Решение задач по теме: «Сечение многогранников»

1. Решение задач по теме: «Сечение многогранников» РТ г. Казань Московский район УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ: ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ № 20 СУББОТИНА Л. Н.; ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ № 99АХМЕТЗЯНОВА А. С.

2. Являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных на рисунках треугольных и четырехугольных пирамид плоскостями PQR

3. Сечение куба плоскостью • 1.Могут ли куб Ф и плоскость α иметь: • а) только одну общую точку; • б) Только две общие точки; • в) только один общий отрезок; • г) не иметь ни одной общей точки? • 2. Сколько сторон может иметь многоугольник, полученный при пересечении куба плоскостью? • 3. Какие виды четырехугольника могут получиться при пересечении куба плоскостью?

4. Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L N B1 C1 • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; A1 D1 M B C A D L

5. 1Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B1 N C1 • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; • ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; X1 A1 D1 M B C A D L

6. 1Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B1 N C1 • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; • ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; • α ∩ (A1B1D1D1) = KN; K X1 A1 D1 M B C A D L

7. 1Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B1 N C1 • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; • ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; • α ∩ (A1B1D1D1) = KN; • α ∩ (AA1B1B) = MK; • ML ∩ (DD1C1C) = = ML ∩ DD1 = X2; K X1 A1 D1 M B C A D L X2

8. Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L X3 K B1 N • ПОСТРОЕНИЕ: • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; • ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; • α ∩ (A1B1D1D1) = KN; • α ∩ (AA1B1B) = MK; • ML ∩ (DD1C1C) = = ML ∩ DD1 = X2; • KN ∩ (DD1C1C) = = KN ∩ D1C1 = X3; X1 C1 A1 D1 M B C A D L X2

9. Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L X3 B1 N • ПОСТРОЕНИЕ: • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; • ML ∩ (A1B1D1D1) = ML ∩ A1D1 = X1; • α ∩ (A1B1D1D1) = =KN; • α ∩ (AA1B1B) = MK; • ML ∩ (DD1C1C) = = ML ∩ DD1 = X2; • KN ∩ (DD1C1C) = = KN ∩ D1C1 = X3; • α∩ (DD1C1C) =TP; K C1 X1 T A1 D1 M B C P D A L X2

10. Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L X3 K B1 N • ПОСТРОЕНИЕ: • (MNL)=α; • Точки M, L лежат в одной плоскости. • α ∩ (AA1DD1) = ML; • ML ∩ (A1B1D1D1) = = ML ∩ A1D1 = X1; • α ∩ (A1B1D1D1) = KN; • α ∩ (AA1B1B) = MK; • ML ∩ (DD1C1C) = = ML ∩ DD1 = X2; • KN ∩ (DD1C1C) = = KN ∩ D1C1 = X3; • α∩ (DD1C1C) =TP; • α∩ (ABCD) =LP; • α∩ (BB1C1C) =NT; • LMKNTP-искомое сечение • MK║ TP, KN ║ LP, NT ║ ML. X1 C1 T A1 D1 M B C P L D A X2

11. B1 C1 A1 D1 B C A D Задача 1Построить сечение через заданные точки • Получим вспомогательные точки Х1 и Х2. • Соединив точки Х1 и Х2, получим точки Х3 и Х4. • Строим отрезки АХ3 и СХ4 (пунктиром). • Получим сечение NMPX4X3 M Р Х2 N Х4 Х3 Х1

12. Задача 2Построить сечение через заданные точки X1 X4 B1 • AD1∩MP=X2; • MK∩А1В1=X1; • X1X2∩C1D1=X3; • X1X2∩B1C1=X3; • MPX3X4K- искомое сечение C1 X3 A1 D1 K X2 P B C M A D

13. Задача 4Построить сечение через заданные точки X1 B1 C1 • HT ∩DD1 = X1; • X1K ∩ AD = X2; • X2K ∩ AА1=X3; • X2H∩AВ=X4; • HTKX3X4 – искомое сечение K T A1 D1 X3 B C X4 X2 H D A

14. 1Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, S, F X1 B1 C1 • Точки M, F лежат в одной плоскости. • MF ∩ DD1 = X1; • Теперь точки X1, S лежат в одной плоскости. • Соединяем их, получим: X1S ∩ D1C1= X2; • Точки M, S так же лежат в одной плоскости. • Получим сечение MSX2F F X2 A1 D1 B C S A D M

15. 2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки R, E, G X1 • RE∩DD1=X1; • X1G∩D1C1=X2; • X1G ∩DC= X3; • X3R ∩ BC= X4; • ERX4GX2 – искомое сечение B1 C1 E X2 A1 D1 G B X3 X4 C A D R

16. B1 C1 A1 D1 B C A D ответ 3 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М,V, К • MV∩B1C1=X1; • X1K∩A1B1= = X2 ; • KX3║MV; • KX3 ∩ AD= X4; • DC ∩ VX4 = X5; • VMX2KX3X 5 – искомоесечение Х1 X2 M K V X5 X3 X4

17. B1 C1 A1 D1 B C A D 4 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки F, S, W • Точки F и S в одной плоскости DD1С1C. • Прямая FS пересекается с прямой DC в точке Х1. • Точки W и Х1 лежат в одной плоскости АВСD. • Прямая WХ1 пересекается с прямой AD в точке Х2, с прямой ВС - Х3. • Получим сечение FSX2 W X4 F X4 X3 S W X2 X1

18. ответ D1 C1 • В кубе АВСDА1В1С1D1 проведены диагонали так, как показано на рисунке. • Докажите: а) В1СD1 А- тетраэдр; • б) найдите поверхность тетраэдра, если ребро равно a. B1 A1 D C A B

19. Задачи для индивидуальной работы: • 1.Установите вид сечения куба плоскостью α : • а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; • б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ; • в) докажите.

20. Задачи для индивидуальной работы: • 1.Установите вид сечения куба плоскостью α : • а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; • б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ; • в) докажите.

21. Задачи для индивидуальной работы: • 1.Установите вид сечения куба плоскостью α : • а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; • б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ; • в) докажите.

22. Задачи для индивидуальной работы:

23. Задачи для индивидуальной работы:

24. Задачи для индивидуальной работы:

25. Задачи для индивидуальной работы:

26. Контрольная работа по теме: «Сечения многогранников»