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《 幾何原本 》 的五大公設

《 幾何原本 》 的五大公設. 過任意兩點可連成一直線 任意直線可向它的兩方延長 以任意點為圓心，任意長度為半徑，可劃一圓 凡直角皆相等 若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交. 第五公設. a. a + b <180 o. b. 第五公設的另類陳述方式. 通過一直線 L 以外的一點 P ，只能畫出一條與 L 平行的直線 . P. L. 三角形的內角之和是 180 o 若一四邊形有一對對邊相等，且它們與第三邊構成的角為直角，則其餘的兩隻角也是直角. C. D. B. A. 對第五公設的質疑.

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《 幾何原本 》 的五大公設

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Presentation Transcript

  1. 《幾何原本》的五大公設 • 過任意兩點可連成一直線 • 任意直線可向它的兩方延長 • 以任意點為圓心，任意長度為半徑，可劃一圓 • 凡直角皆相等 • 若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小於兩直角，則兩直線向該旁延長必定相交

  2. 第五公設 a a + b <180o b

  3. 第五公設的另類陳述方式 • 通過一直線 L 以外的一點 P，只能畫出一條與 L 平行的直線  P L

  4. 三角形的內角之和是180o • 若一四邊形有一對對邊相等，且它們與第三邊構成的角為直角，則其餘的兩隻角也是直角 C D B A

  5. 對第五公設的質疑 • 不像前面四條公設一樣簡單，而是辭句冗長，意義含混 • 其他公設都具有“有限”的特徵，只涉及直線的有限部分或有限範圍內的平面圖形 • 從300BC到1800AD，就有人企圖用一個更簡單的命題去推論它，但沒能成功

  6. 推證第五公設的兩種思路 • 一種是用比較自明的敘述來取代平行公設 • 另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設推出平行公設

  7. 推證失敗的原因 • 所有證明都使用了和公設五等價的命題，即邏輯學上所謂的“循環論證”

  8. 例：Legendre(1752~1833)所用的命題：「 過銳角的一條邊上任一點M作該邊的 垂線，必與另一邊相交。」  M

  9. 採用歸謬法的進路 • 歐氏第5公設：『通過直線AB以外的一點P，只能作出一條與AB平行的直線。』 • 跟它矛盾的命題有兩種形式： (1)過 P 點沒有直線與 AB 平行 (2)過 P 點有不只一條直線與 AB 平行

  10. 薩謝利 (Saccherri, 1667~1733)的四邊形定理 • 「若ACAB，BD AB，AC=BD，則 ACD= BDC，且都是銳角。」 C D B A

  11. 錯失良機 • 薩謝利認為結論太不合“常理”了，主觀地否定了自己推導出的結果 • 德國數學家蘭伯特(Lambert, 1728~1777)亦作出跟薩謝利類似的結果。他說：『人們不能限制邏輯上可能發展的各種不同的幾何之存在。』

  12. 斯維卡特(Schweikart, 1780~1859)的宣言 • 他說：『應該承認有兩種幾何，一種是歐氏幾何，另一種是建立在三角形內角之和小於180o假設下的幾何。』 • 第二種幾何可稱為“星際幾何” • 平行公設與歐氏其他公設無關

  13. 創立非歐幾何的英雄 • 德國的數學王子高斯(Gauss, 1777~1855) • 匈牙利的鮑耶(J. Bolyai, 1802~1860) • 俄國的羅巴契夫斯基(Lobatchevsky,1793~1856) • 德國的黎曼(Riemann, 1826~1866)

  14. 高斯(Gauss,1777~1855)

  15. 羅巴契夫斯基(Lobatchevsky,1793~1856)

  16. 鮑耶(J. Bolyai, 1802~1860)

  17. 高斯的貢獻 • 在1792年已知道：「若一四邊形的其中三隻角是直角，而另一隻角不是直角時，其面積與 |360o - S|成正比例，其中S是四邊形的內角和。 • 從1817年給友人的信上說：『物理需要歐氏幾何是不可證明的。』 • 但高斯並沒有發表其成果，因為怕有人嘲弄。他對非歐幾何的貢獻是1816年及1822年。

  18. 鮑耶的貢獻 • 鮑耶是數學家F.Bolyai的兒子，13歲已掌握了微積分，15歲時其數學造詣已跟父親不相上下 • 1823年底(23歲)，鮑耶對父親說：『在非歐幾何方面，我已經有美妙的發現，致使我驚訝不已。』

  19. 1826年(24歲)，他把《絕對空間的科學》這篇非歐幾何的開創性論文寄給他的老師，但遭丟失了1826年(24歲)，他把《絕對空間的科學》這篇非歐幾何的開創性論文寄給他的老師，但遭丟失了 • 1832年(30歲)，他的論文發表在父親的著作《給勤學的年青人論數學原理》之附錄裡

  20. 羅巴契夫斯基的貢獻 • 1792年生於下諾夫哥羅德(高爾基城） • 1808 年(16歲)入喀山大學學習 • 1811年(19歲)獲博士學位並留校工作 • 1822年(30歲)任教授，其後任物理數學系主任、圖書館館長及喀山大學校長等職

  21. 從 1816年開始試作平行公設的證明，推導到一系列前 後一貫的命題，但與歐氏幾何不同的新幾何體系 • 他稱之為「虛幾何學」，後人則稱之為 「羅氏幾何」或「雙曲幾何」 • 1826年在喀山大學發表自己的新學說，但 沒有得到承認

  22. 以後陸續用俄文、法文、德文發表自己的工作。直到去世後，高斯對他的學說予以肯定， 他的思想才被普遍接受 • 他在無窮級數論、積分學和概率論等 方面，也有出色的工作 • 著有《幾何學基礎》(1829)及《平行線理論的幾何研究》(1840)

  23. 羅氏幾何的兩大特徵 • 通過直線AB以外的一點P，有不只一條直線與 AB 平行 • 三角形的內角和小於兩直角

  24. 黎曼的貢獻 • 黎曼在1854年的論文《論幾何學的基本假設》，提出了另類的非歐幾何學，稱為「黎曼幾何」(即「橢圓幾何」) • 在黎曼幾何的體系中，有以下特徵： (a) 直線不是無限而是有限且封閉的 (b) 不存在平行線 (c) 三角形內角和大於兩直角

  25. 黎曼(Riemann, 1826~1866)

  26. 三種幾何體系的模型 羅氏幾何 黎曼幾何 歐氏幾何

  27. 非歐幾何的世界 • 1915年愛因斯坦(A. Einstein, 1879~1955)利用非歐幾何創立廣義相對論(General Relativity) • 人類生存的空間只是小範圍可被視為歐氏空間，大範圍以致整個宇宙則必須用非歐幾何來描述

  28. 幾何基礎、解析幾何、非歐幾何、射影幾何、畫法幾何幾何基礎、解析幾何、非歐幾何、射影幾何、畫法幾何 微分幾何(包括：張量分析、微分流形、黎曼流形、大範圍微分幾何、複流形) 拓樸學(包括：點集拓樸、代數拓樸、解析拓樸、微分拓樸、微分流形、纖維叢) 代數幾何(包括：代數曲線、代數曲面、代數簇) 幾何學分類

  29. 拓樸學(Topology) • 俗稱「橡皮幾何學」 • 源於歐拉的哥尼斯堡的七橋問題 • 主要分為點集拓樸(Point Set Topology)及組合拓樸(Combinatorial Topology)兩類 • 一般多研究高維的空間和流形

  30. 偉大的數學家歐拉(Euler)

  31. 哥尼斯堡的七道橋

  32. 哥尼斯堡的七橋問題 • 是否可以走過全部七道橋，而每一道橋只准經過一次？

  33. 平面布線問題 • 一個線路能否布於平面上而使它不自交叉？

  34. 多面體的歐拉公式 • 對一簡單多面體而言，它的頂點數(V)、面數(F)及稜數(E)滿足：V + F - E = 2 • (歐拉-龐加萊定理) 對閉曲面而言，它的歐拉-龐加萊示性數滿足：  = V + F - E = 2 - 2g，其中g代表該閉曲面的虧數(genus)

  35. 四色問題(Four Color Problem) • 在平面或球面上繪製世界或全國地圖，使得相鄰的國家或地區塗上不同的顏色，問最少要使用多少種顏色？ • 1976年Wolfgang Haken及Kenneth Appel借助電腦證明了用四種顏色便可以了 • 若是環面的話，則最少要用7種顏色

  36. 密比烏斯帶(Mobius Strip) • 它是一個單側的曲面，且只有一個邊緣

  37. 分形幾何(Fractal Geometry) • 分形是美籍法國數學家曼德布洛 (Mandelbrot)在70年代中期所創造的一個新名詞，用來形容自然界的複雜形狀及無規則現象 • 自八十年代以來，有關分形的研究已滲透到很多不同的領域之中，包括物理學、化學、數學、天文學、生物學及地球科學等

  38. 分形在自然界中普遍存在，例如天上的雲、地上的河流、人的肺與支氣管、植物的葉脈、地球的山脈、土星的環等等都是分形，數不勝數!分形在自然界中普遍存在，例如天上的雲、地上的河流、人的肺與支氣管、植物的葉脈、地球的山脈、土星的環等等都是分形，數不勝數!

  39. 分形的特徵 • 它具有自我相似性(self-similarity) • 它的維數(dimension)不是整數而是分數

  40. 海岸線的長度 • 假設我們使用標度去量度一個海岸線的長度。直觀上，海岸線之長度L() =  ×N()，其中N()表示從海岸線的一端到另一端總共測量的次數 • 當0時，L()並不趨向一個固定值，而是隨著的減少而增長，這意味著海岸線的長度是不能精確測量出來的！

  41. 科赫曲線(Koch Curve) • 科赫曲線是瑞典數學家科赫(Helge von Koch)於1904年提出的。 • 按照Mandelbrot的說法，科赫曲線是海岸線粗略但極好的模型

  42. 怎樣構造科赫曲線呢？ • (Step 1)畫一長度為一單位之線段 • (Step 2)把該線段分成三等分，去掉中間的一分，並以一邊長為1/3之等邊三角形的兩邊取代之 • (Step 3)重複以上步驟，把每條線段再分成三等分，去掉中間的一分，並以一邊長為1/9之等邊三角形的兩邊取代之。如此類推，直至獲得一條無限長的曲線為止。

  43. 科赫曲線

  44. 康托集(Cantor Set) • 康托集是德國數學家康托(Cantor)於1883年提出的 • 它的構造方法如下： (Step 1)畫一長度為一單位之線段 (Step 2)把該線段分成三等分，去掉中間的1/3，然後重複此步驟。 • 每次去掉之線段的頭尾兩點剩下來，所構成的無窮點集C，便稱為康托集

  45. 其他有趣例子 • 義大利數學家皮亞諾(Peano)於1890年所創造的皮亞諾曲線(Peano Curve) • 西爾平斯基(Sierpinski)於1915年所創造的西爾平斯基三角(Sierpinski Triangle)

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