第四节 直线、平面平行的判定及其性质

1. 第四节 直线、平面平行的判定及其性质 基础梳理 1. 直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理 如果一条直线和这个的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (2)性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面,那么这条直线就和平行. 平面外 平面内 相交 交线

2. 2. 平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理 如果一个平面内有两条都平行于另一个平面,那么这两个平面. (2)性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线. 相交直线 平行 平行 3. 两个平行平面间的距离 两个平行平面的的长度叫做两个平行平面间的距离. 公垂线段

3. 典例分析 题型一 线线平行 【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 分析 若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.

4. 证明 如图,连接BD. ∵EH是△ABD的中位线, ∴EH∥BD,EH= BD. 又∵FG是△CBD的中位线, ∴FG∥BD,FG= BD, ∴FG∥EH,且FG=EH, ∴四边形EFGH是平行四边形. 学后反思 证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径,一是证两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.

5. 证明:如图,连接 . ∵ ,E分别为 ,AD的中点, ∴ AE. ∴四边形 为平行四边形, ∴ . 又∵ ,∴ , ∴四边形 是平行四边形. ∴ ∥EB.同理 ∥EC. 又∵∠ 与∠CEB方向相同,∴∠ =∠CEB. 举一反三 1. 已知E、 分别是正方体 的棱AD、 的中点. 求证:∠BEC=∠

6. 题型二线面平行 【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面 对角线AB1,BC1上分别有两点E,F,且B1E=C1F. 求证:EF∥平面ABCD. 分析 要证EF∥平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.

7. 证明 方法一:过E作EM⊥AB于M,过F作FN⊥BC于N, 连接MN(如图),则EM∥BB1,FN∥BB1, ∴EM∥FN. ∵AB1=BC1,B1E=C1F, ∴AE=BF, .又∵BB1=CC1, ∴EM=FN, ∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN. 又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD.

8. 方法二: 连接B1F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图). ∵BP∥B1C1, ∴△B1FC1∽△PFB, ∴ . ∵AB1=BC1,B1E=C1F, ∴AE=BF,∴ , ∴EF∥AP. 又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD.

9. 方法三:过点E作EH⊥BB1于点H,连接FH(如图), 则EH∥AB, ∴ . 又∵AB1=BC1,B1E=C1F, ∴ ∴FH∥B1C1. ∵B1C1∥BC,∴FH∥BC. ∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD. ∵EF平面EFH, ∴EF∥平面ABCD.

10. 学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,aαa∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β). 举一反三 2. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,E为PC中点. 求证:PA∥面EDB.

11. 证明: 如图，连接AC交BD于O,连接EO. ∵四边形ABCD为正方形, ∴O为AC的中点. ∵E为PC的中点, ∴EO为△PAC的中位线,故EO∥PA. 又∵EO 面EDB，且PA 面EDB, ∴PA∥面EDB. 题型三 面面平行 【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 其棱长为1. 求证:平面AB1C∥平面A1C1D.

12. 分析 要证明面AB1C∥面A1C1D,根据面面平行的判定定理或推论，只要证明AC∥面A1C1D，AB1∥面A1C1D,且AC∩AB1=A,即可. 证明 方法一: AA1∥BB1 AA1=BB1 AA1 ∥ CC1 BB1∥CC1 BB1=CC1 四边形AA1C1C为平行四边形  AC∥A1C1 A1C1平面A1C1D AC平面A1C1D

13. AC∥平面A1C1D 同理,AB1∥平面A1C1D 平面AB1C∥平面A1C1D. AC∩AB1=A 方法二:易知AA1和CC1确定一个平面AC1,于是, 平面AC1∩平面A1C1=A1C1 平面AC1∩平面AC=AC 平面A1C1∥平面AC A1C1∥AC A1C1平面AB1C AC平面AB1C

14. A1C1∥平面AB1C 同理,A1D∥平面AB1C 平面AB1C∥平面A1C1D. A1C1∩A1D=A1 学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

15. 举一反三 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB. 证明:如图，连接MF. ∵M、F分别是A1B1,C1D1的中点,且四边形A1B1C1D1为正方形, ∴MF∥A1D1.又A1D1∥AD,∴MF∥AD, ∴四边形ADFM为平行四边形, ∴AM∥DF. 又∵AM平面EFDB,DF平面EFDB, ∴AM∥平面EFDB.同理可证,AN∥平面EFDB. ∵AM,AN平面AMN,AM∩AN=A, ∴平面AMN∥平面EFDB.

16. 题型四 平行的探究问题 【例4】长方体ABCD-A′B′C′D′，点P∈BB′（不与B、B′重合），PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求证：MN∥平面AC. 分析 要证明MN∥平面AC,只要证明MN平行于面AC内的一条直线即可，而这条直线应与MN共面.由于AC与MN共面,只要证明AC∥MN即可. 解 如图，连接A′C′,AC, ∵ABCDA′B′C′D′为长方体， ∴AC∥A′C′. ∵AC平面A′C′B,A′C′ 平面A′C′B,

17. ∴AC∥平面A′C′B. 又∵平面PAC过AC与平面A′C′B交于MN， ∴MN∥AC. ∵MN平面AC，AC平面AC， ∴MN∥平面AC. 学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.

18. 举一反三 4. 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为a的正 方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC内有BE⊥PC于E, 且 ,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD. 解析： 如图，在面PCD内作EG⊥PD于G,连接AG. ∵PA⊥平面ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥面PAD,∴CD⊥PD,∴CD∥EG. 又∵AB∥CD,∴EG∥AB. 若有EF∥平面PAD,则EF∥AG, ∴四边形AFEG为平行四边形,即EG=AF. ∵ ,且易知△PBC为直角三角形,

19. 题型五 平行关系的综合应用 【例5】(14分)如图，正三棱柱 的底面边长为2,点E、F分别是棱 、 上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2. （1）当点M在何位置时，MB∥平面AEF; (2)若MB∥平面AEF，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值. ∴BC2=CE·CPCP= , 故AF∶FB=2∶1时,EF∥平面PAD.

20. 解(1)如图，当M是线段AC中点时，MB∥平面AEF.取AE中点N，连接NF,MN，则MN CE BF, 即MN BF,…………………….2′ ∴MNFB是平行四边形，MB NF………..4′ 又∵NF 平面AEF，MB 平面AEF， ∴MB∥平面AEF…………………………..6′ 分析 对于第（1）问，可采用分析法得到，即假设MB∥平面AEF，则平面MBF与AEF的交线与MB平行，由平面几何的知识不难探求M应为AC的中点;第（2）问MB与EF异面可由判定定理推证，求夹角用平移法.

21. (2)MB与EF是两条异面直线. ∵EF 平面 ,B∈平面 ,B EF,M 平面 ， ∴MB与EF是异面直线………………………………….8′ 由（1）知MB∥NF, ∴∠EFN就是异面直线MB与EF所成的角………………10′ 由平面ABC⊥平面 ，BM⊥AC,知MB⊥平面 ， 又NF∥MB,∴FN⊥平面 ∴FN⊥AE，而N是AE的中点, ∴EF=AF= ，NF=BM= ，………………………..12′ 在Rt△EFN中,cos∠EFN= . 即所求角的余弦值为 …………………………….14′

22. 举一反三 5. 如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱 AB和CD.试问:截面在什么位置时,截面的面积最大? 解析： ∵AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD 分别交于FG、EH, ∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH. 同理可证,EF∥GH. ∴截面EFGH是平行四边形. 设AB=a,CD=b,∠FGH=α(a、b、α均为定值,其中α为异面直线AB与CD所成的角),又设FG=x,GH=y.

23. 由平面几何知识,得 . 两式相加,得 ,即y= (a-x). ∴S EFGH=FG·GH·sin α=x· (a-x)·sin α = ·x(a-x). ∵x>0,a-x>0,且x+(a-x)=a(定值), ∴当且仅当x=a-x,即x= 时, (SEFGH)max= . 故当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时,截面面积最大. □ □

24. 【例】如图所示,已知E,F分别是正方体 棱 , 上的点，且AE= . 求证:四边形 是平行四边形. 错解 在正方体 中, 平面 ∥平面 由两平行平面与第三平面相交，得交线平行, 故 ∥FB.同理可证, ∥EB. 故四边形 为平行四边形. 易错警示

25. 错解分析 错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理.立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.正确的思路应分为两步,第一步将立体几何问题化归为平面几何问题,即先证明四边形 为平面四边形(四点共面),第二步再证四边形 为平行四边形,或者用平行四边形的充要条件证明. 正解 方法一:如图,在平面 中,作EG∥AD交 于G点,连接GC,易证EG AD BC, ∴四边形GEBC为平行四边形, EB GC. 又由AE= ,得 FC,

26. ∴四边形 为平行四边形, GC. 于是EB ,∴四边形 为平行四边形. 方法二: 在平面 中, 过A作AH∥ 交 于H, 连接HF,易得四边形 为平行四边形. 于是 AE ∴四边形 为平行四边形, HF. 又 AB,∴HF AB,四边形HABF为平行四边形, ∴AH BF.又AH ,∴BF ∴四边形 为平行四边形.

27. 10. 如图，正方体 的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线 的截面，求截面面积. 解析： 如图，设过AC的平面交 于E点， 连接BD交AC于点F. ∵ ∥平面AEC，  平面 ， 平面 ∩平面AEC=EF，∴EF∥ ∵AB=1,∴AC= ,EF= BD1= , 考点演练

28. 证明:如图， ∵P、Q为AB、AD中点， ∴PQ∥BD. 又PQ 平面BCD，BD 平面BCD, ∴PQ∥平面BCD. 又平面PQR∩平面BCD=RS, PQ 平面PQR,∴PQ∥RS. ∵R是DC的中点，∴S为BC的中点， ∴PQ RS,∴四边形PQRS为平行四边形. 11. 在空间四边形ABCD中，P、Q、R分别为AB、AD、CD的中点，平面PQR交BC于S.求证：四边形PQRS为平行四边形.

29. 12. 如图所示，在直四棱柱 中， 已知DC= =2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC，设E是DC的中点.求证：D1E∥平面 证明： 如图，连接BE，则四边形DABE为正方形， ∴BE=AD= , 且BE∥AD∥ , ∴四边形 为平行四边形， ∴ ∥ . 又  平面  平面 ∴ ∥平面