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統計學

統計學. 郭信霖 許淑卿. 第三章 資料的測度與描述. ■ 3-1 集中趨勢量數 ■ 3-2 離勢量數 ■ 3-3 形狀 ■ 3-4 平均數與標準差的應用 ■ 3-5 枝葉圖及箱形圖 ■ 3-6 電腦範例 ■ 3-7 流程圖. 透過各種蒐集方法的資料經過整理後，還需進一步描述一群數量資料的特性，其方法大致有： 1. 集中趨勢量數（ measured of central tendency ）。 2. 離勢量數（ measured of dispersion ）。 3. 形狀（ shape ）。.

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  1. 統計學 郭信霖 許淑卿

  2. 第三章 資料的測度與描述 ■ 3-1 集中趨勢量數 ■ 3-2 離勢量數 ■ 3-3 形狀 ■ 3-4 平均數與標準差的應用 ■ 3-5 枝葉圖及箱形圖 ■ 3-6 電腦範例 ■ 3-7 流程圖

  3. 透過各種蒐集方法的資料經過整理後，還需進一步描述一群數量資料的特性，其方法大致有：透過各種蒐集方法的資料經過整理後，還需進一步描述一群數量資料的特性，其方法大致有： 1. 集中趨勢量數（measured of central tendency）。 2. 離勢量數（measured of dispersion）。 3. 形狀（shape）。

  4. 3-1 集中趨勢量數 用來描述該組資料的中心位置所在或集中的程度，謂之集中趨勢量勢，又稱中心位置量數（measure of central location）。 一、平均數（mean） (一)算術平均數 • A. 未分組資料： • 1. 母體資料：母體平均數  • 2. 樣本資料：樣本平均數 、 等。

  5. (二)加權算術平均數： • 母體加權算術平均數 w = = 樣本加權算術平均數 =

  6. 組界 次數fi 組中點mi fimi L1～U1 f1 m1 f1m1 L2～U2 f2 m2 f2m2     Lk～Uk fk mk fkmk 合 計 • B. 已分組資料：

  7. (1) 母體平均數：= ，N = 。 • (2) 樣本平均數： = ，n = 。

  8. 二、中位數（median）：通常以Me（或）表示。二、中位數（median）：通常以Me（或）表示。 • A. 未分組資料 其步驟如下： • 1. 由小到大順序排列，X(1)X(2) … X(n)。 • 2. Me =

  9. B. 已分組資料 • Me = Li + h 三、其他分位數： • 四分位數（Quartiles，Qi，i = 1, 2, 3） • 十分位數（Deciles，Di，i = 1, 2, ‥．, 9） • 百分位數（Percentiles，Pi，i = 1, 2, ‥．, 99） 。

  10. A. 未分組資料 • B. 已分組資料 • Me、Qj、Dj及Pj之關係 • 1. 表3-13

  11. 2. (1) Me = Q2 = D5 = P50 (2) Q1 = P25，Q3 = P75 (3) D1 = P10； D2 = P20‥．D9 = P90

  12. 四、眾數（mode）：通常以M0表示。 • (三) 眾數的求法 • A. 未分組資料 • B. 已分組資料 • 普通求眾數的方法大致有：

  13. 1. 視察法 • 2. King’s插補法（W.I. King’s method） • 3. Czuber’s比例法（Czuber’s proportional method） • 4. Perason’s經驗法（K. Pearson’s method） • 當次數分配為單峰對稱時，則 = Me =M0 • 當次數分配為單峰微偏時，則 -M0  3( -Me)或M0- 3( -Me)

  14. 圖3-3 單峰對稱分配

  15. 圖3-4 單峰微偏分配

  16. ※五、全距中點（midrange）與中樞紐（midhinge）※五、全距中點（midrange）與中樞紐（midhinge） • (一) 全距中點（midrange） • (二) 中樞紐（midhinge） • 六、截尾平均數與溫塞平均數 • 1. 截尾平均數 • 2. 溫塞平均數

  17. 3-2 離勢量數 • 離勢（dispersion），又稱為離差（derivation）或差異量數。 • 一、意義 • 離勢是用來衡量資料的集中或分散程度，亦就是測量各個觀測值之間的差異變化情形。 • 如表3-15。

  18. 二、種類 • 離勢量數：(一) 絕對離勢量數（measure of absolute dispersion）

  19. 1. 全距（range，R） • 2. 四分位差（quartile deviation，Q.D.） • 3. 平均偏差（average deviation，A.D.） • 4. 變異數與標準差（variance and standard deviation）

  20. 母體變異數 2 = = -  2 • A. 未分組資料

  21. 樣本變異數 S 2 = = = =

  22. 母體標準差 =  0 = 樣本標準差 S = =  0

  23. 變異數性質： (1) 設X的母體變異數為 ，平均數為X， 若Y = aX + b，a，b R，則 Y = aX +b， = a2 (2) 

  24. (3) 若甲、乙二組母體資料的變異數、平均數及大小如下表，則合併後之平均數、變異數為何？(3) 若甲、乙二組母體資料的變異數、平均數及大小如下表，則合併後之平均數、變異數為何？ • 表3-16

  25. 則 總平均數 = ，N = N1 + N2 總變異數 2 = + 2

  26. (4)推廣至k組母體、樣本資料，求合併後之平均數、變異數。(4)推廣至k組母體、樣本資料，求合併後之平均數、變異數。 總母體平均數 = ，N = N1 + …… + Nk 總母體變異數 2 = 總樣本平均數 = ，n = n1 +n2 + …… + nk 總樣本變異數S 2 =

  27. (5)

  28. B. 已分組資料 2 = = -2 S 2 = =

  29. (二) 相對離勢量數（measure of relative disperson） • 相對離勢量數中最常用的變異係數（coefficient of variation，C.V.）是指標準差與平均數的比值，

  30. 即 C.V. =  100%……母體資料  100%……樣本資料 = 相對離勢量數的主要功用： 1.比較幾組資料單位不同的差異情形。 2.比較幾組資料單位相同，但平均數相差懸殊之差異情形。

  31. 3-3 形狀（Shape） • 反映資料的分佈形狀： 偏態係數及峰度係數。 • 一、偏態係數（coefficient of skewness，SK） • 所謂偏態（skewness）是指次數分配形態不對稱的偏斜的方向和程度。用以測度偏態的量數，稱之為偏態係數，通常以SK表示。

  32. 若SK = 0，表示資料呈對稱分配。 • 若SK > 0，表示資料呈右偏或正偏（right or positively skewed）分配。 • 若SK < 0，表示資料呈左偏或負偏（left or negatively skewed）分配。

  33. 圖3-6 資料的分配形狀

  34. SKB = = SKP = ……母體資料 = ……樣本資料 = = 偏態係數的計算方法有很多，一般較常用者有二種： 1.Bowley公式：Bowley偏態係數，其公式如下： 2.Pearson公式：Pearson偏態係數，其公式如下：

  35. ※二、峰度係數（coefficient of kurtosis） 測量峰度高低的量數稱為峰度係數，通常以k表示。 k = = =

  36. 1. k > 3，表示資料分布呈高狹峰（lepto kurtosis）。 • 2. k = 3，表示資料分布呈常態峰（normal kurtosis）。 • 3. k < 3，表示資料分布呈低潤峰（platy kurtosis）。

  37. 圖3-7 峰度不同的次數分配

  38. 3-4 平均數與標準差的應用 • 一、謝比雪夫定理（Chebyshev’s Theorem） • 任何一組資料中，會落在平均數左右各k個標準差之範圍內的觀測值至少佔有 100%，k > 1。

  39. 表3-21

  40. 二、經驗法則（empirical rule） • 設資料近似單峰對稱分配，則 • 1. 在平均數左右1個標準差之範圍內的觀測值約佔68%。 • 2. 在平均數左右2個標準差之範圍內的觀測值約佔95%。 • 3. 在平均數左右3個標準差之範圍內的觀測值約佔99.7 %。 • 將謝比雪夫定理，經驗法則與實際結果整理如下表：

  41. 表3-22 其中N表全部資料的個數，a表落在(- ,  + )之間的個數，b表落在(- 2,  + 2)之間的個數，c表落在(- 3,  + 3)之間的個數。

  42. 3-5 枝葉圖（Stem and leaf） 及箱形圖（Box-plot） • 探索性資料分析方法：一為枝葉圖（stem and leaf），另一為箱形圖（box- plot）。 • 一、枝葉圖（Stem and leaf）又稱莖葉圖 • 枝葉圖是次數分配表和次數直方圖的結合，並保有原始觀測值的訊息。其編製步驟如下：

  43. 1. 『樹枝』（stem），即資料中重複出現的部分，以取代組界的地位。1. 『樹枝』（stem），即資料中重複出現的部分，以取代組界的地位。 • 2. 『樹葉』（leaf），即枝幹以外的部分，以取代組次數的地位。 • 3. 將每一樹枝中葉的值由小到大順序排列，即為有序枝葉圖。

  44. 1. 若定組距為10（即長度為10），則所求的枝葉圖為一枝一葉。1. 若定組距為10（即長度為10），則所求的枝葉圖為一枝一葉。 圖3-8

  45. 2. 當資料個數眾多時，可考慮縮小組距。 若定組距為5（即長度為5），則數值0，1，2，3，4以“＊”符號表示；數值5，6，7，8，9以“”符號表示。因此，枝葉圖變為一枝二葉。 圖3-9

  46. (2) 若定組距為2（即長度為2），則0，1以“＊”表示；2，3以“t”表示；4，5以“f ”表示；6，7以“s”表示；8，9以“‧”表示，此枝葉圖變為一枝五葉 圖3-10

  47. 由這三個枝葉圖可知，例2-4.4，應以組距為2，所編製的次數分配表，才能看出原始資料的分佈狀況。由這三個枝葉圖可知，例2-4.4，應以組距為2，所編製的次數分配表，才能看出原始資料的分佈狀況。 圖3-11

  48. 由枝葉圖中可了解以下幾點： • 1. 該組原始資料的分佈形況。 • 2. 資料的中心點位置。 • 3. 資料是否對稱。 • 4. 是否有離群值（outlier）。

  49. 二、箱形圖（Box-plot）又稱盒鬚圖（box and whisker plot） • 五種數值的彙總：X(1)、Q1、Me、Q3、X(n)，可用來了解資料的分佈形狀。 • 若資料為完全對稱分配，則 • (1) Q3 - Me = Me - Q1 • (2) X(n) - Q3 = Q1 - X(1) • (3) Me = 中樞紐 = 全距中點 =

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