普通物理 ( 下冊 )

1. 普通物理(下冊) 《 University Physics 》 Revised Edition

2. 第33章 交流電路 33.1 基本說明 33.2 交流電路中的電阻；均方根值 33.3 交流電路中的電感 33.4 交流電路中電容 33.5 相量 33.6 RLC 串聯電路 33.7 RLC 串聯電路的共振 33.8 交流電路中的功率 33.9 變壓器 P.871

3. 33.1 基本說明 由 31.4 節對交流發電機的討論，我們知道其電動及電流均是正弦時變的。 本章中小寫字母代表電流和電位差的瞬時值。並為了方便起見，假設瞬時電流的形式為 其中 ω ＝ 2πf為此交流電動勢的角頻率，單位為 rad/s ，而f 為交流電動勢源的頻率，單位為赫茲 (Hz)。振幅 i0為此電流的峰(peak) 值。 P.872

4. 兩個物理量，如電流及電位差，稱為同相(in phase)，如果它們同時到達峰值。 跨在電路中元件兩端的瞬時電位差，通常不會和其電流同相；其峰值發生時間不同。 因此在電源二端的瞬時電位差為 其中 υ0為峰值而 φ 為電流及電位差間的相角（我們假設電源沒有內電阻，故兩端電位差就等於其電動勢）。 P.872

5. 一開始我們先決定電阻、電感及電容個別的連接在 ac 電源上時的 φ值。 跨在電阻、電感及電容兩端的瞬時電位差 υR、υL、 υC的符號要由它們的定義方式來求出。 圖 33.1 所示為一元件連著符號為 的交流電源。瞬時電流方向如圖所示。 若 Va、 Vb分別為跨在 a、 b點的電位，則 υR、 υL、 υC即定為 Va－ Vb。接著討論 R、 L及C個別接著 ac 電動勢時的反應。 P.872

6. 圖33.1一電路元件： R、L或 C連連一個兩端的瞬時電位差為 υ 的交流電源。當電流方向如圖所示時，在 a點電位高於 b點。 P. 873

7. 33.2 交流電路中的電阻；均方根值 圖 33.2 中一電阻接著一瞬時端電壓為 υ 的理想交流電動勢源。 根據克希荷夫迴路定律， υ － υR＝ 0 其中 υR＝iR為跨在電阻上的電位差。由 33.1 式，跨在電阻電端的瞬時電位差為 P.873

8. 圖33.2一電阻接著一個交流電源。 P. 873

9. 故峰值為 比較 33.1 式及 33.3 式可看出電流和電位差為同相（φ ＝ 0），如圖 33.3 所示。 在電阻中消耗的瞬時功率（instantaneous power; p）為 要求平均功率損耗時，不能求 i 的平均，因為很明顯的每週平均都是零。 P.873

10. 圖33.3瞬時電流 i及瞬時電位差 υR同相。 P. 874

11. 實際上，我們知道平均功率損耗決不是零，因 為能量的散逸與電流方向無關。 因此，我們要求一週期內 i2 的平均值。這可由三角恆等式 sin2θ ＝ ½ (1 － cos 2θ ) 得出。 cos 2θ在一週期內的平均值為零，故只剩 ½ 。故 這平均（均值）電流 I的平方根稱為均方根值(root mean square ； rms) 電流，其值為（如圖33.4）： P.873

12. 大寫字母 I ，V ， P代表電流、電位差及功率的均方根值。 均方根電位差值也和電位差峰值有相同形式 P.873

13. 圖33.4均方根電流值 I 和瞬時電流的峰值i0關係為I＝i0/√2 ＝ 0.707i。 P. 874

14. 因電流及電位差的均方根值及其瞬時值只差 2 倍，所以 33.4 式可以寫成 當然正如在直流電中當 R為定值時歐姆定律的形式。平均功率，也稱為均方根功率 (rms power)，為 P＝ Pav＝(i2)avR，故由 33.5a 式可得 P.874

15. 只要是用均方根值電流或電壓，我們就仍然用直流形式來求電功率。只要是用均方根值電流或電壓，我們就仍然用直流形式來求電功率。 均方根電流I 即是在直流電流中要產生相同功率的電流值。33.7 式也可寫 P＝ VR2/R＝ IVR。 P.874

16. 例題 33.1 一燈泡使用牆上插座的 120 V（均方根值）電流 時其功率為 100 W (rms)。求：(a) 燈泡的電阻值 ；(b) 電源電位差的峰值；(c) 流過燈泡的均方根 電流值。 解 (a) 已知 P＝ 100 W 且 V＝ 120 V 。故電阻為 P.874

17. 例題 33.1 (續) (b) 由 33.6 式可知電源的電位差峰值為 其電位差在 －170 V 至 ＋170 V 間起落。 (c) 因 P＝ IVR，故 P.874

18. 33.3 交流電路中的電感 圖 33.5 為一電感接著一交流電源。由迴路定律可知 υ－ υL＝ 0 ，其中 υL ＝ Ldi/dt為跨在電感上的瞬時電位差（我們用 υL而不用感應電動勢 L＝－Ldi/dt，故對 R、L及 C的方程式形式才會相同）。 由 33.1 式可得電流的變化率為 P.875

19. 圖33.5一接著交流電源的電感。 P. 875

20. 因此 其峰值為 因為 cos (ωt) ＝ sin (ωt＋ 90°)，相角為 φ ＝ ＋90°，即 υL領先 i 90°。電位差 υL的峰值比其相應的電流峰值早了 ¼ 週期。 P.875

21. 如圖 33.6 所示，因 υL並非由電流值所決定，而是由其變率 di/dt所決定。 例如當 i＝ 0 時 υL達到其峰值，因為此時 di/dt具有極大值。33.9 式可如歐姆定律改寫為 其中 稱為電感的電抗（reactance）。電抗的 SI 單位為歐姆。 P.875

22. 圖33.6跨在電感兩端的瞬時電位差 υL領先瞬時電流 i相角 90 °。 P. 875

23. 一電路元件的電抗為其反對交流電流流過的一個量值。如 33.10式所示，電抗在交流電路中所扮演的角色如電阻在直流電路中一般。 元件的電抗告訴我們在一定的頻率下要產生一單位的交流電流流過該元件所需加的交流電位差值。 由下面的說明可以看出為何 XL的形式是合理的。由 32.4 節可知電感如同力學中的慣性，即 L為抵抗電流改變的量值。因此在交流電路中XL∝L。 P.875

24. 因為電流的改變率 di/dt，正比於 ω ，跨在電感的電位差， υL ＝ Ldi/dt，也正比於 ω 。 較大的角頻率導致較大的反向感應電動勢，故電路中電流較小。因此 XL∝ω 也很合理（如圖33.7）。 提供給電感的瞬時功率為 P.876

25. 圖33.7電感的電抗和角頻率 ω 成正比。 P. 876

26. 由恆等式 sin 2θ ＝ 2 sinθ cosθ ，可知一週期內功率平均值為 0（因 sin 2θ 的平均為零），如圖33.8 所示。 在電感中前四分之一週期所儲存之能量，在下一個四分之一週期便送回電源。 P.876

27. 圖33.8送入電感的平均功率為零。 P. 876

28. 33.4 交流電路中電容 圖 33.9 為一電容接著一交流電動勢。在電容的正極板上的電荷為q 。 電路中的電流（並未穿過電容本身）正對極板充電，故 i ＝＋dq/dt 或 dq＝ idt 。因此 常數和初始條件有關，在此可設定為零。 P.876

29. 圖33.9一電容與一交流電源相接。 P. 876

30. 由迴路定律， υ－ υc＝ 0 ，其中 υc＝ q/C為跨在電容上的瞬時電位差。 由 33.12 式，可得 其峰值為 因 －cos (ωt)＝ sin (ωt－ 90°)，相角為 φ ＝ －90°。 P.876

31. 這是說跨在電容二端的電位差 υc相位落後電流90°。如圖 33.10 ， υc在電流達峰值後四分之一週期時才達到峰值。 圖 33.10 由時間 a開始，其 υ ＝υc＝ 0 即 q 也為零。當電源電位差 υ 增大，而電容中的電荷為遵守 υ ＝ υc的條件而增大。 當 υ 在時間 b 達到其峰值時，並不需要再有電荷流動，故i ＝ 0 。 當 υ 開始減少，電荷由電容流向電源，即電流反方向流動（另由 i ＝dq/dt ＝ C dυ /dt，i 在 υ ＝ 0 時有最大值，因此時 dυ /dt為最大值）。 P.877

32. 圖33.10跨在電容的瞬時電位差 υc落後瞬時電流 i 90 °。 P. 877

33. 33.13 式可寫成歐姆定律的形式： 其中 為電容的電抗。要瞭解 33.15 式，首先注意當 ω ＝ 0 時 Xc＝ ∞ 。 這很合理，因為穩流的直流電流無法流過電容（當然，在電容充放電時，可以有隨時間變化的直流）。 P.877

34. 要瞭解為何 Xc ∝ 1/ω ，如圖 33.11 所示，要知道要使電位差達其峰值的時間取決於電源的頻率。當頻率增大時，電流在較短時間內流進流出電容。 因此當頻率增大時，電流增大，即意味著電抗減少（也可由 I ＝ C dυ /dt，且 dυ /dt ∝ ω ，即：電流 I ∝ ω）。 接著來看為何 Xc ∝ 1/C。對一給定的電位差值，一大電容比小電容存更多電荷。所以，在任一時刻電容值較大則電流較大。故直觀上 Xc ∝ 1/C。 P.877

35. 圖33.11電容的電抗和角頻率 ω 成反比。 P. 877

36. 供給電容的瞬時功率為 如電感情形一樣，平均功率為零。每四分之一週期儲存在電容內的能量，在接著的四分之一週期裡送回電源，如圖 33.12 。 P.877

37. 圖33.12送入電容的平均功能為零。 P. 877

38. 33.5 相量 單一電容或電感的電流與電位差間的相位關係很容易決定。當有許多元件在同一電路裡時，我們就需要更有力的分析工具。 其中之一即是相量 （phasors）。相量為一旋轉的向量，用來表示正弦時變的物理量。 例如函數 i＝ i0 sin (ωt) 可由一相量 i0以角頻率 ω 逆時針轉來表示。 P.878

39. 如圖 33.13a ，相量長度即為峰值 i0。當相量旋轉時，其在垂直軸上的分量即代表瞬時電流的變化情形。 圖 33.13b 說明函數 υ ＝υ0sin (ωt＋ φ ) 如何產生。相量 υ0在 t ＝ 0 的位置由相角 φ 決定。注意：相量可用在像電流及電位差這些不是向量的物理量上。 圖 33.14 說明前幾節中的電流與電位差間的關係。所有情況皆是i＝ i0 sin(ωt) 而 υ ＝ υ0 sin(ωt＋ φ )。 P.878

40. 圖33.13 (a) 當電流相量 i0旋轉，其垂直軸分量為瞬時電流 i0，(b) 電位差相量位移了相角 φ 。 P. 877

41. 圖33.14瞬時電流與電位差間的相位關係 (a) 電阻 (b) 電容及 (c)電感。 P. 877

42. 正的相角代表電位差領先電流。綜合而言，電阻φ ＝ 0 ，電感 φ ＝＋π /2 ，電容 φ ＝ －π/2 。下節中可看到相角在多元件電路分析中的方便之處。 P.878

43. 33.6 RLC 串聯電路 現在考慮一個包含電阻、電感及電容串聯著一交流電源的電路，如圖 33.15 所示。 我們現在要決定瞬時電流及其與加在此電路的交流電位差 υ 的相位關係。 瞬時電流i＝ i0 sin(ωt)，在電路中各點均相同。（為什麼？） P.879

44. 圖33.15RLC串聯電路。 P. 879

45. 此時假設電流正在增加。根據迴路理論，瞬時電位差間的關係為此時假設電流正在增加。根據迴路理論，瞬時電位差間的關係為 在 υ ＝ υR＋ υL＋ υC中各項均和電流有不同的相位關係。要求 υ 和i 的關係，首先要求各電位差相量的（向量）和： v0的「垂直」分量即為 υ 的瞬時值。 P.879

46. 每一個元件的電位差相量， υ0L和 υ0C，及電流相量， i0如圖 33.16a 所示，其中假設 υ0L大於 υ0C。 因此在圖 33.16 ，︱v0L＋ v0C ︳＝(υ0L－ υ0C)。由畢氏定理，和的大小為 可將上式寫成歐姆定律的形式 P.879

47. 圖33.16 (a) 電流相量及電阻，電容及電感的電位差相量。 P. 879

48. 其中 V為電源輸出的電位差的均方根值。而 稱為此串聯電路的阻抗（impedance ）。阻抗的 SI 單位為歐姆。當施一定的交流電位差時，電路的阻抗決定了流過它的交流電流。 因為 v0R和 i0一直是平行的，圖 33.16b 中的 φ 角為 v0及 i0之間的相角。 P.879

49. 圖33.16 (b) 電位差相量間關係為v0＝ v0R＋ v0C＋ v0L。我們假設 υ0L＞ υ0C。 P. 879

50. 由圖可看出 tanφ ＝ (υ0L－ υ0C)/υ0R，可導成 正的相角表示趨動電路的電位差領先電流i 一個φ 角的相位。 P.879