1 / 34

A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó Eötvös Loránd Tudományegyetem , Budapest lovasz@cs.elte.hu. Szemerédi Regularit ási Lemma. Szemerédi Endre  1974. Szemerédi Regularit ási Lemma.

marged
Download Presentation

A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) LovászLászló Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest lovasz@cs.elte.hu

  2. Szemerédi Regularitási Lemma Szemerédi Endre 1974

  3. Szemerédi Regularitási Lemma Szemerédi, E.: On sets of integers containing no four elements inarithmetic progression. Acta Math. Hung. 20(1969)89–104. Szemerédi, E.: On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression, Acta Arith. 27 (1975), 199–245. Ruzsa, I. Z.; Szemerédi, E.: Triple systems with no six points carrying three triangles. Combinatorics (Proc. 5th Hung. Colloq., Keszthely, 1976), 939–945. Szemerédi, E.: Regular partitions of graphs, Probl. Combin. et Théorie des Graphes, (Colloq. Internat. CNRS, Orsay, 1976); 399–401.

  4. Az Erdős-Turán probléma rk(n) = max(|A|: A{1,...,n}, A nem tartalmaz k tagú számtani sorozatot} Erdős-Turán sejtés (1936): minden k-ra, rk(n)/n 0 k=3: Roth 1953 k=4: Szemerédi 1969 k>4: Szemerédi 1975

  5. Kis gráf (hálózat) 1

  6. Nagy gráf 2

  7. Nagyon nagy gráf 3

  8. A Lemma képekben 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 G AG WG

  9. A Lemma képekben

  10. A Lemma képekben ha megfelelően rendezzük a csúcsokat véletlenszerű

  11. A Lemma Adott>0 különbség ≤1 ≤ k2kivétellel XVi,YVj XésYközötti élek száma pij|X||Y| ± (n/k)2 Minden gráf csúcsai beoszthatók kevés számú lényegében egyforma osztályba úgy, hogy a legtöbb osztály-pár közötti páros gráf véletlenszerű (különböző sűrűséggel)..

  12. A Lemma Eredeti Regularitási LemmaSzemerédi 1976 “Gyenge” Regularitási LemmaFrieze-Kannan 1999 “Erős” Regularitási LemmaAlon-Fisher-Krivelevich -M.Szegedy 2000 Tao 2006 L-B.Szegedy 2007

  13. Elhagyási Lemma >0’>0 háromszögek száma ’n3  elhagyható n2élúgy, hogy ne maradjon háromszög. Az 1/' érték ,,csak” log(1/) magas torony Fox 2010 Ruzsa - Szemerédi Következményei: Erdős-Turán probléma k=3 esete Háromszögmentesség tesztelhető

  14. Elhagyási Lemma X

  15. A Lemma, mint általános séma Nagy, bonyolult struktúra egyszerű struktúra véletlenszerű módosítás (kis) hiba nagy számok törvénye alkalmazható megérthető leirható, kezelhető becsülhető

  16. A Lemma, mint általános séma Ritka gráfokKohayakawa, Rödl, Łuczak, Scott, ... Hipergráfok Frankl, Rödl, Skokan, Schacht, Gowers, ... Abel-csoportok Green, Tao, Szegedy Permutációk Cooper, Kohayakawa, ... Boole-függvények Green, Mossel, Schramm, ... Kategóriák L ...

  17. A Lemma más megfogalmazásban - adjacencia-mátrix kis rangú közelítése - 2-változós függvény közelítése lépcsősfüggvénnyel - sorfejtés Hilbert-térben - gráf-limeszek terének kompaktsága - pontok hasonlóságának (majdnem) véges dimenziója

  18. A ,,gyenge’’ Lemma S pij:ViésVjközti élsűrűség S-beli élek száma:

  19. A Megszámlálási Lemma S G’:a ViésVjközötti éleket véletlenül behúzott élekkel helyettesítjük Megszámlálási Lemma: G-ben és G’-ben minden ,,kis’’ részgráfnak kb. ugyanannyi példánya van

  20. Sorfejtés Hilbert térben Ki: i-edfokú polinomok, intervallumok, ...???

  21. Approximáció lépcsősfüggvénnyel ,,Gyenge’’ Lemma: vágásnorma, vagy LL1 operátornorma, vagy Neumann-Schatten norma

  22. A Lemma képekben ha megfelelően rendezzük a csúcsokat véletlenszerű

  23. Approximáció lépcsősfüggvénnyel ,,Erős’’ Lemma:

  24. Geometriai változat w t u s v Hasonlósági távolság: L-Szegedy B. Reprezentatív halmaz: s,tU, dsim(s,t) >  legtöbb v csúcsra, dsim(U,v)  

  25. Geometriai változat Voronoi diagramm = gyenge regularitási partíció

  26. Geometriai változat Minden gráfban van elemű reprezentatív halmaz. Alon A hasonlósági távolságra nézve minden gráf ,,majdnem’’ véges dimenziójú.

  27. Algoritmus A regularitási partíció polinomiális időben kiszámítható. Alon, Duke, Lefmann, Rödl, Yuster 1994 Frieze, Kannan 1999

  28. Algoritmus Egy reprezentatív halmaz konstans időben kiszámítható. L- Szegedy B.

  29. És végül... Gratulálunk, Endre!

  30. Analytic version 2. Distance of graphs cut distance (a)V(G) = V(G') (b) |V(G)| = |V(G')| (c) |V(G)| =n, |V(G')|=m (blow up nodes, or fractional overlay)

  31. Analytic version 2. Distance of graphs “Weak" Regularity Lemma (approximation form):

  32. Analytic version Graphons W0 = {W: [0,1]2[0,1], symmetric, measurable} "graphon" t(F,WG) = t(F,G):Probability that random map V(F)V(G) preserves edges

  33. Analytic version 2. Distance of functions

  34. Counting Lemma Subgraph densities t(F,G):Probability that random mapV(F)V(G) preserves edges (Can be defined for weighted graphsG) |t(F,G) - t(F,H)|  |E(F)| □(G,H) If □(G,H) is small, then G and G’ are similar in many other respects...

More Related