Системы счисления

1. Системы счисления

2. содержание • Числа и системы счисления • Позиционные и непозиционные системы счисления • Основные понятия позиционной системы счисления • Форма представления чисел в позиционных системах счисления • Перевод чисел из одной позиционной системы в другую • Тест для тех, кому интересна история • Тест по основным понятиям темы • Литература • Заключение

3. Числа и системы счисления Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. История возникновения чисел уходит в далекое прошлое. С ними тесно связано еще одно важное понятие – система счисления. Содержание Следующийслайд конец

4. Выделяют позиционные и непозиционные системы счисления. В современной математике применяется система счисления, которая является позиционной десятичной системой. Содержание конец

5. Примерами древнейших систем счисления являются дошедшая до нас римская система записи чисел, а также система славянских цифр, египетские иероглифы, цифры племен майя и других народов(островитян, финикийцев, сирийцев, греков). В основном все ранние системы счисления были непозиционными. Они были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и делении. Чтобы преодолеть эти недостатки, человечество придумало позиционные системы счисления. Одной из первых стала вавилонская. Содержание конец

6. Примеры систем счисления Содержание конец

7. В любой позиционной системе счисления выделяют такие понятия как алфавит, основание(мощность алфавита),и базис системы. Содержание конец

8. Замечание! За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число большее 1. Содержание конец

9. Таким образом, для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n арабских цифр.Вот примеры алфавитов нескольких систем: конец Содержание

10. Если основание n меньше или равно 10, используют n первых арабских цифр, а при n большем 10 к арабским цифрам добавляют буквы Так алфавит шестнадцатеричной системы (n=16)состоит из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,А, B,C,D,E,F. Содержание конец

11. Как по записи числа определить, о какой системе счисления идет речь? Число 10 может трактоваться по разному: во-первых, как «десять» в десятичной системе счисления, как «один и ноль» в двоичной системе. Для того, чтобы не было путаницы, принята специальная форма записи: основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу. Например, 1011012 , 36718 и т.д. Содержание конец

12. Всякое число N в позиционной системе счисления может быть представлено в виде суммы произведений некоторых коэффициентов на соответствующие степени основания системы. Множество всех степеней основания данной системы называется базисом системы. Содержание конец

13. n0,n1,n2,… - базис системы. А что же из себя представляют коэффициенты an,an-1,…a0? Нетрудно заметить, что они являются цифрами числа, записанного в системе счисления с основанием n. Действительно, в разложении числа 127 a0=7, a1=2, a2=1. Записывая теперь число a2a1a0,, мы получаем запись числа 127 в десятичной системе счисления. Значит, число 1410=11102=168 Таким образом, всякое число N можно записать в виде:N=annm+an-1nm-1+…+a1n1+a0, где Содержание конец

14. Иными словами, число 14, записанное в десятичной системе, в двоичной представлено как 1110 ( читается: «один, один, один, ноль»), в восьмеричной – 16 (читается: «один, шесть»). Содержание конец

15. Замечание! Основание любой позиционной системы счисления записывается как 10n («один, ноль» в этой системе)! Пример. Число 2 в двоичной системе 102, Содержание конец

16. Проверь себя! 1. Число 8, записанное в десятичной системе счисления, имеет разложение 8=8х100. В системе с каким основанием это число представляется в виде 8=1х23+0х22+0х21+0х20? n=4 n=3 n=2 n=5 Содержание конец

17. Укажи базис этой системы Как прочитать число 10002 ? • «десять, ноль, ноль» • «тысяча» • «один, ноль, ноль, ноль» 1, 3, 32, 33, … 20, 21, 22, 23 1, 2, 4, 8, 16, … 1, 4, 16, 32, … Содержание конец

18. Перевод чисел из одной позиционной системы в другую.Таким образом, раскладывая десятичное число на слагаемые, содержащие степени n, получаем запись этого числа в системе с основанием n . Однако, предоставить такое разложение не всегда легко, например попробуйте разложить число 157. Существует другой способ: данное десятичное число- делится с остатком на основание системы. Полученный остаток это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который равен второй справа цифре и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное – старшая цифра искомого числа. Содержание конец

19. а1 а2 Данный алгоритм перевода чисел показан на примере числа 14. 14 2 Число 1410=а3а2а1а0= 14 7 2 =11102. 0 6 3 2 1 2 1 2 - основание 1 новой системы а0 а3 Содержание конец

20. Пусть у нас есть число 1123.. Много это или мало? Чтобы ответить на этот вопрос, потребуется записать данное число в десятичной системе. Но как это сделать? Представьте себе, что некоторое число Х10 =1123. Чтобы получить запись числа Х в троичной системе счисления, надо (1 способ) разложить его в виде произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания, т.е. записать так: Х10=2х30+1х31+1х32 =2+3+9=14. и мы снова получили число 14. Теперь мы знаем, что 1410=11102=1123. Записав его в системе с основанием 4 получим 32 («не тридцать два», а «три, два»). Сравнив запись одного и того же числа в разных системах счисления, заметим: чем больше основание, тем меньше требуется цифр, чтобы его записать. Рассмотрим алгоритм перевода в десятичную систему. Итак, мы научились переводить числа из десятичной системы в любую другую. Возможно ли осуществить обратный процесс?

21. Алгоритм перевода в десятичную систему счисления Пусть дано число 10112. Переведем его в десятичную систему. Для этого проделаем следующее: • Запишем число 10112. • Подпишем над каждым разрядом соответствующую степень основания, т.е. двойки. • Устно перемножим цифры, стоящие на одной вертикали и сложим их. Полученный результат – число в десятичной системе счисления. 23 + 22 + 21 + 20 = 14 1 0 1 1 Содержание конец

22. Перевод дробных чисел Пусть дано число 101,112. Для того, чтобы его перевести в десятичную систему, согласно алгоритму, надо умножить цифры, стоящие в каждом разряде на соответствующие степени основания – двойки, а затем полученные результаты сложить. 101,112=1х22+0х21+1х20+1х2-1+1х2-2 =5,7510 Содержание конец

23. Тест для тех, кто любит историю • Для обозначения этого числа у многих народов использовался один и тот же символ. 1. десять 3. один 2. сто 4. шестьдесят • К иероглифическим системам не относится 1. Римская 3. Ионическая 2. Египетская 4. Финикийская содержание

24. 1. Какое число зашифровано римскими цифрами MCMXCIV? 45641994 1242006 2. Какое число получится, если сложить MXLVII и MCMLIII ? 20004005 5611001 3. В какой системе счисления «тьма тем является легионом, легион легионов есть леодр, леодр леодров - ворон»? СирийскойСлавянской ВавилонскойЕгипетской Содержание

25. В какой системе счисления для обозначения цифр использовался специальный знак – клин? ЕгипетскойРимской ВавилонскойГреческой Зная набор египетских иероглифов, прочти число: 23262323 23242327 Содержание

26. Где зародилась десятичная система счисления? в: ИндииКитае ВавилонеЕгипте Какие народы считали с помощью различных частей тела, в том числе и с помощью локтей, запястья, кисти? ВавилонянеСлавяне РимлянеОстровитяне Содержание

27. Тест по основным понятиям темы Позиционная система счисления – это: • система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. • система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от ее позиции. Примером позиционной системы является: РимскаяВавилонская ЕгипетскаяЦифры племен майя Содержание

28. Выберите правильное утверждение Существует одна позиционная система. Существует конечное множество позиционных систем. Существует бесконечно много позиционных систем. Закончите фразу: мощностью алфавита называется: Базис системы счисления Основание системы счисления Каково наименьшее основание для позиционной системы счисления? 31 20 Содержание

29. Прочтите шуточный стишок и ответьте на вопрос:в какой системе счисления живет девочка? Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Ответы: Когда пыля десятком ног, Она шагала по дороге, троичной За ней всегда бежал щенок двоичной С одним хвостом, зато стоногий. шестнадцатеричной Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали, И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. Содержание

30. Система счисления, в которой 8+1=10 является… двоичнойдевятеричной восьмеричнойдесятичной Как не может быть записано число в пятеричной системе счисления 1234154 324 Десятичное число 7 в двоичной системе счисления записывается как 100110 101111 Содержание

31. Каким соотношением связаны числа: 10102 и 1023? 10102>102310102< 102310102= 1023 В учебном центре учатся 213 человек – 122 юноши и 41 девушка. Количество учащихся подсчитано в системе счисления… двоичной четверичной троичнойпятеричной Содержание

32. Вот пожалуй и все. • Если даже у тебя не все получалось, то не расстраивайся. Ты можешь начать сначала.

33. На этом мы расстаемся… Если конечно ты не хочешь начать все сначала