天体力学

1. 天体力学 天文学还是数学？

2. 牛顿力学的改造者们 • 在天体测量学进步的同时，一些数学家和天文学家在致力于完善牛顿力学应用于天体运动时的数学形式。 • 这项工作主要由法国的克莱洛（Clairaut 1713-1765）、达朗贝尔（D’Alembert 1717-1783）、拉格朗日（Lagrange 1736-1813）、拉普拉斯（Laplace 1749-1827）、泊松（Poisson 1781-1840）、柯西（Cauchy 1789-1857）和德国的欧拉（Euler 1707-1783）、高斯（Gauss 1777-1855）等人完成。

3. 代数方法进入天体力学 • 欧拉首创了根数变易法，开创了摄动理论的分析方法，把代数方法全面引入到天体力学的计算，完善了月球理论。 • 克莱洛用牛顿力学研究了地球的形状，用单摆的周期变化测量了重力的变化。他还研究了月亮的运动和金星的质量，修正了哈雷所预言的彗星回归日期。

4. 拉格朗日：把力学数学化 • 拉格朗日出生于意大利，在柏林工作了很久，1787年被路易十六召到巴黎。 • 1788年拉格朗日出版了他的巨著《分析力学》，全书采用纯代数的方法，没有一幅几何插图。

5. 三体问题 • 拉格朗日在书里发展了牛顿的摄动理论，研究了两个大质量的天体外加一个小质量的天体即三体问题的轨道稳定性问题。 • 拉格朗日提出在两个大质量天体的引力共振下，存在五个特殊的稳定点，其中三个点L1、L2、L3在两个主天体的联线上，另两个点L4和L5位于以两个主天体的联线为底边在两侧所作的两个等边三角形的顶点处。 • 这五个点被称作“拉格朗日点”。

6. “特洛伊群” • 后来观测发现在木星前后60°处分别聚集了许多小行星，这些小行星都以特洛伊战争中的英雄人物来命名，因此这两群小行星被叫做“特洛伊群”。 • 超前木星的叫做阿基里斯群，落后木星的叫做帕特罗克卢斯群，它们各自与太阳和木星构成等边三角形的3个顶点，分别对应拉格朗日点的L4和L5两点。 • 到2005年为止，木星-太阳的特洛伊群小行星一共发现了1679颗，其中L4点处1051颗，L5点处628颗。

7. 太阳系的长期稳定性 • 拉格朗日还研究了太阳系的长期稳定性问题。 • 当时的两项观测结果让人们为太阳系的稳定性担忧：一是木星的加速和土星的减速现象，这一现象从第谷时代已为人所熟知；另一个是哈雷提出的月亮从古代起就一直存在着的明显加速现象。 • 这意味着，如果它们继续这样发展下去，木星就会沿螺线进入太阳，土星会逐渐离开太阳，而月亮则会落入地球，太阳系将会发生巨变乃至瓦解。

8. 根数的周期性振荡 • 1774年，拉格朗日证明，在一级近似下，行星的轨道倾角和交点连线空间指向呈现周期性的振荡，周期长达几千年。 • 一读到拉格朗日的证明，拉普拉斯立即用同样的方式分析了行星轨道其它方面的一些问题。

9. Pierre-Simon de Laplace • 拉普拉斯的早年生活人们所知甚少。他十八岁时被送到巴黎，带着将他介绍给达朗贝尔的信，但这位大数学家却拒绝见他。拉普拉斯就寄了一篇力学论文给达朗贝尔。这篇论文如此出色，以致达朗贝尔突然高兴做拉普拉斯的教父。

10. 木星、土星问题的解决 • 1785年，拉普拉斯发现了导致木星做长期加速运动和土星的减速运动的原因：该变化并非像欧拉曾经以为的那样是单向的，而是周期性的，其周期约为900年。它依赖于两个相互作用的天体（木星和土星）与太阳之间的位置关系。 • 为了找到这个效应，需要高度的分析技巧和大量乏味的推算。

11. 月亮长期加速的原因 • 1787年拉普拉斯找到了月亮长期加速运动的原因。这是一个二级效应，起因于地球椭圆轨道偏心率的缓慢变小，这使得太阳对月亮的作用有所减小。在地球轨道的长周期变化中，当偏心率停止减小并开始转向增加时，这一加速效应就会发生逆转。 • 到了1850年代，人们发现拉普拉斯的解释只说明了其中的一半加速量，另一半则应归因于由月亮引起的潮汐摩擦所造成的地球自转减慢的影响。

12. 一个稳定的自我调节的系统 • 拉普拉斯描绘了这样一幅太阳系图景：其内部的行星运动和几何参数在它们的平均值附近发生小幅度的长周期变化。 • 拉普拉斯相信他已经证明了太阳系是一个稳定的、可自我调节的系统，在这方面它与生物界显然存在的自我调节是类似的。 • 1796年拉普拉斯出版了他的《宇宙体系论》，把上述结论通俗地介绍给读者。

13. 太阳系起源的星云假说 • 在《宇宙体系论》的一则附录中，拉普拉斯提出了太阳系起源于一团星云的假说。 • 他猜测太阳系开始是一团巨大的旋转着的星云，随着星云中无数粒子的相互吸引，行星及其卫星从中凝聚了出来。该假说可以说明所有行星和当时已知的卫星轨道的共向性和共面性。 • 这是一项他本人也不怎么重视的猜测，却为他赢得不少名声。

14. 《天体力学》 • 如果说《宇宙体系论》是一本为普通公众所写的不需要数学知识的天文普及读物，那么拉普拉斯的《天体力学》则是让普通读者望而生畏的数理天文学巨著。

15. 《天体力学》第一、二卷 • 《天体力学》从1799年到1825年间陆续出版，共五大卷16册。 • 第一卷2册、第二卷3册于1799年出版，内容包括：首次提出“天体力学”（Celestial Mechanics）的名称；理论力学、天体力学的基本问题；均匀流体自转的平衡形状；潮汐、岁差、章动、月球天平动和土星环

16. 《天体力学》第三、四卷 • 第三卷2册于1802年出版，致力于行星和月球的摄动理论。 • 第四卷3册于1805年出版，内容包括： • 木星伽利略卫星的运动； • 周期彗星的运动； • 三体问题特解； • 介质阻尼

17. 《天体力学》第五卷 • 第五卷6册于1825年出版，补充以上四卷： • 地球自转和形状 • 球体的吸引和排斥 • 弹性流体的平衡和运动规律 • 行星表面流体的涨落 • 天体绕自己重心的运动 • 行星、彗星和卫星的运动

18. 太阳系稳定性的数学证明 • 拉普拉斯在《天体力学》中两次对太阳系稳定性作了详细的数学论证： • “我们根据引力的理论进一步推算出行星（特别是木、土两星）运动的基本方程式，这些运动的差数有900多年的周期。木星和土星运动的差数，天文学家起初以为是很奇特的，因为不明白这些差数的规律和原因，许久以来好像它们和引力理论发生矛盾。但是由仔细的研究表明这些差数是可以从理论推导出来的，它们就成了理论真实性的最惊人的证明。”

19. 有关《天体力学》的趣闻 • 据说在《天体力学》中拉普拉斯的一句口头禅是：从方程A“显而易见”可以得到方程B，而为了弄清这“显而易见”别人要花上几小时甚至几天的工夫。 • 拿破仑翻遍了《天体力学》全书，把拉普拉斯叫去问他为什么这本讲述造物主所创造的世界的书中从来不提造物主的名字。拉普拉斯回答说：“陛下，我不需要这个假设！” • 拉格朗日听到这话后说：“啊！可是它同样也是个美妙的假设呢，它解释了多少事情啊！”

20. “丢失”的行星

21. 火星-木星空隙 • 在对上帝这位几何学家究竟是按什么规则对太阳系做出如此之安排进行探究的早期，开普勒曾经一度为他所看到的火星和木星之间不成比例的巨大间隙而困惑。 • 他想到在这个巨大的空间带上可能存在未被发现的行星。

22. 各种猜测 • 牛顿认为该间隙的存在表明，由于木星和土星这两颗巨大行星的引力使太阳系面临崩溃的危险，上帝通过把它们驱逐到太阳系的外围而设法消除了这一危险。 • 兰伯特（Lambert 1728－1777）认为木星和土星有可能“夺走”了曾一度占据在该空间带上的行星 • 英国一位天文爱好者赖特（Thomas Wright 1711－1786年）则在一部未曾公开出版的预言书中怀疑在该间隙上曾有过一颗行星，而该行星后来受到彗星的撞击毁掉了。

23. 上帝：从几何学家到代数学家？ • 认为在该间隙上存在或曾存在过一颗“丢失了的行星”的人们，受到18世纪发现的一个数学关系的鼓舞。 • 牛津教授戴维·格里高利（1659－1708）在其1702年的《天文学原理》一书中特别提到，行星轨道半径大致与数字4、7、10、15、52、95成比例。 • 德国的一位大众哲学家克里斯蒂安·沃尔夫在一部书中重新公布了这些数字，这部书正巧被维登堡大学的物理学教授提丢斯（Johann Daniel Titius 1729－1796）注意到了。

24. 提丢斯定则 • 1766年，提丢斯将著名的法国自然主义者查尔斯·博内的《自然的沉思》翻译成德语出版。在博内的书中，提丢斯插了一段话，只是把格里高利的15换成16，95换成100，从而使得那些数字分别等于4、4＋3、4＋6、4＋12、4＋48和4＋96。 • 没有行星与4+24对应。博内猜测这空隙属于还没有被发现的火星卫星的。

25. 波得 • 1772年提丢斯译作的第二版被一位年轻的德国天文学家波得（Johann Elert Bode，1747－1826）注意到了，波得不认同该书关于火星卫星的假说，而对书中列出的数字关系深感兴趣，并与书中的说法取得了共鸣：“人们能够相信是造物主留下了这一空白的说法吗？当然不会。” • 波得开始相信在火星－木星间隙带上存在着一颗未曾发现的行星，该行星距太阳的距离约为4＋24单位。

26. 天王星的偶然发现 • 1781年3月威廉·赫歇耳发现天王星。天王星的距离正好落在4+192＝196个单位上。 • 新行星的发现大大激起了寻找“火星－木星间隙”间的行星的热潮。 • 后来波得取日地距离为1000单位，这样水系到太阳的距离为397单位，水星与金星之间的间距为293单位。并以此改写了提丢斯定则。

27. 提丢斯－波得定则

28. “天空警察” • 天王星轨道完全符合前述数列。德国天文学家察奇（von Zach 1754－1832）对此数列完全信服了。1787年他对火星－木星间隙带做了搜索，试图在那里找到一颗行星，结果一无所获。 • 1799年察奇与德国同行们商量希望能组织起来对该问题进行联合探索。1800年9月21日察奇和其他几位天文学家决定组成一支包括24名“天空警察”在内的观测队，每人负责黄道带上的一个区域，搜寻新天体。

29. 皮亚齐 Giuseppe Piazzi • 西西里岛巴勒莫的皮亚齐（Giuseppe Piazzi，1746－1826）的天文台位于欧洲最南端。 • 皮亚齐不知道他已经被选定成为一位“天空警察”。

30. 精密的仪器 • 皮亚齐委托伦敦的著名仪器制造商拉姆斯登设计制造了一架巧妙精致的仪器，在十八、十九世纪之交皮亚齐利用该仪器编制了一个星表，精度之高远胜于诸多前任的工作。

31. 移动的“恒星” • 1801年的元旦，皮亚齐像往常一样继续为他的星表而工作。他测量了拉卡伊黄道恒星表中编号为87的那颗恒星的位置，并利用这一机会测量了其前的那颗八等星。 • 第二天晚上他再次对那颗八等星做了测量。让他吃惊的是，他发现这颗星好像移动了。在随后的几天里，他对该星的继续观测证明，它确实移动了。 • 因此，它是太阳系的一员，不是恒星。

32. 谷神星（Ceres） • 皮亚齐很快就确定这是一颗新的行星。并把这颗星叫做谷神星（Ceres），以此表示对西西里的保护女神谷神的敬意。 • 德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss 1777－1855）使用他新发明的“最小二乘法”计算出了这颗新行星的轨道，确定它到太阳的平均距离2.77天文单位，与提丢斯的2.8和波得的2.731非常接近。

33. 空隙被填满了？ • 一开始人们认为谷神星就像天王星一样毫无疑问是颗大行星。但赫歇尔却惊讶地发现，即使用他的高倍数望远镜，也很难看到它的行星光斑。他觉得这颗星甚至比我们的月球还要小。（谷神星直径：1003km，月亮：3476km） • 更糟糕的是，到了3月奥伯斯（Olbers）发现了另一个移动着的天体，他把它叫做智神星（Pallas）。 • 赫歇尔对智神星的直径也做了测量，认为它小于111英里（608km）。

34. 小行星 asteroid • 显然，谷神星和智神星没有资格叫做行星。 • 为了用合适的术语对新发现的这类天体加以描述，赫歇尔提议把它们叫做小行星（asteriod）。 • 为了挽救那个数列，奥伯斯猜测说这两颗小行星是曾经占据在该间隙的那颗大行星的碎片。 • 那么应该还有别的碎片。 • 果然，1804年发现了婚神星（Juno，247km），1807年发现了灶神星（Vesta 538km）。

35. 成百小行星 • 灶神星发现之后很长一段时间里人们没有再找到新的小行星，天文学家们很快就厌倦了这种搜寻。 • 后来德国一位前任邮政局长亨克（ K. L. Hencke）唤起了人们对搜寻小行星的兴趣。亨克于1830年开始搜寻，默默工作了15年，于1845年发现了第五颗小行星义神星（Astraea 117km） • 到1891年，总共找到了300多颗小行星。能够发现这么多小行星，主要得益于照相术的应用。

36. 小行星的成因：谜！ • 如果小行星真的是一颗行星爆炸所行成的碎片的话，那么（至少在一开始）它们的轨道应该交汇于爆炸处及在太阳的对侧处。 • 但是随着越来越多的小行星被发现，人们认识到实际情况远非如此。 • 事实上现在人们知道，只有很少一部分小行星直径超过250km，所有小行星的质量加起来也远不及月球，更不要说与行星相比了。

37. 一些中国人感兴趣的小行星 • 1125号：中华星 • 2197号：上海星 • 2790号：李约瑟星 • 3241号：叶叔华星 • 陈省身星、钱学森星、金庸星、神舟星、杨利伟星、席泽宗星…… • 八万多颗小行星有一万多颗已经获得命名 • 至2001年底，20957颗小行星获得永久编号

38. http://cfa-www.harvard.edu/iau/lists/InnerPlot.html忙碌的内太阳系http://cfa-www.harvard.edu/iau/lists/InnerPlot.html忙碌的内太阳系 • The light blue lines indicate the orbits of planets. The green dots indicate asteroids. The red dots indicate asteroids that come within 1.3 AU of the Sun and so pose an increased collision risk with the Earth. Comets appear as dark blue squares, while dark blue points are Jupiter Trojans.

40. 海王星的发现

41. 算出来的一颗行星 • 赫歇耳和皮亚齐的目光其实不在太阳系内的天体上，他们关心的是遥远的恒星。天王星和谷神星只是他们在研究恒星的过程中很偶然地发现的。 • 但到了19世纪中叶，海王星的发现却完全不同。这一次天文学家们是蓄意在满天繁星中把它找出来的。天文数学家们仅仅依靠他们手中的笔和纸以及牛顿力学的知识，就知道了它在哪里。

42. 似曾相识天王星 • 在天王星于1781年被发现后不久，波得就发现迈耶尔（Tobias Mayer）在1756年曾记载过该星的位置，而弗拉姆斯提德更是早在1690年就记述了它，不过他们都把它当成了一颗恒星。 • 这些资料使得天文学家们能够确定其椭圆轨道的根数，计算出它未来的位置表来。

43. 6个椭圆轨道根素 • 轨道倾角i • 升交点黄经Ω • 近日点角距ω • 轨道半长径a • 偏心率e • 过近日点时刻τ

44. “不听话”的天王星 • 可是，天王星不久就开始偏离其预期轨道。 • 到1790年，达朗贝尔公布了他重新编算的天王星历表，该表看上去与观测结果吻合得相当好，这使问题暂时得到了解决。 • 但是到了1820、1830年代，天王星的实测位置与历表位置之间再次出现偏差。

45. 各种解释 • 面对新的麻烦，各种各样的解释如雨后春笋般涌现了出来，其中一些立即遭到反对： • 例如该行星受到宇宙流体的阻滞， • 它有一颗质量很大但又不可见的卫星， • 它在被发现时正在受到一颗彗星的影响，等等。

46. 需认真对待的两种解释 • 在这些解释中，有两种值得考虑： • 也许引力定律在大距离情况下会偏离平方反比形式？ • 或者天王星受到了其外围尚未被发现的一颗行星的吸引？ • 在18世纪中叶，人们一次又一次试图修改引力定律，但无论如何努力，该定律总是坚如磐石。 • 这样，人们产生了一种共识：天王星的反常行为是受到一颗未被发现的行星的作用的结果。

47. 亚当斯 John Couch Adams • 从已知的行星去计算它施加的摄动已经是天体力学的经典问题，但是反过来要从摄动效果去求解摄动行星的位置和大小，却还是难题。 • 一位年轻的剑桥大学毕业生亚当斯（1819－1892）选择了这个难题。1843年10月他求得了未知行星的大致位置。由于教学工作繁忙，直到1845年9月他才得出更精确的结果。 • 他推算的该行星在1845年10月1日的日心黄经为323°34′。

48. 艾里的忽视 • 剑桥大学的天文学教授詹姆斯·查理斯（James Challis 1803－1882）给亚当斯写了一封推荐信，亚当斯手持推荐信去找当时的皇家天文学家艾里（Sir George Biddell Airy 1801-1892），希望向他呈上自己的分析。 • 但是亚当斯未能同艾里交谈，只是给艾里留下了自己论文的摘要。

49. 勒威耶（Urbain J. J. Le Verrier 1811-1877） • 法国的勒威耶于1845年11月向巴黎科学院提交了一篇关于未知行星摄动天王星的论文。论文的复制本很快送到了艾里手中。 • 1846年6月勒威耶又提交了第二篇论文。他在论文中提出那颗未被发现的行星就在波得定则所预言的距离上，并给出了它的位置在日心黄经325°左右。

50. 英国人没有找到 • 艾里看到勒威耶对未知行星位置的预言与亚当斯十分接近，这下他动心了。但他认为搜寻未知行星不是皇家天文台的任务，于是他劝查理斯在剑桥做这件事情。 • 查理斯开始寻找，但他没有该天区精确的星图，只能反复检查该天区近期的天象，看在这段时间内是否有“星”移动。 • 查理斯把这当成一种零活，毫无紧迫感。