广东茂名市第一中学祝本初整理制作

9.7 直线和平面所成的角与二面角 2. 二面角与平面和平面的垂直关系广东茂名市第一中学祝本初整理制作

二面角 二面角 C A  B  l D   B A F E B A D C 一、二面角的定义 1、定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的表示方法二面角－AB－  二面角－ l－  二面角C－AB－ E 二面角C－AB－ D

二面角  l P1 P B B1 A A1 1）角的顶点在棱上  2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱二、二面角的平面角 1、定义以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1 二面角的平面角必须满足：注意: (与顶点位置无关) 二面角的平面角的范围: 0180

二面角  l  P  P   l P  l 2、作二面角的平面角的常用方法 ①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 B A B A B O A

A D B C  D’ C’ B  A’ D C B’ AC⊥l A D BD ⊥l C A B 练习：指出下列各图中的二面角的平面角： l O D O 二面角B--B’C--A 二面角--l-- O E 二面角A--BC--D 14

二面角 例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600， ∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。  M P O A B N ∠COD是二面角的平面角  ∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a ∴CD=PC a 解：在PB上取不同于P的一点O， ① C 在内过O作OC⊥AB交PM 于C，在  内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得： ② D 设PO = a，∵∠BPM =∠BPN = 45º ③ 又∵∠MPN=60º 一“作” 二“证” 三“计算” ∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º

二面角 例2.A为二面角－CD－  的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45º角，又AB与平面 成30º，求二面角－CD－  的大小。 B  解：作BC于C，连结AC A C D 过C作COCD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BOCD  ∠BOC是二面角的平面角则设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= a 在RtACB中，BAC= 30º,AB= a, BC= a 在RtBCO中，sin ∠BOC= ∴所求二面角的大小为45º O C

二面角 例3．如图P 为二面角内一点，PA⊥,PB⊥, 且PA=5，PB=8，AB =7，求这二面角的度数。设过PA、PB 的平面PAB 与棱l 交于O 点 P B ∵PA⊥ ∴PA⊥ l   ∵PB⊥∴PB⊥ l A l ∴ l⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 ∴∠P = 60º∴∠AOB=120º ∴所求二面角的度数为120º 解： O

二面角 C B A D 例 4 已知在一个60的二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l ，又知AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm, 求线段CD的长。

小结二面角二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。二面角 －AB－  二面角 C－AB－ D 二面角 － l－  1、二面角的平面角必须满足三个条件 2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量 1、定义法 2、三垂线（逆）定理法 3、垂面法 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”

二面角 P C A B 2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ β B P O A l 练习: 1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABPB.∠ACPC.都不是 60º

二面角  B  D C A ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ∴ 在Rt △COD中，DO=AB=3 E 3. 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 l O 解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即 ∠OAC＝120， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l，AO=BD ∵AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO 19

作业二面角作业1：已知Rt△ABC在平面内，斜边AB在30º的二面角-AB- 的棱上,若AC=5，BC=12,求点C 到平面 的距离CO。二面角 B’ D  C  C O O A A B B 作业2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2,AD=CD= , ∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB’=，求△AB’C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。二面角 ODC BOB’ D

三、平面和平面的垂直关系 α A 已知：AB α， AB ⊥β ∪ D 证明：设α ∩ β=CD则由AB α知 AB、CD共面 ∪ E B β ∵ AB ⊥β，CD β ∪ C 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。求证： α ⊥β ∴AB⊥CD，垂足为点B 在平面β内过B点作直线BE ⊥ CD，则∠ABE是二面角α- CD -β的平面角。又AB ⊥ BE，即二面角α- CD –β是直二面角 ∴ α ⊥β

两个平面垂直的性质定理： A D E B C

练习 P a b c a b c P

α γ a β 2、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直已知：a // α， a ⊥β 求证： α ⊥β b

SBC SAC BC 平面经过平面的一条垂线 S E F B A C

4、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，求证：平面 BCD ⊥平面ADC A B D O C

5、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA = PD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN // 平面PAD；（2）平面PMC ⊥平面PDC P Q N A D M B C

6、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC ⊥平面ABC 7、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？ P P D O C A C A B B

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