ガリガリ・プロペラ（和玩具）回転する不思議なものシリーズ第４弾

ガリガリ・プロペラ（和玩具） 回転する不思議なものシリーズ第４弾１０５円＠ダイソー（１００円ショップ） ←　商品に書いてあった　　説明になっていない回転する原理右側をこすると、右回転し、左側をこすると左回転する。プロペラが回転する原理指でリングをまわすのと同じ（実演参照）第9回（6/2） 1ページ

小テスト解説 体重 50 kgのＡ君が、高さ 20 mのバンジージャンプ用の塔に登った。地上におけるＡ君の位置エネルギーを 0とすると、塔の上にいるＡ君の位置エネルギーはどれだけか？ただし、重力加速度は 10 m/s2とせよ。Ａ君の大きさは考慮せず、単なる質点と考えよ。 [求め方] 重力による位置エネルギー： mgh U = mgh = 50×10×20 = 10000 答： 10000 J 20 m Ａ君が何もつけずに初速度0で飛び降りたとすると、地面に着地（激突？）する直前の速度はいくらか？空気抵抗は無視せよ。ヒント：力学的エネルギー保存の法則を用いよ。力学的エネルギーは保存するので、上で計算した位置エネルギーは運動エネルギーになっている。地面 1 2 1 2 1 2 K = mv2 = 50v2 = 10000 25v2 = 10000 v2 = 400 v = 20 運動エネルギー： K = mv2 答： 20 m/s Ａ君は長さ 10 mのゴムを足に結びつけて飛び降りた。地面に衝突しないためにはゴムの弾性定数（ばね定数に対応するもの）は、最低いくら以上なければならないか。ただし、Ａ君は初速度 0で飛び降りたとする。最下点においては、速度は 0なので運動エネルギーは 0 自然の長さが 10 mのゴムが 10 m伸びたときのゴムの弾性による位置エネルギーが 10000 J以上あれば、力学的エネルギー保存則より、Ａ君は地面に衝突することはない。 1 2 kx2 > 10000 k(10)2 > 10000 k > 200 1 2 弾力による位置エネルギー：U(x) = kx2 1 2 F = ma を用いて、運動の時間的な変化を追っていくのはたいへん（エネルギー保存則は、たいへん強力で、便利な法則）答： 200 N/m 第9回（6/2） 2ページ

単振り子（教科書4.2, p49） 質量 mのおもりに働く力：「重力 mg」と「糸の張力 S」 q 運動方向（接線方向）成分の mg sinqだけが、振動に影響する。常に運動方向に垂直興味のある振動方向には全く影響を与えない（忘れてよい） L S x O mg q おもりの接線方向の運動方程式 F = ma = －mg sinq おもりの位置を、左の図のように円弧状の座標で表し、おもりの軌道の最下点を原点Oとすると、 x = Lq 速度は、 v = L 加速度は、a = L よって運動方程式は mL = －mg sin q = － sin q 振り子の振れが小さい場合（|q| << 1）、 sin q ≒ q （qはラジアン単位であることに注意） mg sinq （qがラジアン単位） dq dt r d2q dt2 rq r sin q q r 半径 r、中心角qの円弧の長さは rq 中心角q が小さい時 r sin q ≒rq sin q ≒q d2q dt2 g L d2q dt2 （物理・数学ではよく使う重要な近似）参考：ばねの単振動 k m g L d2x dt2 d2q dt2 ２回微分すると、もとに戻りマイナスの符号がつく = －x = －q x(t) = A cos(wt + q0) q(t) = qmax cos(wt + b) k m g L 角振動数：w = 角振動数：w = 1 2p 1 2p k m m k g L L g T = 2p f = T = 2p f = 第9回（6/2） 3ページ

例題ブランコは、漕いだり、押してもらったりしていない時、単振り子と考えられる。鎖の長さを 2.5 mとした時、角振動数、振動周期、振動数を求めよ。乗っている人間は大きさは無視し、単なる質点と考えよ。重力加速度は、10 m/s2とし、空気抵抗や摩擦、鎖の質量は無視せよ。 2.5 m 例題２では、ロープの長さが 40 mのブランコ（アニメ、アルプスの少女ハイジのオープニングのような）があったとしたら、その振動周期はいくらになるか？測定単振り子は、糸の長さが 1.05 m である。各自振り子の様子を観察・測定して重力加速度を求めよ。ヒント： 1 2p g L L g T = 2p f = 第9回（6/2） 4ページ

減衰振動（教科書4.3, p50） 減衰振動の例ばねの単振動も、振り子も、ブランコも空気抵抗や摩擦のため、何もしなければ、実際は左の図のように、振幅が時間とともに小さくなっていく。 P50 図4.8　減衰振動速度に比例する抵抗があるときの振動変位（つり合いの位置からの変化）xと復元力が逆向きという意味のマイナス k m 抵抗がない時の角振動数。抵抗がある時は、振動数は変化する。角振動数：w = 復元力＝－kx＝－mw2x を受けて単振動する質量 mの物体に、速さに比例する抵抗－2mgv が働く場合を考える－gvでよいと思うだろうが、後の議論では、このように gを定義した方がわかりやすい。（ wと gの関係がシンプルになる。同じ次元） gは抵抗の大きさを表す正の定数 gが大きいほど、同じ速度でも抵抗が大きくなる。抵抗が速度 vと逆向きという意味のマイナス運動方程式 F = ma = －kx－2mgv =－mw2x－2mgv m = －mw2x－2mg + 2g + w2x = 0 d2x dt2 dx dt dx dt d2x dt2 この微分方程式は吉田も本を見ないと解けません。この解き方は、必要に応じて、教科書を参照すればよいので、記憶する必要はありません。解き方は、教科書p51 例題4に載っています。（講義ではやりません）皆さんは、この解が g（抵抗）の大きさによって３つに場合分けされ、おおまかにどのような運動をするのかを理解するようにして下さい。第9回（6/2） 5ページ

減衰振動の３つの場合分け 抵抗が小さい場合　　　　　　　　　中間　　　　　　　　　抵抗が大きい場合 w > gw = g w < g 減衰振動臨界減衰過減衰抵抗を 2mgvとした理由抵抗が大きすぎて振動はしない。ゆっくりとつい合いの位置に収束する。 gが大きくなるほど収束にかかる時間も長くなっていく振動はしない。最もすみやかについ合いの位置に収束する。振動しながら振幅がしだいに小さくなっていく５ページ左上の図 w = 10 s－1 イメージ空気中では減衰振動するばねとおもりも、水中や、もっと抵抗の大きい水飴の中では、振動せずに、左図の過減衰のような動きになることが想像できよう。過減衰臨界減衰減衰振動問題右上の図は講義室のドアにもついているドアの減衰装置です。これは、ドアを閉じようとするばねと抵抗を組み合わせた装置です。つり合いの位置をドアが閉じた位置とし、ドアが音もなく閉じるためには、上の３つの分類のどれであればよいか？第9回（6/2） 6ページ

問題バイクや、スポーツタイプの自転車には、上の図のようなフロントフォークやリアサスペンションがついている。（自動車にも同じようなものがついている。）これは、ばねと抵抗を組み合わせた装置で、これによって、路面に凹凸があった時の衝撃をやわらげる。日頃の経験より、この車体の運動は、３つの分類のうちのどれにあたると思うか？また、抵抗が大きくすぎると、どのような問題があるかを述べよ。逆に抵抗が小さすぎるとどのような問題があるかを述べよ。第9回（6/2） 7ページ

ブランコの物理（ブランコの謎） ブランコを漕げない人はいないと思いますが、ブランコの漕ぎ方を説明できますか？ ③ ① ② ②の位置で存在する主な力を書き出したがどれも揺れの方向に垂直なものばかり。後ろから人が押せば、揺れの方向に加速できるが乗っている人はいったいどうやって自力で漕げるのか？ ①ブランコの動画をみて考えてみよう。 ②おもりとひもを使った振り子の実演を見て考えてみよう。答えは、この講義の後半で説明します。来週は説明しません。第9回（6/2） 8ページ

　　　　　　学科学生番号：氏名： 　振り子は、振幅が変わっても周期や振動数がかわらない。（単振り子の等時性という）振り子時計の玉には、調整ネジがついていて、玉を上下できるようになっている。時計が遅れる場合、玉の位置を上下どちらに動かせばよいか？調整ネジ答：地上で周期1秒だった振り子を、月面でに持って行き周期を測定してみた。月面における振動周期はいくらになるか？ただし、月面における重力は地球の６分の１とする。答：ばねにつけたおもりを水中で振動させる実演をしたが、それは３つの分類では、減衰振動だった。同じおもり（同じ g ）で、過減衰の実演をしたい場合、どのようなばねを使えば過減衰の実演ができるか？答：この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら書いて下さい。（特になければ白紙でもよい。）第9回　6月2日

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