图 论

1. 图 论 (Ⅵ) 刘晓华

2. V1 V1 V1 V4 V4 V4 V3 V2 V2 V2 V3 V3 第四章 平面图与图的着色 4.1 平面图 1.某些实际问题中涉及到图的平面性的研究，譬如印刷电路板的设计、大规模集成电路的布局布线等问题。 定义：若能把图G 改画在一个平面上(同构)，使新图G’的任何两条边都不相交，就称G可嵌入平面、是可平面图，称G’是G的一个平面嵌入，G’是一个平面图。

3. f3 f3 f1 f1 f2 f4 f2 f4 V1 V1 V4 V4 V3 V2 V2 V3 例 • 平面图的域(面) 内部域、无限域 一个域的边界 • 在平面图G中，边e为两个域的公共边界当且仅当e不是G的割边 • 测地变换(见p.69图):实现平面图G与球面图G’的转换，其中G的无限域对应G’的北极N所在的内部域 • 平面图G1 总可以改画为新一平面图G2，使G1的无限域对应于G2 的一个内部域

4. V5 V1 V1 V4 V4 V3 V2 V2 V3 2. 欧拉公式 定理：设G是平面连通图，则G的域的个数为 d=m-n+2 . (域数=边数－结点数+2) 证：因Ｇ为连通图，故有支撑树Ｔ。 　　对于T，仅有一个域(n-1条边)。每新加入Ｇ－T的一条边，域即恰好增加一个。这样的边共m-(n-1)条，故最终得到Ｇ时域数为m-n+2. 例 d = 6－4＋2 = 4 d = 8－5＋2 = 5

5. 推论1　若平面图Ｇ有k个连通分支，则 d=m-n+k+1. 证：将k个连通分支由左到右顺序排列，相邻两分支间加入一条新边相联(共加入k-1边)，则所得新图与原图域数相同。 　应用欧拉公式有 d=(m+k-1)-n+2=m-n+k+1. 　推论2　对平面图Ｇ，有 n-m+d≥2. 证：由推论１立得。

6. 推论3 设平面连通图G 没有割边，且每个域的边界数至少为t, 则m≤t(n-2)/(t-2) 。 证明：设G有d个域，每个域的边界数至少为t，则d个域的边界数和的≥td。 由于Ｇ没有割边，故每条边都是某两个域的边界，因此上面计算所有域边界数之和时，每条边均被计数过两次。 　 故 2m≥td, 代入 d=m-n+2, 可得 m≤t(n-2)/(t-2) .

7. 4.2 极大平面图 1. 定义：设G是结点数n≥3的简单平面图，若在任意两个不相邻结点vi,vj之间，加入边(vi,vj)就会破坏图的平面性，则称G为一个极大平面图。 • 极大平面图的边数和域数在图的现有结点数的限制下已达到了极限，再多一条边即会破坏其平面性。

8. 2. 极大平面图的性质 1）G是连通的 2）G不存在割边 3）G的每个域的边界数都是3。 证:由于简单图不存在自环与重边(边界数为1,2的域)，故域的边界数≥3。若边界数>3，则在此域中至少可加一条边，而不会破坏其平面性,矛盾。

9. 4)3d=2m(d为域数, m为边数) 证：d个域的边界数之和为3d(每域有3条边)。 由于极大平面图没有割边，故每条边均是两个域的边。求边界数总和时每条边均恰好计数了两次，故边界数之和为边数的两倍，即2m，从而 3d=2m 。 定理极大平面图G的边数和域数完全由结点数决定。具体有 m=3n-6，d=2n-4。 证：对G有3d=2m, 代入欧拉公式d=m-n+2 ，即证。

10. 3. 简单平面图的一个必要条件 定理 若简单图G为一个平面图，则必有： m≤3n-6，d≤2n-4. 证：d个域的边界数之和≥3d(每域至少有3条边)。 求边界数总和时，每条非割边恰好计数了两次，每条割边只计数了一次，故边界数之和不超过边数的两倍，即≤2m，从而 3d≤2m 。代入欧拉公式d=m-n+2 ，即证。 • 证明一个简单图为非平面的，可通过证明它不满足平面图的必要条件来实现。这可以用Euler公式或以上定理验证。但域数有时难以确定，故常用验证m≤3n-6不成立来证明 。

11. 例1某个简单平面图边数为12, 结点数为6, 则每个域的边界数为3。 证：域数d=12-6+2=8。 因为简单平面图每个域的边界数至少为3，若至少有一个域的边界数超过3，则 各域的边界数之和>3*8=24。 由于求边界数总和时，每条边最多计数两次，故边界数之和不超过边数的两倍，即≤2*12，从而 24<24，矛盾。 故每个域的边界数不会超过3，即恰好等于3。

12. 例2若简单平面图G中不含有K3子图，则边数m≤2n-4。例2若简单平面图G中不含有K3子图，则边数m≤2n-4。 证明:G不含K3子图(三角形子图)，故不含边界数为3的域，因此每个域的边界数至少为4，从而各域的边界数之和≥4d。 另一方面，由于每条边最多计数两次，故边界数之和不超过边数的两倍，即≤2m，所以 4d≤2m. 将d=m-n+2代入不等式，即可证得 m≤2n-4 .

13. 例3简单平面图G中存在度数小于6的结点。 证明：若每个点的度数不小于6，则所有结点的度数之和≥6n. 由于所有结点的度数之和为边数的2倍，所以 2m≥6n， 故m≥3n。 这与简单平面图满足的性质m≤3n-6相矛盾，故G中必有度数小于6的结点。

14. 例4若简单平面图G中的结点数n≤11,则其中一定存在度数<5的结点。例4若简单平面图G中的结点数n≤11,则其中一定存在度数<5的结点。 证：假设每个结点的度数≥5，则所有结点的度数之和≥5n。 由于所有结点的度数之和为边数的2倍，所以 2m≥5n， 故m≥5n/2。 另一方面，对于简单平面图有m≤3n-6，故5n/2≤3n-6 ，由此可得n≥12，这与题设矛盾。

15. 4.3 非平面图 1. 定义：如果一个图无论如何调整边的画法，均无法避免相交则称为非平面图。 例1完全图K1,K2,K3,K4是可平面图。 例2设e是完全图K5的任意一边, 则K5-e是可平面图。 问题： K5还是可平面图吗？ 定理1 K5是非平面图。 证：若K5是平面图，则应满足m≤3n-6. 但K5中m=10, n=5, 不满足此不等式，故它不可能是平面图。

16. 定理2 完全二分图K3,3是非平面图。 证：若K3,3是平面图(m=9, n=6)，则域数d= m-n+2=5. 由于K3,3中不含K3子图(三角形子图)，因此每个域的边界数至少为4，从而各域的边界数之和≥4*5=20 ，于是有2m≤20, 从而m≤10 ，与题设矛盾。 所以， K3,3不可能是平面图。

17. 2. 图可平面嵌入的充要条件 记K(1)= K5, K(2)=K3,3。 K型图——K(1)或K(2)的若干边上增加若干结点(度为2)所得的图。 • 增减度数为2的结点不影响图的平面性。 Kuratowski定理：G是平面图的充要条件是G中不存在K型子图。 证：必要性. 因为平面图的任意子图必是平面图，故G中不会含K型子图，否则K型子图就是平面图了，矛盾。 充分性略。 • Kuratowski定理理论价值高，但实际应用困难

18. 4.4 图的平面性检测 1. 一般简易判断过程： 1)若G是非连通的，则分别检测每一个连通支。仅当所有连通支都是可平面的，G就是平面的； 2)若G存在割点，则从割点处分离，考虑每块的平面性； (割点v : 若G-v比G的连通分支多; 块：无割点的连通分支) 3)移去自环、重边和度为2的结点。

19. 重复3)，最后作出判断： a) 当n<5或m<9时是可平面图； (是Kn(n<5)或K5-e 的子图) b) 若m>3n-6,则是非平面图。 c) 不是a)或b)，则要用DMP算法进一步判断。

20. 可平面（n<5） 例

21. （1） 可平面(因为n<5)

22. （2） 可平面(m<9)

23. v2 v2 v2 v1 v3 v1 v3 v5 v1 v3 v5 v4 v4 v4 2. 一般情形的平面性检测算法——DMP算法 DMP算法可用来解决疑难情形时的平面性判断。 定义 设H是G的可平面子图. H的一个片是指： (1) 两端点在H内, 但边不属于H的一条边的子图； (2) G－H内的一个连通分支S, S加上与S相邻的所有Ｈ的结点及边所得的子图S’。 例　下图中Ｈ为回路(v1,v2,v3,v4)，则Ｈ的片共有三个。 H的片

24. Ｈ的每个片与Ｈ的公共结点称为此片的附着点。若片B的全部附着点均在Ｈ的同一个域F的边界上，则说片B可嵌入(填入)域F中。Ｈ的每个片与Ｈ的公共结点称为此片的附着点。若片B的全部附着点均在Ｈ的同一个域F的边界上，则说片B可嵌入(填入)域F中。 • DMP算法 • 1) 任意选定Ｇ的一个回路Ｈ； • 2)求出Ｈ的所有片以及每个片可嵌入的域； • 3)选定可嵌入域数最少的一个片，从片中任取一条从附着点开始到附着点结束的道路加入Ｈ中，新图仍记为Ｈ，转2)； • 反复执行2)、3)，如果中途发现有片没有可嵌入的域，则Ｇ为非平面图；否则可将全部边填完，最后的图为Ｇ的平面嵌入图。

25. 　例　用DMP算法判断图4.11(a)和图4.12是否为可平面图。　例　用DMP算法判断图4.11(a)和图4.12是否为可平面图。 　计算过程见p.77，其中表中各项的含义为： Gi: 相当于Ｈ； f: H已有的域数； 　 片B: 相对于当前Ｈ的所有片； F(B,Gi): 各片可填入的Ｈ的所有域； B: 本轮选定的填入片； F: 拟填入的域； Pi: 具体填入的路径。