9.1 Estruturas e Ligações Cristalinas 9.2 Propriedades Térmicas 9.2 Propriedades Eléctricas 9.4 Bandas de E

1. Capítulo 9 Cristais • 9.1 Estruturas e Ligações Cristalinas • 9.2 Propriedades Térmicas • 9.2 Propriedades Eléctricas • 9.4 Bandas de Energia

2. 9.1 Estrutura e Ligações Cristalinas Os átomos se arranjam de forma periódica em padrões extremamente regulares O conjunto de pontos no espaço ocupados por centros atómicos é chamado de rede A base são os átomos Célula primitiva rede + base = estrutura cristalina Célula unitária = célula primitiva de volume mínimo Volume da célula primitiva Vectores primitivos , vector de translação, descreve toda rede e pode ser escrito como uma combinação linear dos vectores a, b, c de um conjunto fundamental primitivo

3. Exemplos de estruturas cristalinas Cloreto de sódio (sal) Diamante

4. As 14 Redes de Bravais Redes tridimensionais Em 1848, o cristalógrafo francês A. Bravais mostrou que na natureza só há 14 redes cristalinas, redes essas que levam hoje seu nome A classificação das redes cristalinas faz-se em termos das operações de simetria que cada uma aceita Exemplo As redes cúbicas são aquelas que ficam inalteradas sob rotações de em torno de certas direcções

5. Existem 5 tipos de redes de Bravais em duas dimensões

6. Max von Laue provou a existência de estruturas cristalinas em sólidos em 1912, usando difracção de raios X Lei de Bragg W. L. Bragg apresentou uma explicação simples para os feixes difractados por um cristal Diferença de percurso entre os raios reflectidos por planos vizinhos Obtemos um ponto luminoso (interferência construtiva) para Lei válida para No ecrã vemos os pontos da rede recíproca

7. Exemplo Raios- X de comprimento de onda de 0,12 nm sofrem reflexão de segunda ordem num cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 28 . Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão? A lei de Bragg fornece a condição de máximos como sendo: normal d é o espaçamento dos planos do cristal e é o comprimento de onda. O ângulo é medido a partir da normal dos planos.

8. Orientação dos Cristais As propriedades dos cristais

9. Exemplos

10. Índices de Miller

11. Exemplos

13. Plano (111)

14. Exemplos de planos

15. Distância entre os planos cristalinos Espaçamento interplanar no sistema cúbico h, k, lsão os índices de Miller Exemplo a = 0.577 nm

16. Empacotamento As posições ocupadas pelos átomos podem ser visualizadas imaginando-os como esferas rígidas, encostadas umas às outras Factor de empacotamento (F.E.) - nível de ocupação por átomos de uma estrutura cristalina ccc cfc • A maioria dos elementos metálicos (90%) cristaliza-se com estruturas altamente densas : • Cúbica de corpo centrado (ccc) • Cúbica de face centrada (cfc) • Hexagonal compacta (hc) N - número de átomos que efectivamente ocupam a célula VA- volume do átomo ( ) r - raio do átomo Vc- Volume da célula unitária

21. Cálculo do parâmetro da rede, a Teorema de Pitágoras Cálculo do factor de empacotamento

22. a) Determine a aresta da célula convencional cúbica do NaCl. Raio iónico do sódio: rNa=0.097 nm Raio iónico do cloro: rCl=0.181 nm Temos dois átomos na aresta do cubo: dois átomos de Na no vértice e um átomo de Cl no centro da aresta.

23. b) Qual é o factor de empacotamento? Resolução

24. c) Qual é a densidade do NaCl ? Resolução

27. Os cristais reais apresentam defeitos

28. Os sólidos que não têm uma estrutura cristalina regular são chamados de amorfos O vidro: SiO2 Carbono amorfo: C

29. Alotropia- um mesmo elemento químico é capaz de formar várias substâncias simples com características e propriedades diferentes Formas Alotrópicas do Carbono São conhecidas 5 formas alotrópicas do carbono: a) Diamante b) Grafite c) Lonsdaleíta (diamante hexagonal) d,e,f) Fulerenos g)Amorfa h)Nanotubos de carbono A forma amorfaé a forma presente na maioria dos carvões e na fuligem

30. Ligações Cristalinas a) Van der Waals b) Iónicas c) Metálicas d) Covalentes Van der Waals Iónicas Metálicas Covalentes

31. Célula de Wigner – Seitz Uma outra maneira de obter uma célula primitiva 1) Unimos com segmentos de recta um dado ponto de rede a todos os seus vizinhos mais próximos 2) Traçamos planos bissectores destes seguimentos 3) A região do espaço limitada pelos planos bissectores é a célula de Wigner – Seitz

32. Rede Recíproca O espectro de difracção é a projecção da rede recíproca sobre a película fotográfica (espaço k) tal como a imagem directa do microscópio electrónico (se pudéssemos ver) seria uma projecção da rede real Vectores da rede recíproca descreve toda rede recíproca (espaço k) A primeira Zona de Brillouin é a rede de Wigner – Seitz no espaço recíproco As regiões do espaço k separadas pelas de Zonas de Brillouin definem os “gaps” de energia

33. ZONAS DE BRILLOUIN

34. Rede cúbica de face centrada (CFC) Primeira Zona de Brillouin Octaedros truncados

35. 9.2 Propriedades Térmicas Os átomos que compõem a rede cristalina não estão estacionários mas a oscilar continuamente em torno da sua posição de equilíbrio devido à agitação térmica A energia das vibrações da rede cristalina é quantizada O fonão não tem momento linear, porque está relacionado à um deslocamento mas quando ele interage com fotões (ou com neutrões, ou electrões), ele se comporta como se tivesse um momento linear O quantum de energia é chamado de fonão, em analogia ao fotão das ondas electromagnéticas fotão  onda electromagnética fonão  onda elástica

36. Capacidade calorífica de um gás de fonões A capacidade calorífica a volume constante , é a mais fundamental, porque é medida experimentalmente • Modelo clássico: Lei de Dulong-Petit Os átomos são 3N osciladores harmónicos com energia cada um Energia total do sólido (k é a constante de Boltzmann) Independentemente da substância Esta teoria não consegue explicar porque é que a capacidade calorífica tende para zero a baixas temperaturas

37. Modelo de Einstein Os átomos são 3N osciladores harmónicos com sua energia calculada segundo as leis da mecânica quântica A energia nde cada oscilador harmónico é discreta A física quântica moderna acrescenta-lhe a energia do ponto zero (não altera o essencial) A energia média de cada um desses osciladores à temperatura T é A energia total do sólido é

38. é constante e representa a frequência dos osciladores harmónicos é constante e chama-se temperatura de Einstein. Experimentalmente é o valor de temperatura na qual a curva teórica se ajusta melhor aos dados experimentais Modelo de Einstein (linha tracejada) e resultados experimentais para o diamante O modelo de Einstein não deve ser aplicado à baixas temperaturas

39. Modelo de Debye Os átomos não são independentes e podem assumir várias frequências A energia total é mais complicada é a temperatura de Debye e a frequência de Debye Limite das altas temperaturas «1,tende ao limite clássico 3Nk Limite das baixas temperaturas »1, e a capacidade térmica é dada pela expressão

40. Diferença entre o modelo de Einstein e de Debye O modelo de Einstein é adequado para temperaturas altas O modelo de Debye é adequado para temperaturas baixas Esses dois modelos são aproximações CV pode ser calculado utilizando a expressão correcta da densidade de estados

41. 9.3 Propriedades Eléctricas Do ponto de vista eléctrico os sólidos podem ser classificados de acordo com as seguintes propriedades básicas: • Concentração (ou densidade) de portadores de cargan • número de portadores de carga por unidade de volume (unidades: m-3) • Resistividade [m] onde E é o campo eléctricoe a densidade da corrente eléctrica • Coeficiente de temperatura da resistividade (unidades: K-1)

42. n, , de algumas substâncias

43. 9.4 Bandas de energia Num cristal os átomos estão muito próximos e portanto haverá uma sobreposição dos níveis de energia de todos os átomos A figura mostra que à medida que os átomos se aproximam os níveis de energia vão se sobrepondo • Átomo isolado (b)Sistema de alguns átomos c) Um mol de átomos

44. Considerando que um cristal contém ~ átomos/mol os níveis de energia estarão tão próximos que formam-se bandas de energia contínua Os níveis de energia mais baixos, das camadas mais internas dos átomos, são pouco influenciados pelos átomos vizinhos A contribuição para as bandas é devido aos electrões de valência uma vez que são mais livres e fazem parte de todo o sistema

45. Níveis de energia para um sólido cristalino – bandas de energia Estados de energia preenchidos Estados de energia vazios Isolador (isolante) Metal Semicondutor • No metal a banda parcialmente cheia é a banda de valência • No isolador e no semicondutor a banda de valência está cheia e a banda de condução vazia. Eles diferem pelo valor de Eg (gap banda proibida)