Томский политехнический университет

1. Крицкий Олег Леонидович Лекция 2 Тема: Эконометрические модели Томский политехнический университет Курс: Введение в теорию случайных процессов Семестр 8, 2010 год

2. 1 1. Общие положения В настоящее время все эконометрические алгоритмы разделены на четыре основных класса: 1) Непрерывные модели – некоторый исследуемый процесс (в том числе и многомерный) рассматривается как стохастический, зависящий от времени и случайной функции (винеровский процесс, процесс Леви). а) Моделирование приращений цены b) Моделирование приращений процентной ставки (модели Рэндлемана – Бартера, Васичека, Кокса – Росса – Ингерсолла, безарбитражные модели Хо – Ли, Халла – Уайта, а также класс моделей форвардной ставки Хисса – Джерроу – Мортона и др.)

3. 2 с начальным условием r(t0)=r0. При этом - форвардная ставка, • риск- нейтральный винеровский процесс. c)Моделирование кредитного риска (следствие a)+b)) dVt=rVt dt+σVVt dWt, t>0, V0=const, Пусть Vt–рыночная стоимость компании-заемщика, берущей в кредит сумму D путем выпуска дефолтной облигации со сроком погашения T. Риск дефолта хеджируется опционом покупателя с ценой исполнения VTи стоимостью базового актива D

4. 3 В данном случае - распределение стандартной нормальной СВ. Параметры VT и σV ненаблюдаемы и определяются из вспомогательных соотношений: E0 – известный из бухгалтерской отчетности капитал кредитора, – известная волатильностьE0.

5. 4 d)Моделирование приращений волатильности (SV моделиили модели стохастической волатильности, включая многомерные) Существует по крайней мере 50 различных модификаций. Самые известные – Хестона (Heston), Халла – Уайта (Hull-White). Самая общая модель e)Аналитическое определение риска (VAR, CVAR,CS) Подробности – ниже (в дискретных моделях)

6. 5 f)Хеджирование и динамическое управление капиталом, репликация Рассматриваемые здесь модели основаны или используют так называемые греческие буквы, формулу Б.-Ш. для опционов и фьючерсов, а так же плотность риск – нейтральной вероятности (равной второй производной от справедливой цены опциона по цене исполнения). Модели позволяют найти риск-нейтральную функцию распределения базового актива по значениям производных на него, вычислить стохастический дисконтирующий фактор ζt, важныйдля оценки стоимости будущих инвестиций и уровня стохастической безрисковой процентной ставки и др.

7. 6 2) Дискретные модели – рассматриваются дискретные реализации некоторых непрерывных стохастических процессов (например, волатильности, цены, предельной величины риска, процентной ставки и т.д.) a)Прогнозирование волатильности ( одномерные ARCH, GARCH, многомерные DCC, CCC,BEKK и др.)и дрифта (MA, ARMA, ARIMA, FARMA и др.). Вместо корреляции может быть использована копула (определение – слайд 14).

8. 7 b)Прогнозирование квантилей распределений (и многомерных) - иммитированные ранее дрифты, - иммитированные ранее волатильности и ковариации с)Оценка финансовых рисков (следствие a) и b)) Под «финансовым риском» понимается обобщенная волатильность (матрица ковариаций) или величины (векторы) VAR, CVAR, CS (MVAR, MCVAR, MCS)

9. 8 - матрица центрированных данных L - линейное ортогональное преобразование, Y - некоррелированы d)Факторные модели обработки дискретных данных (часть от с)) Модели позволяют найти линейное ортогональное преобразование и перейти к некоррелированным данным без потери дисперсии

10. 9 e)Модели обработки высокочастотных данных Наиболее перспективное направление в настоящий момент Активно развивается ведущими эконометристами мира. Цель применения методов – определить величину скачков цен Используются для создания торговых автоматов, для дейтрейдинга, для обработки данных FOREX и тиковых данных котировок. Отслеживаются различные индикаторы поведения. Например, ε – логнормально распределенные шумы для скачков di n - общее количество котировок за время T

11. 10 N - число всплесков цен за период за время T ξ – стандартно распределенная случайная величина Различают следующие показатели: показатель фактических (RV) и квадратичных колебаний (BV), многостепенную вариацию (MV), двухшкальную (TSRV) и многошкальную фактическую волатильность (MSRV).

12. 11 3) Асимптотические методы – рассматриваются предельные характеристики дискретных реализаций случайных процессов. В рамках метода находят функции распределения и плотности, моменты M(k), а так же оценивают хвостовой индекс. Если же то удается перейти к уравнению ФПК

13. 12 Асимптотические методы позволяют определить некоторые экономические характеристики – пользуясь котировками цен базового актива и фьючерсов, можно вычислить долгосрочную безрисковую процентную ставку инвестиций по активам эмитента, оценить уровень неприятия риска и потребления, а так же найти предельную величину потребления. неприятие риска процентная ставка (из свойства трансляции риска) потребление

14. 13 MPCt– предельная величина потребления (в долях) δ- отношение текущих трат инвестора к его прибыли (в долях) - стохастическая безрисковая процентная ставка (в долях) Wt - капиталинвестора, (руб.*шт.), Vt - объем акций, проданный в момент времени t, T – горизонт времени (доли года)

15. 14 4) Смешанные модели (симбиоз 1)-3)) • Непрерывные модели GARCH b) Модели дискретной стохастической волатильности и др. 5) Вероятностные модели • Модели с использованием копул (многомерных распределений) с некоторыми свойствами b) Модели с использованием байесовского подхода (формула пересчета вероятностей) с) Модели с использованием марковских цепей 6) Численные методы (цепи Маркова, алгоритм Монте – Карло, MCMC, бинарные деревья, свич-методы и др.)

16. 15 Список литературы по теме лекции 1) Крицкий О.Л., Ульянова М.К. Определение многомерного финансового риска портфеля акций// Прикладная эконометрика, 2007, т. 2, №4, с. 3-18. 2) Крицкий О.Л., Михальчук А.А., Трифонов А.Ю., Шинкеев М.Л. Теория вероятностей и математическая статистика для технических университетов. I. Теория вероятностей/ Учебное пособие. Томск: изд-во ТПУ, 2009. - 216 c. 3) Крицкий О.Л., Е.С.Лисок. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности// Прикладная эконометрика, 2007, т. 2, №2, с. 3 – 12. 4) Крицкий О.Л. Определение справедливых цен акций ОАО ГАЗПРОМ и расчет вероятной будущей стоимости концерна. В кн.: Сборник лучших авторских исследований. М.: изд-во Дейч, МЦФО, с. 222 – 238, 2008 г. 5) Крицкий О.Л. Неприятие риска инвестиций при финансовом кризисе// Экономический анализ: теория и практика, 2009, №20, с. 9-18. 6) Крицкий О.Л. Информационная матрица Фишера для многомерного метода динамических условных корреляций DCC-MGARCH(1,1)// Вестник ТГУ: Управление, вычислительная техника и информатика, 2009, №4(9), с. 67-83. 7) Крицкий О.Л. Неприятие риска и уровень потребления при инвестировании

17. 16 Список литературы (продолжение) 8) Ильина Т.А., Каменских Д.М., Крицкий О.Л. Расчет безрисковой стохастической процентной ставки и ее применение в модели Блэка–Кокса// Экономический анализ: теория и практика, 2010 г. другие источники См. дополнительный файл