A BELLO... AD MATHEMATICAM

1. A BELLO... AD MATHEMATICAM

2. Dalla Metà del XIX secolo l’ uso della crittografia assume un ruolo determinante nella trasmissione di messaggi di carattere logistico e strategico. • In Italia dove si dovrà attendere l’ entrata in Guerra nel 1915 per rendersi conto del ritardo accumulato in campo crittografico e porvi rimedio. • Tra i metodi usati durante la Grande Guerra si possono ricordare i cifrari poligrafici: • Playfair Cipher (1854) • Il cifrario bifido di Delastelle • Cifra campale germanica (1918)

4. Divulgato da Lyon Playfair doveva essere utilizzato durante la guerra di Crimea ma il sistema fu effettivamente utilizzato dall’ Esercito Britannico solamente a partire dalla guerra Boera. • Primo metodo di cifratura a bigrammi. • Si usa una matrice 5X5 di 25 lettere che viene riempita nelle prime caselle con la parola chiave, abolendo le eventuali lettere ripetute, ed è completata con le rimanenti lettere nel loro ordine alfabetico.

5. Il metodo è dovuto a Félix Marie Delastelle tra i massimi crittologi francesi del XIX secolo. • Cifrario poligrafico basato sulla matrice 5X5 usata per la prima volta nella scacchiera di Polibio. • La matrice può essere quella semplice con le lettere dell’ alfabeto ordinate (senza la W che può cifrarsi con una doppia V), oppure può essere ottenuta con una parola chiave come nel cifrario di Playfair. • Metodo di Crittografia usato dall’ esercito tedesco nella Grande Guerra, a partire dagli inizi del 1918. • Il metodo utilizza una scacchiera simile a quella usata nel Playfair Cipher, e nel cifrario bifido di Delastelle; si sostituiscono le lettere con gruppi di due o più lettere, le quali vengono poi sottoposte a una trasposizione per la trasmissione. Si tratta quindi di un cifrario poligrafico.

6. Per cifrare una frase con “la cifra campale germanica”, codice che risale al 1918, adoperato dall’esercito tedesco durante la grande guerra, si utilizza una scacchiera simile a quella usata nel Playfair-Cipher e nel cifrario bifido di Delastelle. Si sceglie una parola chiave che conoscono entrambi gli interlocutori. Poiché la trasmissione avveniva mediante il telegrafo si utilizzano per indicare le righe e le colonne della matrice delle lettere dell’alfabeto Morse che hanno simboli molto diversi nella trasmissione dei caratteri come ad esempio ADFMX in modo da evitare confusione nelle trasmissioni radio. Saranno indicati venticinque caratteri dell’alfabeto sopprimendo la lettera W che verrà sostituita con VV. 5

7. Scegliamo come parola CIOCCOLATA, facendo attenzione a non ripetere le stesse lettere nella stesura della tabella. Tab. 1

8. La frase che abbiamo cifrato è la seguente: “SI STA COME D’ AUTUNNO SUGLI ALBERI LE FOGLIE” (tratta da una celebre poesia di Giuseppe Ungaretti.) Dato che il numero complessivo delle lettere della frase è trentasei la divideremo in gruppi composti da sei caratteri ciascuno. SISTAC OMEDAU TUNNOS UGLIAL BERILE FOGLIE. Scegliamo un’altra parola che conoscono entrambi gli interlocutori, costruiamo una matrice inserendo nella prima riga la parola scelta e utilizzando la tab.1, trascriviamo nella matrice costruita, in orizzontale le lettere corrispondenti alle coordinate del carattere da cifrare. Es. S(orizzontale M, verticale X).

9. Se avanzano nella matrice degli spazi vuoti, questi si riempiranno con caratteri qualsiasi. Numeriamo le colonne della seconda tabella seguendo l’ordine delle lettere, quindi alla A corrisponde il numero 1, alle E il 2 ecc. Tab. 2

10. Il messaggio sarà ora inviato partendo dalla colonna 1 e seguendo l’ordine numerico. Quindi verrà trasmesso nel seguente modo. xaffafaxmmam xamaaaaddmfdx madxmxadaaax dxxxaxmmmxmx mdaddafaddfd aafaxmaaamdax Per decifrare il messaggio bisogna prima di tutto scrivere il testo cifrato per colonne nella tabella di trasposizione secondo l’ordine della chiave, leggere successivamente per righe le coppie nella tabella di trasposizione e dalla tab.1 dell’alfabeto individuare la lettera corrispondente.

11. Un altro metodo di cifratura è il cifrario bifido di Delastelle XIX Per cifrare una frase attraverso il cifrario bifido di Delastelle, abbiamo la necessità di scegliere una parola chiave. Scegliamo come parola CIOCCOLATA, facendo attenzione a non ripetere le stesse lettere nella stesura della tabella.

12. La frase che abbiamo cifrato è la seguente: “SI STA COME D’AUTUNNO SUGLI ALBERI LE FOGLIE” (tratta da una celebre poesia di Giuseppe Ungaretti.) Dato che il numero complessivo delle lettere della frase è trentasei la divideremo in gruppi composti da sei caratteri ciascuno. SISTAC OMEDAU TUNNOS UGLIAL BERILE FOGLIE. In corrispondenza di ogni lettera indicheremo nella riga sottostante la coordinata orizzontale ricavata dalla tab.1, nella riga successiva indicheremo la coordinata verticale ricavata dalla stessa tabella.

13. Sceglieremo una parola di sei lettere, e costruiremo una tabella. Questa parola però non deve essere comunicata all’interlocutore. Riempiamo ora la tabella utilizzando le lettere della tab. 1, leggendo le coordinate in orizzontale, partendo dalla colonna alla quale corrisponde la lettera A, e scrivendole in verticale seguendo l’ordine numerico.

14. Il messaggio trasmesso sarà quindi: NPCVUU OBAMQU FRLCCM XCCCPY BNIEPR TGIXLE. Il destinatario saprà che per decrittare il messaggio dovrà utilizzare la tab.1.

15. Leggendo i numeri in verticale troverà le coordinate delle corrispondenti lettere e recupererà quindi il messaggio inviato. “SI STA COME D’AUTUNNO SUGLI ALBERI LE FOGLIE”.

16. Per cifrare una frase con il metodo di Playfair si usa la seguente tabella costruita a partire da una parola chiave conosciuta da entrambi gli interlocutori. Saranno indicati venticinque caratteri dell’alfabeto sopprimendo la lettera W che verrà sostituita con VV, partendo dalla parola chiave facendo attenzione a non ripetere le stesse lettere nella stesura della tabella. Tab.3 La frase che abbiamo cifrato è la seguente: “Parole in libertà” La cifratura si eseguirà nel seguente modo:  

18. 6. Qualora il bigramma da cifrare presenti due lettere uguali si cercherà di eliminare questo raddoppio, oppure di romperlo inserendo una lettera rara (k, w, x, y). Dividiamo la frase precedentemente scelta in bigrammi: PA RO LE IN LI BE RT A

19. Il Cilindro di Jefferson

20. Inventato da Thomas Jefferson (1743-1826). Il codice di Jefferson è un metodo di cifratura meccanico basato su un cilindro lungo circa 15 cm e largo 4 cm montato su un asse e sezionato in 36 dischi uguali (25 nella versione poi utilizzata dagli americani, 20 nel cilindro di Bazeries). Il messaggio in chiaro deve essere cifrato a blocchi di 36 lettere ciascuno. La chiave è duplice: 1. un numero “n” che va da 1 a 25 2. la struttura del cilindro Il crittogramma si leggerà sulla n-esima riga sopra quella con il blocco in chiaro. Decifratura con il procedimento inverso; si compone il messaggio e si legge il testo chiaro nella n-esima riga sotto.

21. Utilizzo di mezzi di comunicazione come radio e telefono esposti all’ intercettazione da parte del nemico. Sin dall’ Ottobre 1914 i crittanalisti francesi erano in grado di decifrare i messaggi radio tedeschi (George Painvin). Gli Austriaci già nell’ agosto 1914 decrittarono i radiomessaggi russi. I Russi non si preoccupavano neanche di cifrare i loro messaggi radio (Battaglia Tanneberg nell’ agosto 1914). I Tedeschi decrittarono i messaggi russi anche dopo che questi iniziarono a cifrarli (prof Deubner) Il capo dell’ ufficio crittologico della marina Britannica, Sir Alfred Ewing, organizzò la cosiddetta Toom 40 dove si decifravano i radiomessaggi della marina Tedesca (TelegrammaZimmermann). Negli Usa esisteva solo il reparto crittologico dei laboratori Riverbanks di Chicago (William Friedmann).

22. Impreparati erano gli Italiani prima appoggiati all’ ufficio cifra francese, poi guidati da LUIGI SACCO. • All’ inizio del 1916 era possibile intercettare ma non decrittare (decrittaggio ai francesi). • Sacco crea un Ufficio Crittografico autonomo. • Forzati il cifrario campale austriaco, navale e diplomatico, e alcuni cifrari tedeschi. • Con la disfatta di Caporetto nel 1917 si abbandonarono i vecchi cifrari, che come poi si seppe venivano facilmente decrittati dagli Austriaci. • La possibilità di intercettare e decrittare i messaggi austriaci ebbe un’ importanza non trascurabile nel 1918, per fronteggiare l’ offensiva austriaca del Piave.

23. Inventato nel 1917 da Gilbert Vernam. • Ingegnosissimo sistema di protezione crittografica, per comunicazioni su telegrafo, dei testi codificati in binario. • Lettura contemporanea di due nastri in input e generazione di un nastro di output tale che ciascun foro fosse generato mediante uno XOR dei due corrispondenti fori sui nastri input. • Lo schema di crittografia di Vernam è uno schema one-time pad; un tale schema richiede che: • La chiave sia usata una sola volta (da qui il nome); • Deve essere lunga almeno quanto il testo in chiaro; • Fra i bit che compongono la chiave non deve esserci alcuna relazione; • La chiave deve essere generata casualmente.

24. 0110 In pratica se il testo in chiaro è X = e la chiave è K = 1100. Applicando il metodo di Vernam si ottiene il seguente testo cifrato: Y = X + K = 1010 La decifratura si ottiene nel seguente modo: X = Y + K = 0110

25. CLASSI RESTO MODULO P. Dato un numero naturale p>1, è possibile definire in N la seguente relazione R: si dice che i numeri naturali n e m sono congrui modulo p e si scrive n), se le divisione di n ed m per p hanno lo stesso resto. Es.:3 = 15(mod2), perché sia 3, sia 15 divisi per due danno resto1 14= (32 mod6)perché sia 14, sia 32 divisi per 6 danno resto2 La relazione R così definita è una relazione di equivalenza. Le classi di equivalenza rispetto a tale relazione sono chiamate “classi resto (mod p)” e sono indicate [m]. La somma delle classi mod(p) di due numeri è la classe della loro somma: [m]+[n]=[m+n] Il prodotto delle classi mod(p) di due numeri è la classe del loro prodotto [m]*[n]=[m*n]

26. Facciamo un esempio di tavole delle operazioni di addizione e di moltiplicazione classi di resto mod(6):

27. Esempi di sottrazione: [4]-[1] =[3]devo trovare quella classe che sommata a d [1] mi deve dare [4] [3]-[5]=[4]devo trovare quella classe che sommata a d [5] mi deve dare [3] Esempi di divisione: [5]:[3]=non esiste poiché io dovrei trovare quel numero che moltiplicato per[3] mi deve dare [5] guardo la colonna del [3] nella tavola della moltiplicazione e vedo che non c’è mai [5] [4]:[5]=[2]devo trovare quel numero che moltiplicato per [5]mi deve dare [4], guardo la colonna di [5] e cerco [4] che corrisponde nella prima colonna [2] La struttura( C6 ; + ;*) è un anello commutativo La struttura ( Cp ; + ;*) è un campo quando p è numero primo.

28. Esempio: ( C5 ; + ;*)

29. Esponenziali mod p. Nell’aritmetica modulare alcuni calcoli sono notevolmente semplificati rispetto all’aritmetica ordinaria, ciò è particolarmente vero per il calcolo delle funzioni esponenziali; esempio: 42= 3 (mod13) se voglio calcolare 43=4*42=4*3 (mod13)= 12 (mod13)= -1 (mod13) 410000=4*(43)3333=4*(-1)3333(mod13) =-4 (mod13) = (mod13) Logaritmo Discreto Come nell’aritmetica ordinaria è possibile definire una operazione inversa rispetto alla funzione esponenziale: la funzione logaritmica. Per definizione il logaritmo è l’esponente che si deve dare alla base a per ottenere il valore x: Se il calcolo della potenza nell’aritmetica modulo n è relativamente semplice, il calcolo del logaritmo è più complesso.

30. b= logax mod(n) tale logaritmo si dice logaritmo discreto. 20 1 (mod7) 2 (mod7) 24 4 (mod7) 28 Il logaritmo nell’aritmetica ordinaria è una funzione biunivoca, invece nell’aritmetica modulare ciò non avviene, infatti se cerco log24 (mod 7) trovo più valori: 2,5,8. Per questo motivo si utilizzano i logaritmi discreti per alcuni algoritmi crittografici.

31. A BELLO... AD MATHEMATICAM Gli Alunni del Convitto Nazionale “Vittorio Emanuele II”: Bruno – Merolla – De Rosa – Capparone – Capriolo – Cardillo Aiello – Carandente – Ceriani – Di Domenico – Guarino - Pennacchio– Sannino – Scarici. Giovanni Federico (Per la parte Multimediale)