专升本《高等数学》课程的应试策略

专升本《高等数学》课程的应试策略 辅导教师：白水周

应试总体策略 一、应试前，对考题类型心中有数；二、应试前，对考试涉及的知识点心中有数；三、应试前，对每类题型的求解方法心中有数；四、应试前，对常用的数学知识公式、性质、法则心中有数心中有数，坦然应试！

往年考题题型及各题型所占分值 2002年以来，往年试卷的分值及考试时间一直保持不变（试卷总分150分，考试时间为150分钟。），历年题型见下表：

考试知识点及每个知识点在考卷中的比例 历年来，专升本考试的数学内容是固定的，总体上有四部分，它们分别是：一元函数的微积分；多元函数的微积分（包括空间解析几何知识）；常微分方程；无穷级数。具体内容及所占比例如下表：

每类题型的求解方法指导 一、单项选择题的求解方法方法一：直接求解法。即从题设条件出发，经过合理的演算、推理得出结论，然后，观察选项中哪一个符合要求。举例：例1 当时，无穷小是比的（）　　　　　　　　　　Ａ高阶无穷小　　Ｂ低阶无穷小　　　　　　　　　　　　Ｃ同阶无穷小　　Ｄ等价无穷小　　指导：比较两个无穷小阶数的高低，方法是：求二者商的极限。注：请注意解题方法！这种题是每年必考题。

例 2 设向量 则向量与的夹角为　（）Ａ、　　　Ｂ、　　　　Ｃ、　　　　Ｄ、指导：求两向量的夹角时，可利用它们的数量积公式进行计算。例３级数的敛散性为（）Ａ绝对收敛　　　　　Ｂ条件收敛Ｃ发散　　　　　　　Ｄ敛散性不能确定指导：这类题求解时，应首先看是否绝对收敛？很明显，其绝对值级数为：，的级数，收敛

方法二：逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验，从中找出符合题设的选项。方法二：逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验，从中找出符合题设的选项。举例：例 1 下列函数中，是函数的原函数的是（）　　　　Ａ、　　　　　　　　　Ｂ、　　　　Ｃ、　　　　　　　　　Ｄ、指导：作这个题就需要逐一验证，首先，你应明白何谓“原函数”？，然后逐一检验。如果，　　　　　　　　　　　　的一个原函数。　　　，其余都不满足，故应选Ｃ。注：原函数的概念也很重要，要牢记。

例２　在区间　　　　上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（　）例２　在区间　　　　上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（　）Ａ、　　　　　　　　　　　Ｂ、Ｃ、　　　　　　　　　　　Ｄ、指导：该题的求解，应在掌握罗尔定理条件的基础上，对四个选项逐一验证。罗尔定理的条件是：⑴　　　上函数连续；⑵　　　内函数可导　　　　　　　　　⑶　该题的四个选项中，Ａ、Ｃ、Ｄ满足定理条件，而Ｂ不满足。方法三：排除法。即首先排除明显错误的选项，逐步缩小选择范围，再进行比较和验证，最终选择一个正确答案。

举例例 1 已知，则 等于（）。 A、 B、 C、 D、指导该题可用“方法一”---直接求解法寻求答案。只需作变换，令，即可得到的关系式，进而得。也可用恒等变形的办法求得。该题也可用排除法求解。由已知，当时，会得，而将代入4个选项中，分别得、 4、4、0，因此，选项A、D可排除。再令，会得，而将代入B选项，得数9，因此B可排除，最后，选C.

例 2等于（）； A B C D 指导：因该题是求微分的，结果中应含微分记号，故A、B选项可排除；再根据可变上限的积分求导性质，最终应选C. 方法四：赋值验证法。即将条件中的变量或关系式，赋给一些合乎要求的数值或关系式，会得一结论；再观察选项中哪一个选项与命题结论相符。举例：例 1 满足方程的函数是（　） A 、 B、　　　　C、 D、指导：在方程中，令　　　，可得　　　　，满足此条件的函数有　　　　　和　　，又方程两边求导得　　　　　，满足该条件的　　　只有　　，故D正确。　　

例２　已知　　　　，且　　　　　　　，则函数　　　在　　例２　已知　　　　，且　　　　　　　，则函数　　　在　　　　　处（　　） A 、导数存在，且； B、导数一定不存在； C、取得极大值； D、取得极小值。指导：取满足条件的函数　　　　　，由该函数的性质知，A、B 、C全错，故选D 例３　设　　　　　　，则　　　等于（　　）； A 、 B 、 C、 D、指导：由已知条件，将　　　代入，可得　　　　，而在四个选项中，满足　　　　条件的只有B.

方法五：图像法。即借助函数的图像直观地判断函数的性质、状态方法五：图像法。即借助函数的图像直观地判断函数的性质、状态举例：例1 设在区间上可导，且，则函数在内（）； A 、至少有两个零点； B、有且仅有一个零点； C、没有零点； D、零点的个数不确定指导：由于，知函数严格递增，又，于是，函数图像如图，直观可看到B选项正确。例 2 函数在点处（）； A 、无定义； B、不连续； C、连续不可导； D、连续又可导。指导：函数的图像如图，C选项正确。

方法六：变量替换法。即通过变量替换，把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式，进而解答问题的方法。方法六：变量替换法。即通过变量替换，把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式，进而解答问题的方法。举例：例1 曲线在处（）； A、有极大值 B、有极小值 C 、有拐点 D、无拐点指导：令，命题转化为判断在处的性态；的曲线形状大家比较熟悉，如图，正确答案为C. 例2 设级数在点处收敛，则级数在处（）； A、绝对收敛； B、条件收敛； C 、发散； D、敛散性不定指导：令，该命题可化为，级数在处收敛问处的敛散性；由绝对收敛定理知，A选项正确。

二、填空题的求解方法 填空题往往考察某一知识点中的基本概念、基本性质、基本运算；因此，做这样的题需按照以下方法进行：方法一：紧扣知识点，顺藤摸瓜。即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么知识，然后再据这一知识的概念、性质、运算，推得结论进而得出答案。举例例1 极限＿＿＿；指导：很明显，该题是一道极限计算题，如何求极限呢？总体方法是，先判断极限类型，然后按照这种类型的极限求法求极限。该极限可看到是极限，于是，可用罗比塔法则、可用等价无穷小的替换，也可用重要极限等方法求极限。极限值是例 2 设，则指导：该题是考察导数概念的题，要把导数定义中的极限与所给极限比较，进而求得极限。通过比较和恒等变形，可得极限为-3。

例3 指导：该题含有求导符号，因此是求导运算题，又被求导的函数是积分上限函数，于是，求导时要利用积分上限函数的性质。被求导的函数是与复合而成的函数，故其导数为：方法二：注重技巧，少走弯路。即有些题型的求解是有技巧的，方法正确，易于求出结果，方法不恰当，解题就困难。几个重要结论：⑴ 　　　　　　　　　⑵ 　　　　　　　　　⑶

⑷ ⑸ ① ② 等等举例例1 ________ ; 指导: 该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果。请你一定要记住这些公式！

例2 积分 指导：该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间，因此，使我们想到考虑被积函数的奇偶性；容易知道，被积函数是奇函数，故积分为0。例3 积分指导：该题入手方法同例2，具体如下：例4 设直线在平面内，则常数 =——；指导：直线在平面内，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直从而，它们的数量积为零。

三、判断题的求解方法 判断题常常考试容易模糊的概念、容易出错的运算、容易迷糊的性质。这类题的求解需注意以下几点： ⑴、理清概念。如： ① 对于一元函数， ② ③ ④ 对于多元函数， ⑵、牢记运算性质。如： ①如果 ②如果级数

③对于一元函数， ④ ⑶ 严格运算，注重细节。举例例1 判断下列命题是否正确？　　　⑴、如果函数在点处无定义，则不存在；　　　⑵、如果函数在点处不可导，则曲线在处无切线；

⑶、如果函数在点 处的两个偏导数皆存在；那么函数在点处全微分存在；　　　　　　　　　⑷、如果，则。　⑸、如果，则级数收敛；　⑹、如果函数在处取得极值，则；　⑺、如果点是曲线的拐点，则；　⑻、； ⑼、设，则；　⑽ 设，；提示：这类问题很多，请细心思考！

四、计算题的求解方法 这几年，专升本试卷中计算题的类型是较固定的，每年都是8个题，且它们分别是： ⑴、求一元函数的极限；　　⑵、求一元函数的导数；　　⑶、求一元函数的不定积分；⑷、求一元函数的定积分；　　⑸、多元复合函数的求偏导；⑹、二重积分的计算；　　⑺、将函数展开成幂级数（或求幂级数的收敛区间）；　　⑻、常微分方程的求解。㈠、一元极限的求解方法：求极限时，应首先判断极限类型，然后才能选择合适的方法；这几年的求极限题皆为不定式极限，总体的方法是用罗比塔法则求极限；当然，在求极限过程中，也要考虑其它求极限的技巧，以便更快地求出极限来。

举例例1 求 指导：首先看能否代入求极限，通过判断发现不能，该极限是型不定式极限，可考虑用罗比塔法则求极限。（也可用等价无穷小替换求解）

㈡、一元函数的求导方法 求一元函数的导数时，应首先看该函数的结构，判断是复合函数，还是四则运算产生的函数，还是幂指函数，还是隐函数，然后按相应的求导法则求导数。举例：例1 设指导：该函数是幂指函数，可用对数求导法求导数，也可用复合求导法则求导数。

㈢、求一元函数积分的方法 无论一元不定积分还是定积分，求积分时，首先要看被积函数的结构，看它属于哪个积分方法的可积类型，然后，按相应的方法积分。如：被积函数中含有根式时，要利用变换换元脱去根式进行积分；被积函数是对数或反三角函数时，用分部积分法积分等。举例：例1 求下列积分： ⑴　　　　　　　⑵ 指导　对第一个积分容易看到，被积函数无微分关系，只能用分部　　　积分法积分，且注意到：　　　　　　　，故积分如下：　对于第二个积分，被积函数特点是含有根式，于是，可用换元积分法积分。具体如下：

方法二：凑微分法。具体如下

例2 求积分 ⑴　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑵ 指导　这两个积分皆为定积分，从积分的特征看到，第一个积分是偶函数在对称区间上的积分，且被积函数可化简，然后用凑微分法积分；第二个积分，从特征看，需用分部积分法积分．具体如下：解　⑴

㈣　多元复合函数偏导数的求法 指导：这几年，多元复合函数的偏导计算题，往往是含字母的抽象函数的求导，关键要弄明白变量间的关系，然后按变量间的关系连线图求导。举例例设其中皆具有二阶连续的偏导数，求指导首先应明确，求导次序是：先对求偏导，然后对求偏导；具体求导时，函数是两项的和，需分别求导向加；而每一项又是复合函数，需用复合求导法则求导。解

㈤二重积分的计算 计算二重积分是一类很重要的运算，每年必考。计算的总体方法是：①先画出积分区域；②根据积分区域特征、被积函数特征，选择坐标系；③在该坐标系内，把积分区域用不等式表示；④把二重积分化为二次积分计算。举例　例１求积分　　　　　　，其中　是圆　　　　　在第一　　　　　象限中的部分。　解　积分区域如图所示区域　可表示为：

于是， （在　　内，　　　）

㈥　幂级数的展开或运算 指导：　把函数展开为幂级数时，常常用间接的方法；这其中需要　　　　记几个常用函数的幂级数展开式，如：　　　　　　　　　　　　　　　　　　，利用它们的展开式，利　　　　用级数的运算，可间接地把一些函数展开成幂级数。举例　　例　将函数　　　　　　　　展开成　　　的幂级数，并　　　　　　求其收敛区间。指导　首先，需把该分式函数分解为简单分式，然后，再展开成幂　级数。解　（让函数中出现　　）

　　在将　　　　展开成幂级数时，其收敛区间为：　　　　　；　　在将　　　　展开成幂级数时，其收敛区间为：　　　　　；在将　　　　展开成幂级数时，其收敛区间为：　　　　　，故，已知函数展开的级数的收敛区间是

㈦　微分方程的求解 指导　微分方程求解的方法是：先判断方程的类型，然后，根据方程的特点，选择合适的求解方法。举例　例　求微分方程　　　　　　　　　满足条件　　　　及　　　　　　　　　的解。指导：该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，首先，求其齐次方程的通解，然后，构造非齐次方程的特解，进而，得到非齐次方程的通解。最后，将初始条件代入，求出满足条件的特解。解：方程的特征方程为：，于是，特征根为于是，有齐次方程的通解又，自由项是特征方程的单根；故，可设方程的特解为，代入原方程得：原方程的通解为

将初始条件代入，得满足条件的解： 五、应用题的求解指导指导：这几年来，专升本考试的应用题皆为两类。一类是多元偏导数的应用（求实际中的极值或条件极值）；一类是一元定积分的应用（求平面图形的面积或旋转体的体积）。这些我们在平时辅导时已多次讲解具体题的求解。举例例1 某工厂生产两种商品的日产量分别为和（单位：件）　　　　总成本函数（单位：元）如果商品的限额为　　　　　，试求最小成本。指导：该题明显是要求函数　　　　　　　　　　　，在条件：　　　　　　　　下的极值。方法一：可化为无条件极值；方法二　　　利用拉格朗日乘数法。

解　令 　　对上式求各个偏导数，并令其为零，有：解之，得：　　　　　　　，因为这是唯一的驻点，于是，它就是取得最小值的点。最小成本为：例２　如图，把抛物线　　在横坐标　　　及　　　之间部分与　　　及　　　两直线

所围成平面图形绕　轴旋转一周． ⑴　求旋转体体积Ｖ； ⑵ 当取何值时，上面所求体积等于三角形OPC绕轴旋转而成的旋转体体积。

六、证明题的求解指导 指导：专升本考试证明题从历年看，有两类，一类是证明方程根的存在性；一类是证明不等式的成立。证明方程根的存在性的方法是： ⑴证明方程有唯一（或几个）根的方法是：①利用零点定理说明根的存在性；②利用函数的单调性、极值等说明函数根的个数问题

⑵　证明方程至少有一个（或几个）根的方法：①证明至少有一个根，可利用零点定理；或者，将方程化为：　　　的形式，然后利用罗尔定理证明。②证明至少有几个根，需证明已知区间可分成几个小区间，每个小区间内至少有一个根。⑵　证明方程至少有一个（或几个）根的方法：①证明至少有一个根，可利用零点定理；或者，将方程化为：　　　的形式，然后利用罗尔定理证明。②证明至少有几个根，需证明已知区间可分成几个小区间，每个小区间内至少有一个根。证明不等式成立的方法： ⑴　利用函数的单调性证明不等式；⑵　利用最值情况证明不等式 ⑶　利用曲线的凸凹性证明不等式；⑷　利用微分中值定理证明。

祝同学们考出好成绩！ 心想事成，马到成功！

专升本《高等数学》课程的应试策略 报告人：白水周

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