第 8 章 频率响应及信号的频谱

1. 第8章 频率响应及信号的频谱

2. 第8章 频率响应及信号的频谱 • 8.1 谐振 • 8.2 频率特性 • 8.3 非正弦周期电路与频谱

3. 教学要求 1.掌握RLC串、并联电路谐振的条件、固有频率及谐振时电路的性质； 2.掌握二阶电路中，不同对象作为响应时的电路幅频特性和相频特性的分析方法； 3.了解通频带的概念和滤波器的原理； 4.初步掌握非正弦稳态电路的分析方法。

4. R,L,C 电路 8.1 谐振 • 谐振是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。在无线电、通信工程等弱电系统中常利用电路的谐振构成选频电路，而在强电系统中往往要避免谐振的发生。最常见的谐振电路为串联谐振和并联谐振。 定义： 含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。 发生谐振

5. 1 RLC串联谐振 输入阻抗 当 时电路发生谐振，即 0：谐振角频率，与电路参数有关 f0：谐振频率（或固有频率）

6. 串联电路实现谐振的方式： (1) L C不变，改变或f 0由电路参数决定，一个R L C串联电路只有一个对应的0, 当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。 (2)电源频率不变，改变L或 C ( 常改变C)。

7. 串联谐振的特点 （1）电路的 阻抗呈阻性，阻抗值最小 电流有效值最大，消耗的平均功率最大 （2） 谐振频率仅与L，C有关，而与R，U无关。

8. （3） LC上的电压大小相等，相位相反， LC串联总电压为零，也称电压谐振，即 谐振时： LC相当于短路

9. （4）品质因数Q 定义反映电路的选择性能的重要指标品质因数： 令： 称为特性阻抗 则： 当  = w0L=1/(w0C )>>R ，即Q>>1时，UL= UC >>U

10. 由于 可能会击穿电感或电容的 绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振。 如Q=100,U=220V,则在谐振时 所以电力系统应避免发生串联谐振。 但在无线电工程上，常利用串联谐振，以获得比输入电压大许多倍的电压，或达到选择信号的作用。

11. + 则 调C，对所需信号频率产生串联谐振 电路图 最大 - L1：接收天线线圈 等效电路 LC：组成谐振电路 为来自3个不同电台(不同频率) 的电压信号； 应用举例 接收机的输入电路

12. （5）谐振时的电容电感的功率和能量 1）功率 P=UIcos＝UI＝RI2=U2/R， 表明:电源向电阻提供能量，电阻功率达最大。 表明:电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

13. (5) 谐振时的能量关系 则 设 电场能量 磁场能量 总能量： 总能量是不随时间变化的常量

14. C的电场能量和L的磁场能量作周期振荡性的交换C的电场能量和L的磁场能量作周期振荡性的交换 Q越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好

15. 【例8.2】一线圈与电容串联，线圈电阻 电感 ，当把电容调节到 时发生 串联谐振，（1）求谐振频率及品质因数 ； （2）设外加电压 为 其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流及 电容电压 ；（3）若外加电压仍为 但其频率比谐振 频率高10%求电容电压。 解：等效为RLC串联电路（1）谐振频率及品质因数为

16. （2）谐振时的电流及电容电压为 当电源频率偏离电路的谐振频率时，电容电压显著下降，可起到选择信号的作用。 （3）电源频率比谐振频率提高10%时

17. 1 RLC并联谐振 输入导纳 谐振时 谐振频率： 谐振角频率 谐振特点： • 输入导纳为纯电导，导纳值|Y|＝G最小，即阻抗值|Z|＝R最大，输入电流一定时，端电压达最大。

18. （2） LC上的电流大小相等，相位相反， LC并联总电流为零，也称电流谐振，即 谐振时： LC相当于开路

19. （3）品质因数Q IL(w0)=IC(w0)=QIS （4）谐振时的功率 表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换，作周期性的震荡。

20. 能量的总和为 =常数 3 实际的并联谐振电路 谐振时

21. 可见电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足：可见电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足： 电路才能够发生谐振。 谐振时的输入导纳为

22. 【例8.1】 试判断图示电路能否发生谐振？如能发生谐振，求出其谐振频率。 当分子为零时， LC2支路的阻抗为零，该支路产生串联谐振，此时有 当分母为零时， LC2支路和L1支路并联的阻抗为∞，产生并联谐振，此时有

23. 模与频率的关系 幅角与频率的关系 8.2 频率特性 • 当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，电路的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路的频率特性，又称频率响应。 • 频率特性分为幅频特性和相频特性 若H(j) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分： 幅频特性 相频特性 下面以RLC串联电路为例子说明

24. 1 幅频特性与幅频特性曲线 其中 ：阻抗的幅频特性方程 时阻抗是呈容性； 当 当 时阻抗呈阻性 当 时阻抗呈感性。 阻抗的幅度频率曲线:

25. 网络函数 在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。 1)电容电压为响应的网络函数

26. 当 时 可见：RLC串联电路电容输出端对高频率电压有较大衰减，从而构成低通滤波电路 当 时 当 时 电容电压幅频特性曲线

27. 2)电感电压为响应的网络函数 可见：RLC串联电路电感两端电压对低频电压有较大衰减，从而构成高通滤波电路 当 时 当 时 当 时

28. 与的极值点： 令 当 当 时 时 可见： 且要求 ，即

29. 3)电阻电压为响应的网络函数 当 时 可见：RLC串联电路的电阻电压具有带通滤波的性质 当 时 当 时

30. 4)LC电压为响应的网络函数 其响应具有带阻滤波的性质 当 时 当 时 当 时

31. 2 相频特性与相频特性曲线 其中 也为u、i的相位差 时 当 当 时 当 时 阻抗的相频特性曲线:

32. 1)电容电压相频特性 时 当 时 当 时 当

33. 电容电压的相频特性曲线: 电感电压的相频特性曲线: 电感电压的相频特性 电阻电压的相频特性曲线: 电阻电压的相频特性

34. 3 通频带 ：上限截止频率 ：下限截止频率 通频带： 令：

35. 可见，通频带宽与电路谐振时的品质因数成反比，Q越大，带宽BW越小，谐振曲线的形状越尖锐，电路的选择性越好。

36. 4 滤波器 实际上就是选频电路，允许或者阻止一部分频率通过电路

37. 【例8.3】一阶RL低通滤波电路 网络函数： 幅频特性： 时 当 当 时 令： 当 时 得截止频率：

38. 选择R和L的值，构成一个截止频率为10Hz的低通滤波器 选择L=100mH 如果以电感作为响应，就是高通滤波器，且截止频率仍然是

39. 8.3 非正弦周期电路与频谱 • 在实际应用中，电信工程中传输的各种信号大多数是按非正弦规律变动的，产生非正弦周期信号的原因一般有两种，一是发电厂产生的电压不是标准的正弦电压，二是电路中存在非线性元件，使其响应是非正弦信号。 • 本节主要介绍非正弦周期电路的谐波分析法，它是利用傅里叶级数将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后根据线性电路的叠加性质分别计算各个正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流或电压分量，把所得的分量按时域形式叠加。

40. 1 正弦稳态的叠加 【例8.4】图示电路，已知 ，求稳态电压u。 解：网络函数为 应用叠加定理，分别求出每个激励分量作用时的响应。 （1）当直流电压u=2V单独作用时

41. （2）当2cost单独作用时，激励相量为 响应电压相量： （3）当3sin2t=3cos(2t-90º)单独作用时，激励相量为

42. 叠加得 结论：对于非正弦周期信号电路的分析，可以采用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，将各个分量叠加，得到非正弦周期信号下的响应。

43. 2 非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱 若周期函数 满足狄利赫利条件 则可展开成收敛的傅里叶级数 式中各个系数满足:

44. 也可表示成： 直流分量 基波（和原 函数同频） 二次谐波 （2倍频） 高次谐波 式中:

45. f (t) 如 如 0 －T/2 T/2 t f (t) T/2 －T/2 t o 当f(t)是： • 偶函数 • 奇函数

46. 如 T T/2 f (t) t o • 奇谐波函数 利用函数的对称性可使系数的确定简化

47. A f (t) 0 －T/2 T/2 t －A 【例8.5】将图8-19所示的方波分解成傅里叶级数。 解： 是偶函数（也为奇谐波函数）

48. A f (t) 0 －T/2 T/2 t －A 傅里叶级数为 3 非正弦周期函数的有效值与平均功率 若任一周期电流 i的有效值I

49. 平方展开后含有: 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。

50. 为0 4.非正弦周期交流电路的平均功率 平均功率等于直流分量的功率和各次谐波平均功率的代数和 平均功率P