第 1 节平面汇交力系合成与平衡的几何法第 2 节平面汇交力系合成与平衡的解析法第 3 节平面力对点之矩的概念及计算第 4 节平面力偶

第二章平面汇交力系与平面力偶系 第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法第3节平面力对点之矩的概念及计算第4节平面力偶

第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系：如所有的力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。共点力系：如所有的力都作用在同一点，该力系称为共点力系。刚体汇交力系共点力系等价理由：力的可传性原理

1、平面汇交力系合成的几何法 由力的平行四连形法则求合力 1）两个共点力的合成: 合力大小由余弦定理：合力方向由正弦定理：由力的三角形法则求合力

2）n 个共点力的合成 由力的可传性原理，将各力沿作用线移到汇交点 A。合力等于各分力的矢量和，即参见动画：平面汇交力系合成的几何法

结论：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小与方向等于结论：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点。即：各分力矢与合力矢构成的多边形。力多边形力的多边形法则：用力多边形求合力的几何作图规则。力的多边形法则： • 各分力首尾相接，次序可变； • 合力为封闭边。注意：用几何法求合力时，要用到各分力的大小所对应线段的长短的比例尺；合力为封闭边时，由所量得的长短来确定合力的大小。

共线力系：力系中各力作用线都沿同一直线。 结论：共线力系合力的大小与方向等于各分力的代数和。即： 2、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即：平面汇交力系几何法平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。用几何法求合成与平衡问题时，用图解或应用几何关系数值求解。图解的精度决定于作图的精确度，要注意选取适当的比例尺并认真作图。

解：设比例尺 例题 平面基本力系例题 1 例： ,方向如图所示,求合力。

R F O B A h 例题 平面基本力系例题 2 如图轧路碾子自重G= 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾子中心O处作用一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F= 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。

例题 FB G FA F O F G FB (c) B A FA (b) 平面基本力系例题 2 解： 1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。 R 各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力G ，F ，FA和FB组成封闭的力多边形。 F O 由已知条件可求得 B A h (a) 再由力多边形图c中各矢量的几何关系可得解得

例题 F O G FB FB B A a G FA G FB FA F F Fmin c b 平面基本力系例题 2 2. 碾子能越过障碍的力学条件是 FA=0，得封闭力三角形abc。由此可得 3. 拉动碾子的最小力为

3、汇交力系几何法的解题步骤： 1）选研究对象； 2）画受力图； 3）作力多边形或力三角形； 4）利用几何关系求解未知量。

F α x 第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法一、平面汇交力系合成的解析法 1．力在轴上的投影定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。Fx=F cosα 投影是代数量力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。

2．力在直角坐标轴上的投影 Fx=F cos Fy=Fcos=F sin Fx和Fy是力F在x，y轴上的投影力的解析式：力的大小与方向为：式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。

3．合力投影定理 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 FR=F1+F2+…………+Fn= F FR =Fxi +Fyj ，Fi = Fxi i + Fyi j（i=1，2，，n） Fx i + Fyj = Σ(Fxi i)+ Σ (Fyij ) = ( Σ Fxi) i+ ( Σ Fyi )j 合力的大小和方向余弦为

F2 y F1 O x F3 F4  例题平面基本力系例题 3 求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：解：

F2 y F1 O x F3 F4  例题平面基本力系例题 3 合力的大小：合力与轴x，y夹角的方向余弦为：所以，合力与轴x，y的夹角分别为：

F2 y FR F1 O Fy x  F3 F4 Fx  例题平面基本力系例题 3 合力的大小：或合力的方向：

平面汇交力系的平衡方程 二、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。推得：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。

例题 A B D G C 平面基本力系例题 4 如图所示，重物G=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。

例题 A B D y G FBC FBA C B F2 x F1 平面基本力系例题 4 取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。解：列写平衡方程解方程得杆AB和BC所受的力:

例题 A B D y G FBC FAB C B F2 x F1 平面基本力系例题 4 杆AB和BC所受的力: 约束力FBA为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受压力。解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。

三、汇交力系解析法的解题步骤： 1）选研究对象； 2）画受力图； 3）建立坐标系； 4）列平衡方程（2个）； 5）求解未知量。

力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向;力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向; 转动效应--取决于力矩的大小、方向. 第3节平面力对点之矩的概念及计算参见动画：力对点之矩(1)

一．力对点之矩（力矩） 力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心 h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离力矩为零的情况：当h=0即力的作用线通过矩心时力矩单位牛顿米（Nm）千牛顿米（KNm）力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 Mo(F)=±Fh=±2AOAB

 例题 计算图示力F对点O之矩。F与水平线夹角为，杆OA长r，与水平线夹角为。力对点之矩例题 5 解：

 例题 力对点之矩例题 5 从上面的计算可以看到，力F对O点之矩等于它的两个正交分力Fx和Fy对O点之矩。

二、合力矩定理 平面汇交的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点力矩的代数和。即

三、力矩的解析表达式 Mo(F)= xFy-yFx x、y是力F作用点A的坐标，而Fx、 Fy是力F在x、y轴的投影，计算时用代数量代入。合力FR对坐标原点之矩的解析表达式

 例题 例题 6 力对点之矩如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力Fn的作用。设Fn=1400 N。压力角α=20o，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60 mm，试计算力Fn对于轴心O的力矩。 r O h Fn

r O r h O Fn F Fn Fr  例题例题 6 力对点之矩解：解法一计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得解法二或根据合力矩定理，将力Fn分解为圆周力F 和径向力Fr , 则力Fn对轴心O的矩

 例题 例题 7 力对点之矩水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。 q A B x

 例题 例题 7 力对点之矩在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为q’dx，其中q’为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知解： F q A B x dx x h 因此分布载荷的合力大小 l

 例题 例题 7 力对点之矩设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有 F q A B x dx x 将q' 和 F 的值代入上式，得 h l

第4节平面力偶 1、力偶与力偶矩参见动画：力偶实例(1) 参见动画：力偶实例(2) 定义：大小相等，方向相反，不在同一直线上的两个平行力所组成的力系叫力偶。记作（F，F＇）

参见动画：钳工用丝锥攻螺纹 d ——力偶臂，力偶的两力作用线之间的垂直距离力偶所在的平面称为力偶的作用面力偶没有合力，力偶和力是静力学的两个基本要素。力偶使刚体产生转动效应，可用力偶矩来度量。力偶矩的大小为力偶中的两个力对其作用面内某点的矩的代数和，其值等于力与力偶臂的乘积即Fd，与矩心位置无关。

影响力偶作用效果的两个因素： • 力偶矩的大小； • 力偶在作用面内的转向。平面力偶矩是代数量，以M或M（ F，F’）表示 M=±Fd= 2AABC 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位：（Nm）（KNm）

2、同平面内力偶等效定理 定理： • 任一力偶可以在它作用面内任意移转，而不改变它对刚体的效应。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 • 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。作用在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。推论：力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。

3．平面力偶系的合成和平衡条件 （1）平面力偶系的合成同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。（2）平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即平面力偶系的平衡方程由平面力偶系的平衡方程可知力偶必须用力偶来平衡。

例题 FB M d A B FA 平面基本力系例题 8 一简支梁作用一矩为M 的力偶，不计梁重，求二支座约束力。（ AB= d ） M d A B 解：以梁为研究对象。梁上除作用有力偶 M 外，还有反力FA，FB。因为力偶只能与力偶平衡，所以FA=FB。又∑M = 0即M - FA×d = 0 所以 FA=FB = M / d

例题 力偶例题 9 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1=2 kN·m， OA = r =0.5 m。图示位置时OA与OB垂直，角α=30o , 且系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2及铰链O，B处的约束反力。 C M2 O A r M1 B

FA O A M1 FO C M2 A FB B 例题力偶例题 9 解：先取圆轮为研究对象，因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶，故 FA= –FO。解得再取摇杆BC为研究对象。其中解得

作业： 2-1 （要求将合力在图上表示出来），2-3，2-5 2-1 （要求将合力在图上表示出来），2-7，2-9 图示叠轮，已知大圆半径为R，小圆半径为r，在小轮圆周作用有一切向力F，其作用线与水平线夹角为，求力F对叠轮与水平面切点A之矩MA（F）（用两种方法）。答：MA（F）=F（r-Rcos）补充题，2-13，2-15 补充题：

第 1 节 平面汇交力系合成与平衡的几何法 第 2 节 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第 3 节 平面力对点之矩的概念及计算 第 4 节 平面力偶