图与网络分析 ( Graph Theory and Network Analysis)

图与网络分析 (Graph Theory and Network Analysis) 赵芳玲

图论是运筹学的一个重要分支，它是建立和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法难于解决的问题。图论的发展可以追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方法直观形象，富有启发性和趣味性，深受人们的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使用了图论模型方法。图论是运筹学的一个重要分支，它是建立和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法难于解决的问题。图论的发展可以追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方法直观形象，富有启发性和趣味性，深受人们的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使用了图论模型方法。

图与网络分析 (Graph Theory and Network Analysis) 图的基本知识树及最小生成树最短路问题最大流问题最小费用最大流问题

1、最短路的概念：设 为连通图，图中各边有权（表示之间没有边），为图中任意两点，求一条路，使它为从到的所有路中总权最短。即：最小。三、最短路问题 2、最短路的算法（1）由图写出其权矩阵（2）由Mat lab软件求最短路

function[D,R]=floyd(a) n=size(a,1); D=a for i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; end end R for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=R(i,k); end end end k D R end 附程序：

v2 v4 2 4 3 2 v6 2 v1 1 2 5 4 v3 v5 例1 求下图从v1到v6的最短路。（无向图）解 [D，R]=floyd(a)

最短距离 D = 0 3 4 5 5 7 3 0 1 2 2 4 4 1 0 3 3 5 5 2 3 0 2 4 5 2 3 2 0 2 7 4 5 4 2 0 最短路径 R = 1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 5 6 2 2 2 4 5 6 5 5 5 4 5 6 v1到v6的最短路为：

例2有一批货要从1运到8，运输路线如下图所示，弧旁的 数字是这段路的单位运费。试给出总运费最小的运输路线。（有向图） 2 6 1 2 3 1 10 5 9 4 3 7 6 5 5 2 3 4 6 7 8 4 8

[D，R]=floyd(a)

D = 0 2 8 1 6 3 3 10 Inf 0 6 Inf 5 Inf Inf 9 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf 6 Inf 9 14 0 5 Inf 2 9 Inf Inf 9 Inf 0 Inf Inf 4 Inf 11 16 5 7 0 4 11 Inf 7 12 Inf 3 Inf 0 7 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 R = 1 2 2 4 4 6 4 4 1 2 3 4 5 6 7 5 1 2 3 4 5 6 7 8 1 7 7 4 7 6 7 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 7 7 4 7 6 7 7 1 2 5 4 5 6 7 5 1 2 3 4 5 6 7 8 1到8的最短路径为 {1，4，7，5，8} 最小运费为10。

2 v1 v2 3 -4 2 v3 v4 3 例3求右图从v1到v4的最短路。（有负权） [D，R]=floyd(a) D = 0 -1 3 1 Inf 0 Inf 2 Inf -4 0 -2 Inf Inf Inf 0 R =1 3 3 3 1 2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 v1到v4的最短路p=(v1,v3,v2,v4) ,其权d4=1

例四（设备更新问题）某工厂使用一种设备，这种设备在一定的年限内随着时间的推移逐渐损坏。所以工厂在每年年初都要决定设备是否更新。若购置设备，每年需支付购置费用；若继续使用旧设备，需要支付维修与运行费用，而且随着设备的老化会逐年增加。计划期（五年）内中每年的购置费、维修费与运行费如表所示（以万元为单位），工厂要制定今后五年设备更新计划，问采用何种方案才能使包括购置费、维修费与运行费在内的总费用最小。

方法：将此问题用一个赋权有向图来描述，然后求这个赋权有向图的最短路。求解步骤： 1）画赋权有向图：设 Vi表示第i年初，(Vi ,Vj )表示第i 年初购买新设备用到第j年初（j-1年底），而Wi j表示相应费用，则5年的一个更新计划相当于从V1到V6的一条路。 2）求解（MATLAB ）

118 82 60 44 46 v3 v5 v2 v4 v6 v1 32 34 34 36 32 46 62 44 60 82

a=[0 32 44 60 82 118 inf 0 32 44 60 82 inf inf 0 34 46 62 inf inf inf 0 34 46 inf inf inf inf 0 36 inf inf inf inf inf 0]; [D,R]=floyd(a) 解 D = 0 32 44 60 82 106 Inf 0 32 44 60 82 Inf Inf 0 34 46 62 Inf Inf Inf 0 34 46 Inf Inf Inf Inf 0 36 Inf Inf Inf Inf Inf 0 R =1 2 3 4 5 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 更新计划（v1,v3,v6) 第一年和第三年初各购置一台新设备，总费用为106万元

例5 银行计划用6千万元来发展某种产品的生产。现有三个投资对象，预测对它们的投资额与5年的利润关系如下：对一个单位的最大投资额是3千万元。试制定这项投资计划，使总利润最大。

解首先考虑对A 投资。设为Ai对A投资后剩余i（千万元）。应有A6，A5，A4，A3。再接着考虑对B投资。设为Bj为对B（实际上是对A和B）投资后剩余j（千万元）。应有B3,B2,B1,B0。最后的余款全部投资给C,记作C0。而开始时记作S6，表示总投资额有6（千万元）从S6到A5的弧表示对A投资1千万元，可收益2千万元，故弧（S6，A5）的权为2，其它的依此类推。如图7-13所示。显然，现在的问题是要求从S6到C0的最长路。我们只需将每一个权变号，就可以把最长路问题变成最短路问题

从到的最长路是( ，，， )。即对A投资3千万元，对B投资1千万元，对C投资2千万元，五年可获利润7.7千万元。

练习： 求下列图中从到各顶点的距离，并给出从到的最短路。

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