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第七节　空间坐标系、空间向量的 概念及运算

第八章　立体几何与空间向量. 第七节　空间坐标系、空间向量的 概念及运算. 考 纲 要 求. 1 ． 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 . 2 ．会推导空间两点间的距离公式． 3 ．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 4 ．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 5 ．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 课 前 自 修. 知识梳理. 1 ．空间直角坐标系及有关概念．

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第七节　空间坐标系、空间向量的 概念及运算

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Presentation Transcript

  1. 第八章　立体几何与空间向量 • 第七节　空间坐标系、空间向量的 • 概念及运算

  2. 考 纲 要 求 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. 2．会推导空间两点间的距离公式． 3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

  3. 课 前 自 修 知识梳理 1．空间直角坐标系及有关概念． (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴．这时建立了空间直角坐标系O-xyz，其中点O叫做________．x轴，y轴，z轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做________． 原点　 坐标轴 坐标平面

  4. (2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为________正向，也称这样的坐标系为右手系．(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为________正向，也称这样的坐标系为右手系． (3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________． x轴　 z轴 横坐标　 纵坐标 竖坐标

  5. 2．空间两点间的距离公式． 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝_____________________________. 3．空间向量的概念及运算． 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循____________________________，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标． 三角形法则和平行四边形法则 相同

  6. a＝λb

  7. xa＋yb 1 (3)空间向量基本定理． 如果向量e1，e2，e3是不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝_________________，把e1，e2，e3叫做空间的一个基底． λ1e1＋λ2e2＋λ3e3

  8. 5．空间向量的数量积及运算律． (1)数量积及相关概念． ①两向量的夹角．已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若 ＝ ，则称a与b__________，记作a⊥b. ②两向量的数量积．已知空间两个非零向量a，b，则____________________叫做向量a，b的数量积，记作__________，即______________________． ∠AOB　 a，b 0≤ ≤π 互相垂直 |a||b|cos a·b＝|a||b|cos a·b

  9. (2)空间向量数量积的运算律． ①结合律：(λa)·b＝______________； ②交换律：a·b＝__________； ③分配律：a·(b＋c)＝________________. 6．空间向量的坐标表示及应用． (1)数量积的坐标运算． 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝__________________. λ(a·b) b·a a·b＋a·c a1b1＋a2b2＋a3b3

  10. (2)共线与垂直的坐标表示． 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a∥b⇔a＝λb⇔ ②a⊥b⇔________＝0⇔__________________ (a，b均为非零向量)． a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a·b

  11. 基础自测 1．在空间直角坐标系中，点(1,2，－3)关于x轴对称的点的坐标是() A．(1，－2,3)B．(－1,2,3) C．(－1，－2,3) D．(1，－2，－3) 解析：点(a，b，c)关于x轴的对称点是 ． 答案：A

  12. 3．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，若λ1a＋λ2b与z轴垂直，|λ1a＋λ2b|＝ ，则λ1，λ2的值分别为_________________． 2,1或－2，－1

  13. 4．在空间直角坐标系中，点A(1,1,1)与点B(2,2，－1)之间的距离为________.4．在空间直角坐标系中，点A(1,1,1)与点B(2,2，－1)之间的距离为________.

  14. 考 点 探 究 考点一 空间直角坐标系中点的坐标和距离问题 【例1】(1)已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标是________． (2)在空间直角坐标系，x轴上的一点P到点P0(4,1,2)的距离为 ，则点P坐标是________．

  15. 思路点拨：(1)用空间中线段的中点坐标公式计算；(2)由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然后由两点间的距离公式，列出方程求解．思路点拨：(1)用空间中线段的中点坐标公式计算；(2)由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然后由两点间的距离公式，列出方程求解．

  16. 点评：点的坐标问题，包括建立适当坐标系写出有关点的坐标，以及根据点、线、面的对称关系写出点的坐标．距离问题，是用空间中两点间距离公式求两点间的距离．第(1)小题利用中点公式求点的坐标，实际上是对称关系，第(2)小题是空间中两点间距离公式的应用．点评：点的坐标问题，包括建立适当坐标系写出有关点的坐标，以及根据点、线、面的对称关系写出点的坐标．距离问题，是用空间中两点间距离公式求两点间的距离．第(1)小题利用中点公式求点的坐标，实际上是对称关系，第(2)小题是空间中两点间距离公式的应用．

  17. 变式探究 1．(1)设点B是点A(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点，则 ＝() A．10B.C.D．38 答案：A

  18. (2)△ABC三个顶点的坐标为A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状为()(2)△ABC三个顶点的坐标为A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状为() A．正三角形　　 B．锐角三角形 C．直角三角形　　　 D．钝角三角形

  19. 考点二 空间向量的基本运算与空间向量的基本定理

  20. 自主解答：

  21. 点评：(1)平面向量是空间向量的一种特殊情况，因此平面向量的重要运算法则及解题方法均可引申到空间向量中来．点评：(1)平面向量是空间向量的一种特殊情况，因此平面向量的重要运算法则及解题方法均可引申到空间向量中来． (2)在向量的加减法运算中应注意其几何意义的应用． (3)应注意数形结合的数学思想和方法．

  22. 变式探究

  23. 考点三 共线、共面向量定理的应用

  24. 点评：选定空间中不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需要的量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作出新的调整，如此反复，直到所有的向量都符合要求为止．点评：选定空间中不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需要的量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作出新的调整，如此反复，直到所有的向量都符合要求为止．

  25. 变式探究 3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证：A1B∥平面AC1D.

  26. 空间向量的坐标运算 考点四

  27. 点评：本题主要运用坐标代入运算即可．特别地，由(2)中②可知，λa＋μb与z轴垂直，只需满足λa＋μb的竖坐标为零即－4λ＋8μ＝0即可，可见要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真．点评：本题主要运用坐标代入运算即可．特别地，由(2)中②可知，λa＋μb与z轴垂直，只需满足λa＋μb的竖坐标为零即－4λ＋8μ＝0即可，可见要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真．

  28. 变式探究 4．如图，空间直角坐标系中有一个正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a，M，N分别是棱BC1，AC上的点，且AN＝2NC，BM＝2MC1，求MN的长．

  29. 考点五 空间向量的数量积、模、夹角 【例5】如右图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值； (3)求证：A1B⊥C1M.

  30. 思路点拨：建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式求解．思路点拨：建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式求解．

  31. 点评：利用向量数量积的坐标公式，求异面直线所成角的解题步骤：点评：利用向量数量积的坐标公式，求异面直线所成角的解题步骤： (1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系． (2)利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标． (3)利用向量数量积的坐标公式，求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．

  32. 变式探究 5．如图，在四面体S-ABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，试证：SC⊥AB.

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