代数插值法

代数插值法 插值的基本概念拉格朗日插值法牛顿插值法

插值的基本概念 • 用处：根据函数f(x)已有的数据表格来计算函数f(x)在一些新的点x处的函数值。 • 定义：在所给定的函数表格中间再插入一些所需要的新点上的函数值。 • 因为多项式具有各阶导数，求值也比较方便，所以通常选多项式函数作为近似函数。

插值的基本思想 • 首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数y(x)作为f(x)的近似表达式，然后再用y(x)来计算新的点上的函数值作为f(x)的近似值。

其中代数插值问题设函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的，且已知f(x)在区间[a,b]上n+1个互异点处的函数值，即寻找一个次数不高于n的多项式：使满足条件：称为f(x)的插值多项式

插值的三个问题 • 插值问题的解是否存在？若解存在，是否唯一？ • 如果插值多项式存在，则具体地又如何去求解或构造？ • 插值多项式函数与原来的函数f(x)的误差有多少？

代数插值问题的唯一有解性 • 求解下列线性方程组：

线性方程组

时，有 当满足：代数插值解的唯一性 • 范德蒙行列式

拉格朗日插值法 • 通过n+1互异点构造次数不超过n的插值多项式 • 设想将插值多项式表示成n+1个n次多项式的线性组合，即： • 其中

拉格朗日插值多项式 即：将给定的条件代入得到：则：

对称性 拉格朗日插值多项式通过给定点的插值多项式是唯一的，拉格朗日插值多项式只是其中的一种表示形式

拉格朗日插值公式的两种情形： • 线性插值y=f(x): (x0,y0), (x1,y1) • 二次(抛物线)插值y=f(x): (x0,y0), (x1,y1) ,(x2,y2)

符号计算—智能功能 • y = sym(‘2*sin(x)*cos(x)’) • % 把字符表达式转换为符号变量 • y = simple(y) • % 按规则把已有的y符号表达式成最简形式。

求矩阵A的相关表达式 • 行列式，逆阵和特征值 • syms a11 a12 a21 a22; • A=[a11,a12;a21,a22] • DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A)

积分 • syms A t tao w; • yf=int(A*exp(-i*w*t),t,-tao/2,tao/2); • Yf=simple(yf)

例5-1 • 已知函数y=f(x)的观测数据为：

计算拉格朗日插值多项式 • function LagrangeCz(A) • x = A(1,:); • y = A(2,:); • yp = []; • y_str = []; • len = length(x);

for ii = 1:len • yp = []; • for jj = 1:len • if(ii~=jj) • xii = num2str(x(ii)); • xjj = num2str(x(jj)); • yp = strcat(yp,'*(x-(',xjj,'))/((',xii,')-(',xjj,'))'); • end • end

yf = num2str(y(ii)); • if(1==ii) • y_str = strcat(yf,yp); • else • y_str = strcat(y_str,'+(',yf,')',yp); • end • end • y0 = sym(y_str); • y = simple(y0)

编程解题和验证拉格朗日法 • 例5-1 P135 • 例5-2 P135

牛顿插值法 • 差商及其主要性质 • 牛顿插值公式

差商及其主要性质 • 差商定义：若已知函数f(x)在点xi(i=0,1,2,…n)处的函数值f(xi)，则： 0阶差商： 1阶差商： 2阶差商：

类推出k阶差商

差商性质 • 性质一 • 性质二：若函数f(x)在包含结点的区间[a,b]上存在k阶导数：

牛顿插值公式 • 将n阶多项式表示为： • 则：

牛顿插值公式 • 类推： • 牛顿插值公式：

编程解题和验证牛顿插值法 • 例5-1 P135 • 例5-2 P135

计算牛顿插值多项式 • function NewtonCz(xy) • x = xy(1,:); • % y = xy(2,:); • yp = []; • y_str = []; • len = length(x);

for ii = 1:len • val = DifDiv(xy(:,1:ii)); • yf = num2str(val); • if 1==ii • y_str = yf; • else • yp = []; • for jj = 1:ii-1 • xjj = num2str(x(jj)); • yp = strcat(yp,'*(x-(',xjj,'))'); • end • y_str = strcat(y_str,'+(',yf,')',yp);

end • end • y0 = sym(y_str); • y = simple(y0)

function val = DifDiv(xy) • x = xy(1,:); • y = xy(2,:); • count = length(x); • if 1>count • val = NaN; • return; • end • switch count • case 1 • val = y(1);

case 2 • val = (DifDiv(xy(:,1))-DifDiv(xy(:,2)))/(x(1)-x(2)); • otherwise • val = (DifDiv(xy(:,1:end-1))-DifDiv([xy(:,1:end-2),xy(:,end)]))... • /(x(end-1)-x(end)); • end

代数插值法

代数插值法

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