таким образом, для проверки плана на оптимальность необходимо сначала построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие 2 из утверждения Ui + Vj = Cj, Xij> 0 • Систему потенциалов можно построить только для невырожденного опорного плана. Такой план содержит n+m-1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систему из n+m-1 линейно-независимых уравнений вида (6) c неизвестными Ui и Vj. Уравнений на одно меньше, чем переменных, поэтому система является неопределенной и одному неизвестному придают нулевое значение. После этого остальные потенциалы определяются однозначно.

26. Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток. • Просматриваем строки и для каждой незанятой клетки проверяем выполнение условия (7), т.е. суммируем потенциалы тех строк и столбцов, на пересечении которых стоит незанятая клетка. Если для всех незанятых клеток Ui + Vj£Cij, то на основании (5) проверяемый план является оптимальным. Если для некоторых клеток Ui + Vj > Cij, то план не является оптимальным. Тогда для каждой клетки, в которой не выполняется условие оптимальности, находим величину (Ui + Vj) – Cij > 0.

27. Выбор свободной клетки, в которую необходимо послать перевозку • Загрузке подлежит в первую очередь клетка, которой соответствует max((Ui + Vj)-Cij). • Построение цикла и определение величины перераспределения груза. • Отыскиваем цикл и начиная движение от клетки, отмеченной знаком «+», поочередно проставляем знаки «–» и «+». Затем находим q0 = min Xij, где Xij – перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченной знаком «-».

28. Величина q0 определяет, сколько единиц груза можно перераспределить по найденному циклу. • Значение q0 записываем в незанятую клетку, отмеченную знаком «+», двигаясь по циклу, вычитаем q0 из объемов перевозок, расположенных в клетках, которые отмечены знаком «-», и прибавляем к объемам перевозок, находящимся в клетках, отмеченных знаком «+». • Если q0 соответствует несколько минимальных перевозок, то при вычитании оставляем в соответствующих клетках нулевые перевозки в таком количестве, чтобы во вновь полученном опорном плане занятых клеток было m+n-1.

29. Проверка нового плана на оптимальность • Для проверки на оптимальность опорного плана можно вновь построить систему потенциалов и проверить выполнение условия оптимальности для каждой незанятой клетки. • Если полученный план снова окажется не оптимальным, то следует выполнить вычисления, приведенные в предыдущем пункте. Процесс повторяют до тех пор, пока все незанятые клетки не будут удовлетворять условию (7).

30. Определение оптимального плана ТЗ, имеющих некоторые усложнения в их постановке 1. При некоторых реальных условиях перевозки груза из определенного пункта Ai в пункт назначения Bj не могут быть осуществлены. Для определения оптимальных планов таких задач предполагают, что стоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт Bj является сколь угодно большой величиной М и при этом условии известными методами находят решение ТЗ. Такой подход к нахождению решения ТЗ называется запрещением перевозок.

31. 2. В отдельных ТЗ дополнительным условием является обеспечение перевозки по соответствующим маршрутам определенного количества груза. Пусть, например, из Ai в Bj требуется обязательно перевезти αij единиц груза. Тогда в соответствующую клетку таблицы, находящуюся на пересечении строки Ai и столбца Bj, записывают указанное число αij и в дальнейшем считают эту клетку свободной со сколь угодно большой стоимостью перевозки М. Для полученной таким образом новой ТЗ находят оптимальный план, который определяет оптимальный план исходной задачи.

32. 3. Иногда требуется найти решение ТЗ, при котором из Ai в Bj должно быть перевезено не менее заданного количества груза αij. Для определения оптимального плана такой задачи считают, что запасы Ai и потребности Bj меньше фактических на αij единиц. После этого находят оптимальный план новой ТЗ, на основании которого и определяют решение исходной задачи. Примечание: При целых ai (i = 1,..., m) и bj(j = 1,..., n), в силу специфики ограничений ТЗ, любое базисное допустимое решение является целочисленным.

33. Задача 2. ТЗ с запрещением перевозки

34. ТЗ с запрещением перевозки • В приведенном примере запрещено перевозить груз от 1 поставщика к 3 потребителю и от 3 поставщика ко 2 потребителю. • Чтобы отразить это условие, необходимо в матрице С (затраты на транспортировку 1 ед. груза) проставить максимально большое число в ячейках, соответствующих запрещенным маршрутам.

35. Задача 3. Многопродуктовая ТЗ с независимыми и взаимозаменяемыми поставками • Фирма, имеющая три завода (А1, А2, А3), производит стиральные машины четырех моделей М1, М2, М3, М4. Основные центры распределения продукции расположены в двух пунктах (оптовых базах) В1, В2. Объемы выпуска разных заводов и величины спроса в центрах распределения для каждой модели машины приведены в таблице.

37. Стоимость перевозки одной стиральной машины приведена в следующей таблице(матрица С = (Сij) ):

38. Для того чтобы учесть многопродуктовый характер задачи, изменим транспортную модель следующим образом: • Вместо того чтобы рассматривать каждый завод как один исходный пункт, разобьем его на несколько пунктов в соответствии с числом моделей стиральных машин, выпускаемых этим заводом. • Аналогично поступим и с пунктами назначения, т.е. будем считать, что каждый из них состоит из четырех подпунктов, соответствующих четырем моделям стиральных маши н. • В результате получим семь исходных пунктов и восемь пунктов назначения.

39. Полная транспортная таблица

40. Заметим, что некоторые маршруты будут недопустимы, поскольку в данной постановке задачи стиральные машины различных моделей не могут заменить друг друга. • Например, нельзя осуществлять перевозки из пункта производства стиральных машин марки М1 в пункт доставки стиральных машин модели М4. В табл. запрещенным маршрутам соответствует очень высокая стоимость перевозки М (Cij = M).

42. Можно заметить, что на самом деле задачу не обязательно описывать одной моделью. В силу независимости поставок можно было бы представить задачу по каждой модели машин в виде отдельной таблицы перевозок, но только существенно меньшего размера. Таблицу можно разбить следующим образом: а) модель М1

43. б) модель M2 в) модель М3

44. г) модель M4 Рассмотрение этих четырех транспортных моделей дает решение, совпадающее с оптимальным решением задачи, соответствующей общей транспортной таблице. С вычислительной точки зрения небольшие подзадачи решить существенно эффективнее, чем одну сложную задачу, представленную в общей ТТ.

45. Какой же смысл тогда использовать общую ТТ? Вспомним, что возможность разбиения таблицы на части обусловлена полной независимостью различных моделей стиральных машин. Если бы между разными моделями существовала связь (например, одну из них можно было заменять другой ), то в общем случае исходную модель не удалось бы разбить столь просто. Следующая задача иллюстрирует это замечание.

46. Задача 4 • Решить задачу 3 при дополнительном условии: пусть некоторую часть спроса на одну из моделей можно удовлетворить за счет другой в соответствии со следующими данными:

47. Указание Добавьте четыре новых пункта назначения, соответствующие новым комбинациям (M1, M2), (M3, M4), (M1, M3) и (M2, M4). Величины спроса в новых пунктах назначения определяются из данных о процентном соотношении заменяемых моделей. Будете решать задачу на семинаре!!!

48. Определение рациональных маршрутов и транзитная перевозка продукции В стандартной транспортной модели предполагается, что прямой маршрут между пунктом производства и пунктом потребления является маршрутом минимальной стоимости. Это означает, что определению стоимостей перевозок единицы продукции в стандартной транспортной модели должна предшествовать предварительная работа, связанная с выявлением кратчайших маршрутов.

49. В задачах небольшой размерности нахождение кратчайшего маршрута трудностей не представляет. • Когда же число пунктов производства и пунктов потребления велико, для определения минимальной стоимости прямой перевозки единицы продукции по данному маршруту следует обратиться к алгоритму нахождения кратчайшего пути. • Другой метод определения минимальной стоимости прямой перевозки связан с постановкой задачи как транспортной задачи с промежуточными пунктами.

50. При этом допускается «перевозка» груза (частично или полностью) через другие исходные пункты или пункты назначения транзитом, прежде чем он достигнет установленного пункта назначения. В такой задаче автоматически отыскивается маршрут минимальной стоимости между пунктом производства и пунктом назначения без предварительного определения кратчайшего маршрута.