1 / 14

1 6 . Lihtsad hulgad.

1 6 . Lihtsad hulgad. Eelnevas jäid lahtiseks veel sellised küsimused: Kas iga mitterekursiivne, rekursiivselt loenduv hulk on kreatiivne? Kas iga mitterekursiivne, rekursiivselt loenduv hulk on m-täielik?

masao
Download Presentation

1 6 . Lihtsad hulgad.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 16. Lihtsad hulgad. Eelnevas jäid lahtiseks veel sellised küsimused: • Kas iga mitterekursiivne, rekursiivselt loenduv hulk on kreatiivne? • Kas iga mitterekursiivne, rekursiivselt loenduv hulk on m-täielik? • Kas 1 ja m langevad kokku mitterekursiivsetel rekursiivselt loenduvatel hulkadel?

  2. Kõigil neil küsimustel on eitav vastus ja selle tõestamiseks võtame kasutusele veel ühe mõiste. Leidub lõpmatuid hulki, millel pole lõpmatuid rekursiivselt loenduvaid alamhulki. Kui sellisel hulgal on rekursiivselt loenduv täiend, siis seda täiendit nimetatakse lihtsaks hulgaks. Def. Hulk A on lihtne, kui • A on rekursiivselt loenduv, • Aon lõpmatu, • B (B on lõpmatu ja rekursiivselt loenduv) => BA

  3. Teoreem 1. • Kui A on lihtne, siis A ei ole rekursiivne. • Kui A on lihtne, siis A ei ole kreatiivne. • Kui A on lihtne, siis A ei ole m-täielik. • Kui A on lihtne, siis A ei ole silinder. Teoreem 2. On olemas hulk, mis on lihtne. Järeldus. Leidub mitterekursiivseid, rekursiivselt loenduvaid hulki, mis pole ei m-täielikud, kreatiivsed ega silindrid. Järeldus. 1 ja m ei lange mitterekursiivsetel, rekursiivselt loenduvatel hulkadel kokku, seega ka 1 ja m ei lange sellistel hulkadel kokku.

  4. Def. Hulka A nimetatakse immuunseks, kui • A on lõpmatu • B (B on lõpmatu ja rekursiivselt loenduv => BA. Seega lihtsa hulga täiend on immuunne. Teoreem 3. Leidub rekursiivselt loenduv hulk, mis pole ei rekursiivne, lihtne ega kreatiivne. Järeldus. Leidub hulki, mis pole ei rekursiivselt loenduvad, produktiivsed ega immuunsed.

  5. Teoreem 4. Lihtsa hulga m-järk sisaldab lõpmatut 1-järkude kogumit, mis on 1-taanduvuse mõttes järjestatud nagu täisarvud ( …, -2, -1, 0, 1, 2, …), kusjuures kõik need 1-järgud koosnevad ainult lihtsatest hulkadest. Järeldus. Immuunse hulga m-järk sisaldab lõpmata palju 1-järke.

  6. 17. Tõeväärtustabeli-taanduvus. Ütleme, et hulk A on taanduv hulgale B, kui leidub selline efektiivne protseduur, et saame iga x jaoks leida • lõpliku hulga täisarve {y1, y2, …, yk} • kirjelduse, kuidas vastused küsimustele “kas y1B”, “kas y2B”, …,“kas ykB”, määravad vastuse küsimusele “kas xA”

  7. Näiteks A=KK on taanduv hulgale B=K: Antud x põhjal võtame täisarvude hulga {1(x), 2(x)}. Kui 1(x)B ja 2(x)B, siis xA. Kui 1(x) B ja 2(x)B, siis xA. • Samamoodi on A= K on taanduv hulgale B=K: Antud x põhjal võtame hulga {x}. Kui xB, siis xA. Kui xB, siis xA.

  8. Uue taanduvuse täpseks defineerimiseks vajame veel järgmist tähistust. Def. I = {0,1} Ik = II…I, kus otsekorrutist võetakse k korda. Def. Kujutust  nimetatakse k-muutuja Boole’i funktsiooniks, kui :IkI. • Boole’i funktsioon on lõplik objekt. Loogikas nimetatakse Boole’i funktsiooni mõnikord tõeväärtustabeliks.

  9. Def. Järjestatud paari ‹‹x1, …, xk›, ›, kus ‹x1, …, xk› on järjend k täisarvust ja on Boole’i funktsioon, nimetatakse tõeväärtustabeli tingimuseks (tt-tingimuseks) normiga k. Hulka ‹x1, …, xk› nimetatakse tt-tingimusega seotud hulgaks. Def. HulkA rahuldabtt-tingimust ‹‹x1, …, xk›, ›, kui (CA(x1), …, CA(xk)) = 1, kus CA on hulga A karakteristlik funktsioon. • Iga tt-tingimus on lõplik objekt. Võime tt-tingimused efektiivselt kodeerida naturaalarvudeks, s.t. need nummerdada.

  10. Def. Hulk A on tõeväärtustabeli-taanduv (tt-taanduv) hulgale B (AttB), kui leidub selline rekursiivne funktsioon f, et kõigi x jaoks xAB rahuldab tt-tingimustf(x). Teoreem 1. tt on refleksiivne ja transitiivne. Def. A ttB, kui AttB ja BttA. Vastavaid ekvivalentsiklasse nimetatakse tt-järkudeks. Def. Hulk A on tt-täielik, kui • A on rekursiivselt loenduv • B (B on rekursiivselt loenduv => BttA).

  11. Teoreem 2. (a)   A m B => A tt B. (b)   A tt A (seega A tt A). (c)    tt-taanduvuse järjestus on ülemine poolvõre. (d)   (B on rekursiivne ja A tt B) => A on rekursiivne. (e)    A on rekursiivne => BA tt B. m-taanduvus ja tt-taanduvus ei lange üldiselt hulkadel kokku. Nad erinevad ka rekursiivselt loenduvatel hulkadel ning leidub isegi tt-täielikke hulki, mis pole m-täielikud.

  12. Teoreem 3. Leidub hulk, mis on korraga lihtne ja tt-täielik. Järeldus. Leidub hulk, mis on tt-täielik, kuid pole m-täielik. Seega erinevad m ja ttrekursiivselt loenduvatel hulkadel. • Võime uurida ka tt-järkude struktuuri m-järkude ja 1-järkude mõttes. Def. Btt = {xB rahuldab tt-tingimust x}. Def. Hulk A on tt-silinder, kui ABtt mingi B jaoks.

  13. Teoreem 4. (1)A 1 Att. (2)Atttt A (ja seega Att Att). (3) Kui A on tt-silinder, siis A on silinder. (4) A on tt-silinder B (Btt A => B1A). (5)A tt BAtt1Btt.

  14. Järeldus. Hulk A on tt-silinder Att1AA Att. Seega sisaldab iga tt-järk maksimaalset 1-järku (ning seega ka maksimaalset m-järku) ning see 1-järk on saadav igast selles tt-järgus sisalduvast hulgast, tehes sellest tt-silindri. Üks rekursiivselt loenduv tt-järk võib sisaldada lõpmatult palju rekursiivselt loenduvaid m-järke. Teoreem 5. Täielik tt-järk sisaldab rekursiivselt loenduvate m-järkude kogumit, mis on järjestatud lineaarselt nagu naturaalarvud (0, 1, 2, …).

More Related