Страна удивительной прогрессии.

1. Страна удивительной прогрессии. Основные понятия, термины и формулы. Прогрессия в геометрии. Прогрессияв экономике. Какие задачи помогает решать прогрессия? Попрактиковаться не хотите ли? История прогрессии.

2. Арифметическая прогрессия – последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Определение арифметической прогрессии. Обозначение: –арифметическая прогрессия. Главное меню

3. Формула n-го члена арифметической прогрессии. , где d – некоторое число. , d – разность арифметической прогрессии. – формула n-го члена арифметической прогрессии, где – первый член арифметической прогрессии. Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе: , где kи b – некоторые числа. Главное меню

4. Формула суммы nпервых членов арифметической прогрессии. –формула суммы nпервых членов арифметической прогрессии. Подставим в вместо выражение , получим: , т. е. . Главное меню

5. Геометрическая прогрессия – последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Определение геометрической прогрессии. Обозначение: –геометрическая прогрессия. Главное меню

6. Формула n-го члена геометрической прогрессии. , где q – некоторое число. , q – знаменатель геометрической прогрессии. – формула n-го члена геометрической прогрессии. Главное меню

7. Формула суммы nпервых членов геометрической прогрессии. –формула суммы nпервых членов геометрической прогрессии. Подставим в вместо выражение , получим , где . Сумма бесконечной геометрической прогрессии при . – сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой . Главное меню

8. История прогрессии. Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая: 1) Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на столько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

9. Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y.Тогда Доля первого х Доля второго х+у Доля третьего х+2у Доля четвертого х+3у Доля пятого х+4у. На основании условий задачи составляем следующие два уравнения: х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)=100 7[х+(х+у)]=(х+2у)+(х+3у)+(х+4у). х+2у=20 11х=2у Ответ: хлеб должен быть разделен на следующие части: , , 20, , . Главное меню

10. 2) Поливка огорода. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца. Решение. Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+2,5+16+16+2,5+14=65 м. При поливке второй он проходит 14+2,5+2,5+16+16+2,5+2,5+14=70 м. Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию 65; 70; 75; …; 65+5·29. Сумма ее членов равна Ответ: огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км. Главное меню

11. 3) Кормление кур. Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок. Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан? Решение. Пусть запасено было хдекалитровкорма на у недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то х=31у В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было: (31 – 2у+1) дл. Весь запас составлял х=31у=31-30+29+…+(31-2у+1). Сумма 2у членов прогрессии, первый член который 31, а последний 31-2у+1, равна Так как у не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получим 31=63-2у и у=16 откуда х=31у=496. Ответ: запасено было 496 дл корма на 16 недель. Главное меню

12. 4) Артель землекопов. Артель землекопов подрядились вырыть канаву. Если бы она работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один землекоп. Спустя некоторое время присоединился второй; еще через столько же времени – третий, за ним через такой же промежуток – четвертый, и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний? Решение. Пусть последний землекоп работал х часов, тогда первый работал 11х часов. Далее, если число членов артели у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой 11х, а последний х, т.е. С другой стороны, известно, что артель из у человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24у рабочих часов. Следовательно, 6ху=24у 6х=24 х=4 Ответ: землекоп, приступивший к работе последним, работал 4 часа. Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать, сколько рабочих входило в артель, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой у). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных. Главное меню

13. 5) Яблоки. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему – половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока, после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника? Решение. Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил второй третий седьмой покупатель Имеем уравнение или Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: Всех яблок было 127. Главное меню

14. 6) Покупка лошади. Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: - Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: - Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй – ½ копейки, за третий – 1 копейку и т. д. Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался? Решение. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить копеек. Сумма эта равна т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу. Главное меню

15. 7) Вознаграждение воина. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По истечению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран. Решение. Составляем уравнение или , откуда имеем: и х=16 – результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 рублей 35 копеек. Главное меню

16. Прогрессия в экономике. 1) Рабочий обслуживал 6 автоматических станков, каждый из которых производил 30 деталей в час. Станки последовательно вводились в рабочий режим через каждые 10 мин. Но в течение пяти лет конструкция станков была дважды усовершенствована: в начале производительность была доведена до 36 деталей в час, а потом станки стали вводить в рабочий режим в 2 раза быстрее. Найти: а) производительность труда за смену (7 ч) до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований; б) месячный (22 дня) заработок рабочего до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований, если за каждую деталь вначале оплачивали 0,8 к., после первого усовершенствования – 0,77 к. и 0,75 к. после второго усовершенствования. Решение. Из условия задачи следует, что число выпускаемых деталей увеличивается по закону арифметической прогрессии, пока станки последовательно вводятся в рабочий режим. До усовершенствования и после первого усовершенствования станки последовательно включаются в рабочий режим за 50 мин, после второго усовершенствования – за 25 мин, поэтому количество выпускаемых деталей можно определить по формуле суммы членов арифметической прогрессии. Число деталей, выпускавшихся до усовершенствования станков: Число деталей, выпускавшихся после первого усовершенствования станков: S2=126 дет. За 50 мин.

17. Число деталей, выпускавшихся после второго усовершенствования: S3=126 дет. За 25 мин. а) Производительность труда за смену до усовершенствования станков: S1 = S1+S =1215 дет. Производительность труда за смену после первого усовершенствования станков: S2=S2+S = 1458 дет. Производительность труда за смену после второго усовершенствования станков: S3 = S3 +S = 1548 дет. б) Месячный заработок рабочего ( за 22 дня ): 0,8 к. · 1215 · 22 = 213 р. 84 к. – до первого усовершенствования станков; 0,77 к. · 1458 · 22 = 246 р. 84 к. – после первого усовершенствования станков; 0,75 к. · 1548 · 22 = 255 р. 42 к. – после второго усовершенствования станков. Главное меню

18. 2) Молодежная бригада строителей перечислить в фонд мира 500 рублей, которые заработает на стройке оросительного канала. В первый день бригада заработала 90 рублей, а в каждый последующий день она зарабатывала на 5 рублей больше, чем за предыдущий. За сколько дней бригада заработает эту сумму? Решение. а1 = 90 d = 5 Sn= 500 Найти: n. - посторонний корень, т. к. Ответ: за 5 дней. Главное меню

19. 3) Бригада рабочих нанялась вырыть колодец с условием, что за первый метр глубины они получают 40 гривень, а за каждый следующий на 15 гривень больше, чем за предыдущий. Какой глубины получится колодец, если им заплатили за всю работу 1690 гривень. Решение. Рассмотрим последовательность чисел а1, а2, а3, …, равных плате за каждый выкопанный метр колодца. Из условия задачи видно что эти числа составляют арифметическую прогрессию с первым членом а1=40 гривень и разностью d=15 гривень. Сумма прогрессии равна по условию 1690 гривень. Обозначим через n глубину получившегося колодца, т. е. число членов прогрессии. Это уравнение относительно n. Преобразуем его. Второй корень отбрасываем, т. к. глубина колодца не может быть отрицательным числом. Ответ: 13 метров. Главное меню

20. 4) Один гражданин взял кредит в коммерческом банке на n месяцев с условием, что в первый месяц он возвращает 1/n часть кредита, а за каждый последующий месяц выплата увеличивается на 5 долларов по сравнению с предыдущим месяцем. Всего он вынужден будет отдать 1995 долларов, при этом в последний месяц 150 долларов. Сколько денег было взято первоначально? Решение. Обозначим череза1, а2, …, аnежемесячные выплаты гражданина банку. По условию эти числа образуют арифметическую прогрессию, для которой разность d=5 долларов, а n-й член an=150 долларов. При этом сумма прогрессии Sn=1995 долларов. Решим полученную систему. Выразим из первого уравнения а1и подставим во второе: Преобразуем:

21. Рассмотрим оба случая: 1) n=42. Найдем выплату за первый месяц. а1=159 – 5(n – 1) = 150 – 5 ∙ 41= – 55 < 0 Т. к. выплата не может быть отрицательной, то этот случай не возможен. 2) n=19 Найдем выплату за первый месяц. а1=150 – 5 ∙∙ 18 = 60 Следовательно в первый месяц выплата составила 60 долларов. По условию это взятого. Следовательно весь кредит составлял: 60 ∙ 19 = 1140 долларов. Ответ: 1140 долларов. Главное меню

22. 5) За изготовление и установку первого железобетонного кольца колодца заплатили 10 рублей, а за каждое следующее кольцо платили на 2 рубля больше, чем за предыдущее. На постройку колодца израсходовали 9 колец. Сколько уплатили за постройку колодца? Решение. а1 = 10 руб. d = 2руб. n = 9 колец Найти: S9. a9 = 10 + (9 - 1)∙ 2 = 10+16=26 Ответ: 162 рубля. Главное меню

23. 6) За рытье колодца колхоз оплачивает за первый метр глубины 15 рублей, а за каждый следующий – на 10 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей колхоз уплатил рабочим за рытье колодца глубиной 10 метров. Решение. а1 = 15 руб. d = 10 руб. n = 10 метров Найти: S10. а10 = 15+(10-1) ∙ 10 = 15+90 = 105 Ответ: 600 рублей. Главное меню

24. 1) Известно, что y=f (x) – линейная функция и , , , … – арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f ( ), f ( ), f ( ) также является арифметической прогрессией. Доказательство. I способ. Из определения арифметической прогрессии следует, что при любом натуральном n верно равенство , где d – разность данной арифметической прогрессии ( ) . Если f (x) – линейная функция, заданная формулой f (x)=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – числа, то Таким образом, для любого натурального n выполняется условие , где d1 – некоторое число, т. е. последовательность f ( ), f ( ), f ( ) – арифметическая прогрессия. IIспособ. Предварительно целесообразно доказать теорему: чтобы последовательность , , …, ,. была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы каждый ее член, начиная со второго, был средним арифметическим между предыдущим и последующим членами. Так как , , … – арифметическая прогрессия, то Пусть линейная функция f (x) выражается формулой f (x)=kx+b. Чтобы доказать, что последовательность f ( ), f ( ), f ( ) … является арифметической прогрессией, достаточно доказать, что Действительно, f (xn)=kxn+b , , что и требовалось доказать.

25. IIIспособ. Для доказательства используем теорему: для того чтобы последовательность (аn)была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (аn)могла быть задана формулой вида , где kиb – некоторые числа. Поэтому арифметическая прогрессия (xn) может быть задана формулой , где kиb – некоторые числа. Чтобы доказать, что последовательность , , ,… является арифметической прогрессией, достаточно показать что эта последовательность может быть задана формулой , где c и r – некоторые числа. Так как по условию f – линейная функция, то (по определению линейной функции) ее можно задать формулой , где х – независимая переменная, k1и b1 – числа. Тогда , где , ,т.е. c и r–некоторые числа (что и требовалось доказать). Главное меню

26. 2) Пусть а1, а2,…- арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите,что сумма n первых членов последовательности ( ) равна , если Доказательство. , гдеd– разность данной арифметической прогрессии. Утверждение доказано. Главное меню

27. 3) Найдите сумму всех несократимых дробей вида , где n – натуральное число, . Решение. Искомую сумма найдем как разность суммы всех дробей вида , где и , и суммы всех сократимых дробей указанного вида. Сумму всех дробей вида , где и , найдем как сумму 50 членов арифметической прогрессии , , , … , : Среди дробей рассматриваемого вида сократимыми являются дроби, в числителе которых числа, кратные 5 (5, 10, … , 50). Значения дробей, в числителях которых содержатся эти числа, составляют арифметическую прогрессию 1, 2, 3, … , 10. Найдем сумму ее десяти членов: Теперь легко найдем искомую сумму: Ответ: 200 . Главное меню

28. 4) Подготовка к экзамену. Готовясь к экзамену, студент в первый день прочитал несколько страниц учебника. В каждый последуюший день, в связи с усложнением материала, студент прочитывал по 80% количества страниц, прочитанных в предыдущий день. Всего он готовился к экзамену 4 дня. В учебнике было 369 страниц текста. На сколько страниц прочитал студент в первый день больше, чем в последний? Решение. Обозначим числа страниц, которые студент прочитывал в каждый из этих четырех дней через b1, b2, b3и b4соответственно. По условию они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,8. Кроме того, нам известно, что Нам нужно найти b1 – b4. Теперь ответим на вопрос задачи: Ответ: на 61 страницу. Главное меню

29. 5)Числа гектаров, отведенных колхозом под посев пшеницы, ржи и ячменя составляли геометрическую прогрессию, а урожайность пшеницы, ржи и ячменя, (в центнерах с гектара) составляла убывающую арифметическую прогрессию с разностью в 4 центнера. Сколько гектаров было засеяно пшеницей, рожью и ячменем вместе, если пшеницы было собрано 1400 ц, ржи – 9600 ц, а ячменя – 6400ц.? Решение. Обозначим через а1, а2, а3 урожайность пшеницы, ржи и ячменя соответственно. По условию эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью – 4 т. е. : а2 – а1= а3 – а2= – 4. (1) Обозначим b1, b2, b3 количество гектаров, засеянных пшеницей, рожью и ячменем соответственно. По условию эти числа образуют геометрическую прогрессию, т. е. (2) Нужно найти S3для этой геометрической прогрессии. По условию задачи: а1∙ b1 = 14000а2∙ b2 = 9600а3∙ b3 = 6400 Из равенств (1) и (2): а2 = а1 – 4; а3 = а1 – 8; b2 = b1 ∙ q; b3= b1 ∙ Получаем систему уравнений:

30. Разделим второе уравнение на первое, третье на второе: Разделим второе уравнение на первое: Решая это квадратное уравнение, получаем: 1) а1 = 28; 2) а1 = – 20( не подходит) Значит а1 = 28 → b1 = 500; q = 0,8 Ответим теперь на вопрос задачи. По формуле: Ответ: 1220 гектаров. Главное меню

31. 6) Цифры трехзначного числа образуют геометрическую прогрессию. Сумма их равна 13. Если к данному числу прибавить 792, то получится чисто написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти первоначальное число. Решение. с=b1 b=b1q a+b+c=13 100a+10b+c+792=100c+10b+a 99c-99a=792 c – a = 8 c = a+8, a=1; b=3; c=9. Ответ: 139. Главное меню

32. 7) Найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии, если известно, что третий член равен 3, а произведение первого и четвертого членов равно 27. Решение. b3 = 3 b1∙ b4 = 27 Найти: S3. => => => Ответ: 39. Главное меню

33. 8) Произведение первого и шестого членов геометрической прогрессии равно 18, а третий член равен 6. Найти сумму первых четырех членов этой прогрессии. Решение. b1∙ b6 = 18 b3 = 6 Найти: S4 Ответ: 45. Главное меню

34. 1) Докажите, что если длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то разность этой прогрессии равна радиусу вписанной в этот треугольник окружности. Доказательство. Пусть ∆АВС прямоугольный, в котором ВС=а, АС=a+d, АВ=а+2d. Тогда , или , откуда а=3d . Поэтому ВС=3d, АС=4d, АВ=5d. Имеем AB=AL+LB=AK+MB, BM=BC-MC=3d-r, AK=AC-KC=4d-r, AB=AK+MB=(4d-r)+(3d-r)=7d-2r, 7d-2r = 5d, откуда d=r, что и требовалось доказать. З а м е ч а н и е. Полезно обратить внимание на то, что в ходе решения этой задачи были найдены все прямоугольные треугольники, стороны которых составляют арифметическую прогрессию. Главное меню

35. 2) Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию. Доказательство. Пусть одна сторона треугольника равна а. Тогда две другие – aq и . Из формулы найдем высоты треугольника: они равны , , и, очевидно, образуют геометрическую прогрессию, первый член которой , а знаменатель равен . Утверждение доказано. Главное меню

36. 3) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника образовать геометрическую прогрессию? Если могут, то найдите величины углов этого треугольника. Решение. Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Если a и b– катеты прямоугольного треугольника (b – меньший катет), с – гипотенуза, то (каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим между предыдущим и последующим членами). По теореме Пифагора имеем . Так как , то Можно найти угол А другим способом, если предварительно найти знаменатель прогрессии. Так как , то . Тогда . Главное меню

37. Попрактиковаться не хотите ли? 1. Найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если известно, что четвертый член равен 8, а удвоенный седьмой равен 14. 2. Разность десятого и третьего членов арифметической прогрессии равна 21, а сумма пятого и второго равна 9. Найти седьмой член этой прогрессии. 3. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 40, а шестой член равен 17. Найти пятый член этой прогрессии. 4. В январе рабочий заработал 720 рублей. В последующие месяцы, благодаря росту квалификации и компенсации за инфляцию, зарплата рабочего ежемесячно увеличивалась на 140 рублей. В течение какого времени рабочий получил 6420 рублей? 5. Во время строительства оросительной системы бригада студентов получила задание выкопать канаву длиной 671 метр. В результате улучшения условий работы производительность труда в каждой последующий день составляла 120% производительности предыдущего дня, а вся работа была выполнена за 4 дня. Сколько метров канавы было выкопано в последний день? 6. Четыре положительных числа составляют последовательные члены геометрической прогрессии, в которой произведение крайних членов равно 108, а произведение второго члена на четвертый равно 324. Найти сумму двенадцати членов арифметической прогрессии, первый член которой равен третьему члену данной геометрической прогрессии, а десятый – четвертому члену той же геометрической прогрессии. 7. Три различных числа, сумма которых равна 93, составляют геометрическую прогрессию. Их так же можно рассматривать, как первый, второй и седьмой члены арифметической прогрессии. Найти эти числа. 8. Могут ли три числа составлять одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию. Ответ объяснить. Главное меню

38. Список использованной литературы. 1) АЛГЕБРА –учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений ( под редакцией С. А. Теляковского ). Издательство «Просвещение». 2) ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА ( Я. И. Перельман, под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского). 3) ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ ( Н. П. Кострикина ). 4) СБОРНИК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ с практическим содержанием ( П. Т. Апанасов, Н. П. Апанасов ). 5) РЕПЕТИТОР по математике для поступающих в вузы ( Ю. В. Кириченко, С. Ю. Кириченко ). Главное меню