第 3 章 复变函数的积分

1. 第3章 复变函数的积分 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。

2. 本章基本内容: 3.1: 复变函数的积分 3.2: 柯西-(古萨)积分定理 3.3: 复合闭路定理 3.4: 科西积分公式 3.5: 解析函数的高阶导数 3.6: 几个重要的定理 3.7: 解析函数与调和函数 本章补充新题型 本章小节 本章测试题

3. 重点内容: (1) 柯西积分定理(单、复连通区域); (2) 柯西积分公式(单、复连通,无界区域); (3) 高阶导数公式及其应用; (4) 调和函数的应用；

4. 3.1 复变函数的积分 3.1.1 复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：

5. 定义3.1.1 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线 是开口弧段，若规定它的端点 为起点， 为终点，则沿曲线 从 到 的方向为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲线记为 或 . 而由 到 的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为 .

6. (2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向． (3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．

7. 定义3.1.2 复变函数的积分 设函数 在给定的光滑或逐段光滑曲线 上有定义，且 是以 为起点， 为终点的一条有向曲线，如图3.1所示．把 曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段 上任意取一点 ，并作和 其中 ，记 的最大长度为

8. 则当n无限增大，且 时，如果无论对L的分法及 的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作 ，即 我们称之为复变函数的积分，简称复积分．

10. 定义3.1.3 闭合环路积分 当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为， 并称为复变函数 的闭合环路积分（简称环路积分）. 为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向, 若沿逆时针方向积分，可用环路积分 表示. 若沿顺时针方向积分，可用 表示.

11. 由此可知，当 ，且小弧段长度的最大值 时，不论对L的分法如何，点 的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于 连续，则 都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 (3.1.3)

12. 即我们可以把复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把 理解为 ，则 上式说明了两个问题： (1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.

13. 3.1.3 复积分的基本性质

14. (1)若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则 （3.1.6） (2) 常数因子 可以提到积分号外，即 （3.1.7） (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即

15. (4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 （3.1.9） 为 的负向曲线． (5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即 (3.1.10) 这里 表示弧长的微分，即

16. 【证明】 因为 ， 其中 分别表示曲线 上弧段 对应的弦长和弧长，两边取极限就得到

17. （6）积分估值定理 若沿曲线 ， 连续，且 在 上满足 ，则 (3.1.11) 其中 为曲线 的长度．

18. 【证明】 由于 在 上恒有 ， 所以 又 ，则 成立。

19. 3.1.4 复积分的计算典型实例 公式（3.1.2）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分．当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分． 例3.1.1计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段．

20. 【解】 直线的方程可写成 或 于是 又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以 的值不论 是怎样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积分路径无关．

25. 3.1.5 复变函数环路积分的物理意义

26. 而且有对应关系 则

27. 故复变函数的环路积分为 由场论知识可知：闭合环路积分 的物理意义为, 实部 表示向量场 沿 曲线的环量．虚部 表示向量场沿曲线 的通量．

28. 3.2 柯西积分定理

29. 早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）．早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）． 定理3.2.1 柯西积分定理 如果函数 在单连通区域 内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域 解析），那么函数 沿边界L或区域 内任意闭曲线 的积分为零，即 （3.2.1） 或 （3.2.2）

30. 证明：如图 3.2所示，由于对函数 在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的．再根据格林定理有

31. 由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件 代入即得

32. 如果我们在该闭区域 内任选某一单连通闭区域 ，其边界为 ．由上述推导中 将 , 则同理可证明 故结论成立. 这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西－古莎定理.

33. 说明：[1]根据第二章，函数在单连通区域D内及闭曲线L上解析，即为在闭区域 解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的； [2]边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；

34. [3]格林（Green）定理（或格林公式：在单连通区域内，若 有连续的偏导数，则 其中L是区域 的边界； [4]进一步指出，经修改后的柯西－古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域 内解析，在边界上连续．以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．

37. 3.2.2 不定积分：复积分的牛顿－莱布尼兹公式 定理3.2.3由定理 3.2.2 知道，解析函数 在单连通域 内的积分只与起点 和终点 有关，假设 是区域 内连接 和 的两条简单曲线，则 和 分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限 在 内变动时，积分 可以看作是上限的函数，记为 （3.2.4） 对 ，有以下的定理．

38. 定理 3.2.4 如果 在单连通域 内处处解析，则 在D内也解析，并且

39. 【证明】 令 则 因为 和 是与路径无关的，因此

42. 定理3.2.5任何两个原函数相差一个常数． 【证明】 若 均为 的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出： 定理3.2.6 若函数 在单连通域内处处解析， 为 的一个原函数，那么 其中 , 为 中任意两点．上式称为复积分的牛顿－莱布尼兹公式：

44. 3.2.3 典型应用实例

45. 在整个复平面上解析，且 【解法1】 例3.2.2 （非闭合环路积分中的换元积分法） 计算积分 运用复积分的牛顿－莱布尼兹公式有 【解法2】换元积分法 令 ，有 ；当 ，有 ，则当 所以

46. 例3.2.3 求积分 并判断闭合环路积分 中换元积分法是否成立． 【解法1】 作积分变换得：

47. ?

48. 例3.2.4 计算积分 【解】 由于 在复平面内处处解析， 因而积分与路径无关，可用分部积分法得

50. 3.2.4 柯西积分定理的物理意义