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曲线和曲面上的积分

曲线和曲面上的积分. 场论. 基本概念. 梯度场 : 设 是 R n 上的一个光滑实值函数 ( 纯量场 ),  自然给出了上的一个向量场 , 也记为 , 它称为的梯度场 , 简称梯度场 ; 散度场 : 设 F 是 R n 上的光滑向量场 .  上的数量场 称作 F 的散度 ( 场 ), 也记作 div F= ·F. 基本概念 ( 续 ). 旋度场 : 设 F=(P,Q,R) 是 R 3 上的一个光滑向量场 . 向量场 称作 F 的旋度 ( 向量场 ), 也记成 rot F=F

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曲线和曲面上的积分

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  1. 曲线和曲面上的积分 场论

  2. 基本概念 • 梯度场: 设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场), 自然给出了上的一个向量场, 也记为,它称为的梯度场, 简称梯度场; • 散度场:设F是Rn上的光滑向量场. 上的数量场 称作F的散度(场), 也记作div F=·F

  3. 基本概念(续) • 旋度场: 设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场. 向量场 称作F的旋度(向量场), 也记成rot F=F • 记号(读作nabla)也称作梯度算子,把它理解为

  4. 梯度场的意义 • 设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场), 是其梯度场. 也记作grad . • 的基本意义是给出了在的各点最大的方向导数的值及其方向; • 给出了的等高面(x)=c上的法向量场; • (x0)(x-x0)=0是等高面(x)=(x0)在x0点的切平面; • 是描述数量场扩散的基本数学量.

  5. 散度场的意义 • 设F是Rn上的一个光滑向量场,div F=·F叫做F的散度场. • div F(x0)表示向量场F在x0点的发散程度: 设V是包含x0点(x0点为内点)的区域F在V上的平均发散程度定义为 当|V|趋于零时, 由Gauss公式就得到上面的解 释. div F(x0)>(<)0表示x0是F的源(或漏)点.

  6. 梯度场的散度场 • 设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),其梯度场的散度场div =D在讨论温度场和密度场等数量场时是基本的. • D= ·叫Laplace算子 • 如果div F=0, 就称F为无源场, 例如三维空间中,向量场的旋度场就是无源场.

  7. 旋度场的意义 • 设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场. rot F=curl F=F叫F的旋度. • curl F(x0)表示向量场F在x0点的环流(涡旋)程度(是一个向量). 它的解释要复杂一些: 取定义个方向n(单位向量), S是过x0点与n垂直的平面区域C是其边界曲线,取其方向与n的方向成右手螺旋, 定义F在S上在n方向上的平均环流为

  8. 旋度场的意义(续) • 当|S|趋于零时, 其极限定义为定义F在x0点在n方向的环流curl(F,n)(x0),由Stokes公式, curl(F,n)(x0)= curl(F)(x0)·n • 如果一个F的旋度为零,F称为无旋场. 例如梯度场就是无旋场.

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