第三章导数

第三章导数 二导数的应用

3.8 函数的最大值与最小值 (2)

复习函数的最大值与最小值 • 设函数f(x)在[a , b]上连续，在（a , b）内可导求f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求 f(x) 在（a , b）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

y y yf(x) yf(x) O a b x O a b x 函数的最值一般分为两种特殊情况：（1）如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。

y y yf(x) yf(x) f(x0) f(x0) O O a x0 b a x0 b x x 函数的最值一般分为两种特殊情况： (2) 如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[a, b]上的最大(小)值。

1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。 2、求最大（最小）值应用题的一般方法 (1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点。

x 箱高 x 60 60 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为x cm，箱子容积为V=x2 h V ´=60x－3x²/2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000 当x过小（接近于0）或过大(接近于60)时，V→0,即箱子容积很小。当x=40时,容积最大为16000

在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0使f´(x0)=0,而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

h R 例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？解:设桶底面半径为R, 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值

例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大。分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润. 求得唯一的极值点答:产量为84时,利润L最大. 因为L只有一个极值点,所以它是最大值.

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