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工业设计机械基础习题解答. 第一篇 工程力学基础 第一章 工程力学的基本概念 第二章 产品与构件的静力分析 第三章 构件与产品的强度分析 第四章 构件的刚度、压杆稳定和动载荷问题 第二篇 机械设计基础 第六章 机械零件基础 第七章 常用机构 第八章 机械传动基础. 目 录. 1.
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工业设计机械基础习题解答 第一篇 工程力学基础 第一章 工程力学的基本概念 第二章 产品与构件的静力分析 第三章 构件与产品的强度分析 第四章 构件的刚度、压杆稳定和动载荷问题 第二篇 机械设计基础 第六章 机械零件基础 第七章 常用机构 第八章 机械传动基础 目 录
1 • 1–10 画出图 1-40图中AB杆的受力图(未标重力矢G的杆,其自重忽略不计。各接触面为光滑面)。 解 ⑴图1-40a ⑵图1-40b 1 图1-40 题1-10图 ⑶图1-40c ⑷图1-40d
第一章 工程力学的基本概念 1-6 刚体在A、B两点分别受到F1、F2两力的作 用,如图1-36 所示,试用图示法画出F1、F2的合力R;若要使该刚体处于平衡状态,应该施加怎样一个力?试将这个力加标在图上。 1 解 合力R用蓝线画出如图; 平衡力用红线画出如图。 1-7 A、B 两构件分别受F1、F2两力的作用如图1-37所示,且F1 = F2,假设两构件间的接触面是光滑的,问:A、B两构件能否保持平衡?为什么? 答 A、B两构件不能保持平衡。理由: A、B两构件接触面上的作用力必与 接触面垂直,与F1、F2不在同一条线上。 图1-37 题 1-7图
1 1–8 指出图1-38中的二力构件,并画出它们的受力图。 解 ⑴图1-38a AB、AC均为二力构件,受力图如下。 1 图1-38 题1-8图 ⑵图1-38b 曲杆BC为二力构件,受力图如下。 ⑶图1-38c 曲杆AC为二力构件,受力图如下。
1 1–9 检查图 1-39的受力图是否有误,并改正其错误(未标重力矢G 的杆,其自重忽略不计。图1-39b中的接触面为光滑面)。 解 在错误的力矢线旁打了“×”符号,并用红色线条改正原图中的错误如下。 1 图1-39 题1-9图
1 • 1–11 画出图 1-41各图中各个球的受力图。球的重量为G,各接触面均为光滑面。 解 ⑴图1-41a ⑵图1-41b 1 图1-41 题1-11 图 ⑶图1-41c ⑷图1-41d
1 • 1–12 画出图1-42a、b中各个杆件的受力图(未标重力矢G的杆,其自重忽略不计。各接触面均为光滑面)。 解 ⑴图1-42a ⑵图1-42b 1 图1-42 题1-12 图 1-13 固定铰支座约束反力的方向一般需根据外载荷等具体条件加以确定,但特定情况下却能直接加以判定。请分析图1-43a、b、c三图中固定铰支座A,如能直接判定其约束反力的方向(不计构件自重),试将约束反力的方向在图上加以标示。(提示:利用三力平衡汇交定理) 解 ⑴图1-43a 图1-43 题1-13图
1 ⑵图1-43b ⑶图1-43c ∵BC为二力杆,可得NC的方向,再用三力 平衡汇交定理。 1 1-14 画出图1-44所示物系中各球体和杆的受力图。 解 ⑴各球体受力图如右 图1-44 题1-14图 ⑵此为两端受拉的二力杆
1 解 小车受力图 1-15 重量为G的小车用绳子系住,绳子饶过光滑的滑轮,并在一端有F力拉住,如图 1-45所示。设小车沿光滑斜面匀速上升,试画出小 车的受力图。(提示:小车匀速运动表示处于平衡状态) 1 图1-45 题 1-15图 1-16 分别画出图 1-46中梁ABC、梁CD 及组合梁ABCD 整体的受力图。(提示:先分析CD梁,可 确定C处的作用力方向;然后梁ABC的受力图才能完善地画出) 解 ⑴组合梁ABCD 的受力图 图1-46 题1-16图 ⑶ABC梁的受力图(在NC方向已确定的基础上) ⑵CD梁的受力图 需用三力平衡汇交定理确定NC的方向
第二章 产品与构件的静力分析 2-1图2-55中各力的大小均为1000N,求各力在x、y轴上的投影。解 先写出各力与x轴所夹锐角,然后由式﹙2-1﹚计算力在轴上的投影。 力 F1F2F3F4F5F6与x轴间的锐角α 45° 0° 60° 60° 45° 30°力的投影 Fx=±Fcosα 707N -1000N 500N -500N 707N -866N 力的投影 F y=±Fsinα 707N 0 -866N -866N 707N 500N 1 图2-55 题2-1图 2-2图2-56中各力的大小为F1=10N,F2=6N,F3=8N,F4=12N,试求合力的大小和方向。 解1)求各力在图示x轴和y轴上的投影F1x=10N×cos0°=10NF1y=10N×sin0°=0 F2x=6N×cos90°=0 F2y=6N×sin0°=6N F3X=-8N×cos45°=-5.657N F3y=8N×sin45°=5.657N F4x=-12N× cos30°=-10.392N F4y=-12N×sin30°=-6N2)求各力投影的代数和 Rx=ΣFx=F1x+F2x+F3x+F4x=-6.047N Ry=ΣFy=F1y+F2y+F3y+F4y=5.657N 图2-56 题2-2图 3)根据式(2-4)求出合力R的大小和方向 合力R的大小
1 合力R与x轴所形成的锐角 由于Rx<0,Ry>0,根据合力指向的判定规则可知,合力R指向左上方。 2-3图2-57中,若F1和F2的合力R对A点的力矩为MA(R)=60N·m,F1=10N,F2=40N,杆AB长2m,求力F2和杆AB间的夹角α。 1 解 根据力矩的定义,用式(2-5)计算 MA(R)=MA(F1)+MA(F2) =F1 ×2m+F2 ×(2m ×sin α) =(10N ×2m) +( 40N ×2m ×sin α) =20N·m+( 80N·m )sin α 代入已知值 MA(R)=60N·m 图2-57 题2-3图 得到 sin α=0.5, 即α=30°。 2-4 提升建筑材料的装置如图2-58所示,横杆AB用铰链挂在立柱的C点。若材料重G=5kN,横杆 AB与立柱间夹角为60°时,试计算: 1)力F的方向铅垂向下时,能将材料提升的力值F是多大? 2)力F沿什么方向作用最省力?为什么?此时能将材料提升的力值是多大? 解1)当拉力F对铰链C之矩与重物G对铰链C之矩相等,可提升重物。此时 MC(F)=Mc(G),即 F×3m× sin60° =5kN×1m×sin60°,移项得 F=5kN/3=1.67kN。 2)当拉力F′与横杆垂直时,力臂最大,最省力。 此时 F′×3m =5kN×1m×sin60° =5kN×1m×0.866, 移项得 F′ =(5kN×1×0.866)/3 =1.44kN 。 图2-58 题2-4图
1 2-5 图2-59所示物体受平面内3个力偶的作用,设F1=F1′=200N,F2=F2′=600N,M=-100N·m,求合力偶矩。 解 由式(2-7)得: 力偶(F1,F1′)的力偶矩 M1=F1×1m =200N×1m=200N·m力偶(F2,F2′)的力偶矩 M2 =F2×0.25m/ sin30°=600N×0.5m=300N·m 由式(2-8): M合=M1+M2 +M=(200+300-100)N·m=500N·m 合力偶矩为正值,表示它使物体产生逆时针的转动。 1 图2-59 题2-5图 2-6 试将图2-60中平面力系向O点简化。 解1)求主矢量R′设力值为400N、100N、500N的三力在x轴的投影为F1x、F2x、F3x, 在y轴的投影为F1y、F2y、F3y, 则 F1x=400N, F2x=0, 图2-60 题2-6图 F1y=0, F2y=-100N, Rx′=F1x+F2x+F3x=400N+0+﹙-400N﹚=0, Ry′=F1y+F2y+F3y=0+﹙-100N﹚+300N=200N 主矢量R′在x、y轴的投影 主矢量R′的大小 主矢量R′与x轴的夹角 θ=90°。 ∵RY′为正值,为0,可见主矢量R′指向正上方。
1 2)求主矩Mo′ Mo′=-﹙400N×0.8m﹚-﹙100N×2m﹚+﹙400N×0﹚+300N×﹙2m+0.6m﹚=260N·m 主矩为正值,逆时针转向。 2-7 某机盖重G=20kN,吊装状态如图2-60所示,角度α=20°,β=30°,试求拉杆AB和AC所受的拉力。 解AB和BC都是受拉二力杆,两杆拉力FAC、FAB与重G组成平面汇交力系,在水平x轴、铅垂y轴坐标系中有平衡方程: ∑Fx=0, FACsinβ- FABsinα=0 (1) ∑Fy=0, FACcosβ+FABcosα-G=0 (2) 由(1)﹑(2)得到 FAC=(sin20°/ sin30°)FAB(3) 将(3)代入(2)得: 图2-61 题2-7图 代入数据即得: FAB=13.05kN, FAC=8.93kN。 2-8 夹紧机构如图2-62所示,已知压力缸直径d=120mm,压强p=60×103Pa,试求在位置α=30°时产生的夹紧力P。 解1)求杆AD对铰链A的压力FAD 汇交于铰链A的汇交力系平衡方程﹙x轴水平,y轴铅垂﹚: ∑Fx=0, FACcos30°-FADcos0°=0 (1) ∑F y=0, FAB-FACsin30°-FADsin30°=0 (2) 由压力缸中的压力知: FAB=p﹙πd2/4﹚=0.68kN (3) 联解可得:FAD=FAC==0.68kN。 图2-62 题2-8图
1 2)由滑块D的平衡条件求夹紧力F ∑Fx=0, FADsin30°-F=0 (4) 由(4)得到夹紧力 F=0.34 kN。 1 2-9 起重装置如图3-63所示,现吊起一重量G=1000N的载荷,已知α=30°,横梁AB的长度为l, 不计其自重,试求图2-63a、b中钢索BC所受的拉力和铰链A处的约束反力。 解 1)图2-63a中AB为二力杆,汇交于B的三力有平衡方程﹙x轴水平,y轴铅垂﹚: ∑Fx =0, FAB-TBCcos30°=0 (1) ∑Fy =0, TBCsin30°-G=0 (2) 由(2),得钢索BC所受的拉力 TBC=﹙G/sin30°﹚=2000N (3) 由(3)、(1),得铰链A对AB杆的约束反力 FAB=TBCcos30°=1732N 图2-63 题2-9图 2)图2-63b中AB不是二力杆,铰链A处的约束反力分解为水平分力FAX和铅垂分力FAY,有平衡方程: ∑M A(F)=0 TC×l sinα-G×0.8l=0 (1) ∑M B(F)=0 G﹙l-0.8l﹚-FAY l=0 (2) ∑Fx=0, FAx-TBCcos30°=0 (3) 由(1),得钢索BC所受的拉力 TBC=﹙0.8G/sin30°﹚=1600N 由(2)得铰链A对AB杆的铅垂约束分力 FAY=0.2G=200N 由(3)得铰链A对AB杆的水平约束分力 Fax=TBCcos30°=1386N。
1 2-10 水平梁AB长l,其上作用着力偶矩为M的力偶,试求在图2-64a、b两种不同端支情况下支座A、B的约束反力。不计梁的自重。 解1)图2-64a情况 反力方向用红色表示 ∵支座A、B的约束反力 FA=FB, 设 F=FA=FB, 1 由平衡方程 ∑M=0 Fl-M=0, 得到 FA=FB=F=M/l 图2-64 题2-10图 2)图2-64b情况 反力方向用红色表示 ∵支座A、B的约束反力 FA=FB, 设F=FA=FB, 由平衡方程 ∑M=0 Flcosα-M=0, 得到 FA=FB=F=M/﹙lcosα﹚ 2-11 梁的载荷情况如图2-65所示,已知 F=450N,q=10N/cm, M=300N·m,a=50cm ,求梁的支座反力。 解 各图的支座反力已用红色线条标出,然后①取梁为分离体,列平衡方程,②求解并代入数据,即得结果。 图2-65 题2-11图
1 1)图2-65a情况 ∑MA(F)=0, (FB×3a)-Fa-M=0 (1) ∑Fy=0, FB-F-FA=0 (2) 由(2): FB = F+FA (3) 联解得: FA=(M-2Fa) /3a=(30000N·cm-2×450N×50cm) /(3×50cm) =-100N (4) 将(4)代入(3)得: FB=350N。 1 2)图2-65b情况 ∑MA(F)=0, (FB×2a)-Fa-qa(2a+0.5a)=0 (1) ∑F y=0, FB-F+FA-qa=0 (2)由(1): FB= (F+2.5qa) /2=850N (3) 将(3)代入(2)得: FA=100N。 3)图2-65c情况 ∑MA(F)=0, (FB×3a)-(2qa×a)-(F×2a)=0 (1) ∑F y=0, FA+FB-F-2qa=0 (2)由(1): FB= (2F+2qa) /3=633N (3) 将(3)代入(2)得: FA=817N。 4)图2-65d情况 ∑F y=0, FA-F-qa=0 (1) ∑MA(F)=0, MA+M-qa(a/2)-(F×2a)=0 (2) 由(1): FA= F+qa=950N 由(2): MA=qa(a/2) +(F×2a) -M=275N。
1 2-12 旋转起重装置如图2-66所示,现吊重G=600N,AB=1m,CD=3m,不计支架自重,求A、B两处的约束反力。 解 支承A处视通固定铰链,支座反力已用红色 线条标出,根据曲梁的受力图列平衡方程求解。 ∑MA(F)=0, (FB×1m)-(G×3m)=0 (1)∑Fx =0, FAx-FB=0 (2) ∑Fy=0, FAy-G=0 (3) • 1 由(1): FB=3G=1.8kN, 由(2): FAx=FB=1.8kN, 由(3): FAy=G=600N。 图2-66 题2-12图 2-13 两种装置如图2-67a、b所示, 在杆AB的B端受铅垂力F=2kN作用,求图示两种情况下绳子CD所受的拉力及固定铰支座A的反力。杆AB的自重不计。 解 两图的支座反力已用红色线条标出,然后取杆AB为分离体,列平衡方程求解。 1)图2-67a情况 ∑MA(F)=0, (TCD×AE)-(F×2m)=0 (1)∑Fx =0, FAx-TCDcosα=0 (2) ∑Fy=0, FAy+TCDsinα=0 (3) 几何关系: tanα=(0.75/1.0) =0.75, 查表得 α=36.9°,sinα=0.6, cosα=0.8。 图2-67 题2-13图
1 应为 可得 m (4) (4)代入(3)得: TCD=(F×2m/0.8m) =5kN 6.7 (5) (5)代入(2)得: FAx=TCDcosα=4kN , 5.33 (5)代入(3)得: FAy=F-TCDsinα=-1kN。-2 ∑MA(F)=0, (TCD×1m)-(F×2m×sin30°)=0 (1)∑Fx =0, FAx-TCDcos30°=0 (2) ∑Fy=0, FAy+TCDsin30°-F=0 (3) 1 2)图2-67b情况 由(1): TCD=F=2kN (4) (4)代入(2)得: FAx=TCDcos30°=1.732kN , (4)代入(3)得: FAy=F-TCDsin30°=1kN。 2-14 运料小车及所载物料共重G=4kN,重心在C点,已知a=0.5m,b=0.6m,h=0.8m, 如图2-68所示。试求小车能沿30°斜面轨道匀速上 升时钢丝绳的牵引力T及A、B轮对轨道的压力。 解 斜面反力FA、FB已用红色画出,取A为坐标原点、 y轴与反力方向一致建立坐标系,列平衡方程求解。 由几何关系 Gx=Gcos60°=0.5G=2kN (1) Gy=Gcos30°=3.464kN (2) 平衡方程 ∑Fx =0, T-Gx=0 (3) ∑MA(F)=0, (FB×2a) +Gxh-0.6T-Gya=0 (4) ∑Fy=0, FA+FB-Gy=0 (5) (1) 、 (2)代入(4)得:FA=2.132kN (6) (2) 、 (6)代入(5)得:FB=1.332kN 图2-68 题2-14图
1 2-15 卷扬机结构如图2-69所示,重物置于小台车C上,其重量G=2kN,小台车装有A、B两轮,可沿导轨DE上下运动,求导轨对A、B两轮的约束反力。 解 导轨对A、B两轮的约束反力FA、FB已用红色画出,建立坐标系如图,列平衡方程求解。 1 ∑Fx =0, NA-NB=0 (1) ∑Fy=0, T-G=0 (2)∑MB (F)=0, (G×300) -(NA×800)=0 (3) 联解并代入数据,得 NA=NB=G×(300/800) =0.75kN。 图2-69 题2-15图 2-16 求起重机在图2-70所示位置时,钢丝绳BC所受的拉力和铰链A的反力。已知AB=6m,G=8kN,吊重Q=30kN,角度α=45°,β=30°。 解 钢丝绳受的拉力和铰链A的反力已用红色画出。设吊臂AB长l,建立坐标系如图,列平衡方程求解。 ∑MA(F)=0, Tl cos30°-(G×0.5lcos45°)-Ql cos45°=0 (1)∑Fx =0, RAx-Tcos(45°-30°)=0 (2) ∑Fy=0, RAy+Tsin(45°-30°)-G-Q=0 (3) 由(1)直接可得: T=48.08kN (4) (4)代入(2)得: R Ax=46.44kN (5) (4) 、 (5)代入(3)得: RAy=50.44kN。 图2-70 题2-16图
1 2-17 起重机置于简支梁AB上如图2-71所示,机身重G=5kN,起吊物重P=1kN,梁自重G1=3kN,作用在梁的中点。求A、B的支座反力,及起重机在C、D两点对梁的压力。 解 分两步求解:⑴分析起重机,求解NC、ND, ⑵分析梁,求解NA、NB。 各反力已用红色在图㈠、㈡上标出。 1 ⑴分析起重机 ∑MC(F)=0, (ND× 1) -(G×0.5) -(P×2.5)=0 (1)∑Fy=0, NC+ND-P=0 (2) 由(1)直接可得: ND=5kN (3) 图2-71 题2-17图㈠ (3)代入(2)得: NC=1kN (4) ⑵分析梁 ∑MA(F)=0, (NB×5) -(G1× 2.5) -(NC×1) -(ND×2)=0 (1)∑Fy=0, NA+NB-G1-NC-ND=0 (2) 由(1)直接可得: NB=3.7kN (3) (3)代入(2)得: NA=5.3kN (4) 图2-71 题2-17图㈡
1 2-18 力F作用于A点,空间位置如图2-72所示,求此力在x、y、z轴上的投影。 解 力F与z轴之间的夹角 γ=30°, 力F在xOy平面上的投影与x轴之间的夹角 φ=45°, 因此有 Fx=Fsinγcosφ=-0.3536F, Fy=Fsinγsinφ =-0.3536F, Fz=Fcosγ=0.866F。 1 图2-72 题2-18图 2-19 绞车的正、侧视图如图2-73所示,已知G=2kN,鼓轮直径d=160mm,试求提升重物所需作用于手柄上的力值F和此时A、B轴承对于轴AB的约束反力。 解 ⑴由侧视图的力矩平衡条件求手柄上的力F F×200mm=G×(d/2) =2kN×(160mm/2), 得到 F=0.8kN。 ⑵求铅垂平面内的轴承反力NA铅、NB铅 F在铅垂平面内的分力 Fsin30°=0.4kN, ∑MA(F)=0,(NB铅×500) -(G×300) -(Fsin30°×620) =0 得到 NB铅=1.696kN。 NA铅=G+ Fsin30°- NB铅=0.704kN。 ⑶求水平平面内的轴承反力NA水、NB水 F在水平平面内的分力 Fcos30°=0.693kN, 图2-73 题2-19图 ∑MA(F)=0, (NB水×500) -(Fcos30°×620) =0, 得到 NB水=0.86kN。 NA水= Fcos30°- NB铅=0.167kN。
1 2-20 电机通过联轴器带动带轮的传动装置如图2-74所示,已知驱动力偶矩M=20N·m,带轮直径 d=160mm,尺寸a=200mm,传动带紧边、松边的拉力有关系T=2t(两力的方向可看成互相平行), 不计轮轴自重,求A、B两轴承的支座反力。 解 ⑴求传动带紧边、松边的拉力T、t 传动轴的旋转力矩平衡条件: (T-t)(d/2) =M, 以T=2t代入即得: t=250N, T=500N。 1 ⑵求A、B两轴承的支座反力NA、NB 由AB轴结构与受力对称的条件,可直接得到: NA=NB=(T+t) /2=375N。 图2-74 题2-20图 2-21 试求图2-75所示不等宽T字形截面的形心位置,图中长度单位为mm。 解 将此组合图形分为上部竖直矩形Ⅰ和下部横置矩形Ⅱ两块 简单图形,Ⅰ和Ⅱ的形心C1、C2的位置如图所标。 式(2-24)中的相关数据如下: ΔA1=10 mm×(100-20)mm=800mm2, ΔA2=20 mm×80mm=1600mm2, A=ΔA1+ΔA2=2400mm2, x1=x2=0, y1=20mm+(80/2)mm=60mm,y2=(20/2)mm=10mm。 T形截面的形心坐标: xC=0, 图2-75 题2-21图
1 2-22 计算图2-76所示平面图形的形心位置,图中Φ100的圆形为挖空的圆孔。 解 ⑴由于图形的对称性,可知形心的y坐标为: yc=0。 ⑵求图形形心的x坐标xC 设完整矩形为图形Ⅰ,挖空的圆孔为图形Ⅱ,则有: ΔA1=500×300=15×104,ΔA2=-πd2/4= -(π/4) ×104 ,A= ΔA1+ ΔA2, 1 x1=(500/2) =250, x2=400, 代入 得到 xC=217.66。 图2-76 题2-22图 2-23 已知物体重量G=200N,F=100N,α=30°,物体与支承面间的摩擦因数为μS=0.5,分析在图2-77所示的3种情况下。物体处于何种状态、所受摩擦力各为多大? 解 1)图2-77a情况 ①物体间的正压力(法向反力) N=G+Fsin30°=250N, ②右推物体的力 Fx=Fcos30°=86.6N, ③最大静摩擦力 Fmax=μSN=125N, ④对比与结论 推力Fx<最大静摩擦力Fmax, 物体静止不动。 图2-77 题2-23图
1 2)图2-77b情况 ①物体间的正压力(法向反力) N=G=200N ②右推物体的力 F=100N, ③最大静摩擦力 Fmax=μSN=100N, ④对比与结论 右推物体的力F=最大静摩擦力Fmax,物体处于匀速移动与不动的临界状态。 3)图2-77c情况 ①物体间的正压力(法向反力)N=G-Fsin30°=150N, 1 ②右拉物体的力 Fx=Fcos30°=86.6N ③最大静摩擦力 Fmax=μSN=75N, ④对比与结论 拉力F>最大静摩擦力Fmax,物体向右运动。 2-24 图2-78所示滑块斜面间的摩擦因数μS=0.25,滑块重G=1kN,斜面倾角α=10°,问:⑴滑块是否会在重力作用下下滑?⑵要使滑块沿斜面匀速上升,应施加的平行于斜面的推力F是多大? 解 ⑴滑块是否会在重力作用下下滑? 摩擦因数对应的摩擦角 φm=actanμS=actan0.25=14.04°, ∵α<φm,符合自锁条件,滑块不会因重力而下滑。 ⑵要使滑块沿斜面匀速上升,推力F是多大? 滑块斜面间的正压力N=Gcos10°, 最大静摩擦力 Fmax=μSN=μSGcos10° , 滑块重力沿斜面向下的分力 Gsin10°, 图2-78 题2-24图 使滑块沿斜面匀速上升的推力条件: F= Fmax+ Gsin10°=μSGcos10°+ Gsin10°=0.42kN。
1 2-25 双闸瓦式电磁制动器如图2-79所示,制动轮直径D=500mm,受一主动力偶矩M=100N·m的作用,设制动块与制动轮间的摩擦因数μS=0.25,求制动时加在制动块上的压力值F至少需要多大? 解 在以压力F制动时,制动块与轮间的最大静摩擦力为Fmax=μSF,实现制动的条件为 M= FmaxD=μSFD, 可求得压力值 F=(M/μSD) =800N=0.8kN。 1 图2-79 题2-25图 2-26 重G1=500N的物体压在重G2=200N的钢板上如图2-80所示,物体与钢板间的摩擦因数为μS1=0.2,钢板与地面间的摩擦因数为μS2=0.25,问:要抽出钢板,拉力F至少需要多大? 解 设钢板与物体间的最大静摩擦力为Fmax1, 钢板与地面间的最大静摩擦力为Fmax2, 则能抽出钢板的最小拉力值为F= Fmax1+ Fmax2 ∵Fmax1=μS1G1Fmax2=μS2(G1+G2), ∴ F=μS1G1+μS2(G1+G2) =(0.2×500N) +0.25×(500N+200N) =275N。 图2-80 题2-26图
1 2-27 重量为G的圆球夹在曲臂杆ABC与墙面之间,如图2-81所 示,圆球半径为r,圆心比A点低h,各接触面间的摩擦因数均为μS,求:维持圆球不下滑的最小力值F。 解 ⑴先分析圆球 圆球铅垂方向为三力平衡:重力G及D、E两点向上的摩擦力FD、FE。 由结构与受力对称的条件可知: FE=FD=G/2 (1) 1 ⑵再分析曲杆ABC 曲杆在E受正压力NE(向右)和摩擦力FE′作用。FE′与FE等值反向(向下), FE′=FE=G/2 (2)且 FE′=μS NE (3) ∑MA(F)=0, (NEh) -(F+ FE′)× 2r=0 (4) 图2-81 题2-27图 联解(2) 、(3) 、(4)即得 2-28 重量为G的均质箱体底面宽度为b,其一侧受水平力F作用,F距地面高度为h,如图2-82 所示,箱体与地面间的摩擦因数为μ S,若逐渐加大力F,问:欲使箱体向前滑动而不会在推力下翻倒,,高度h应满足什么条件? 解 箱重G对箱底左边的顺时针力矩为 MA(G) =G×(b/2),推力F对箱底左边的逆时针力矩为 MA(F) =Fh, 箱体不会在推力下翻倒的条件为: MA(F) < MA(G) 即 Fh< 2Gb (1) 而推力使箱体向前滑动的临界条件为 F=μSG(2) 联解(1) 、(2)即得 h<b/2μS。 图2-82 题2-28图
1 2-29 砖夹的示意结构如图2-83所示,爪子AB与CD在C铰接,上提时力F作用于砖夹的中心线上, 爪子与砖间的摩擦因数为μS=0.5,不计砖夹自重,问:尺寸b满足什么条件才能保证砖夹正常工作? 解 ⑴砖夹正常工作的条件提砖时应该有 F=G (1)砖能夹住不滑落的临界条件 FAmax+FDmax=G,由(五块)砖受力的对称性知 FAmax=FDmax=G/2 (2) 1 ⑵正压力与最大摩擦力的关系 FAmax=μSNA(3) ⑶分析爪子ABC的平衡条件爪子在A受到的最大摩擦力 FAmax′= F Amax=μSNA(4) ∑MC(F)=0 (5) 联解以上各式即得 b=105。 图2-83 题2-29图 2-30 图2-84所示手摇起重器具的手柄长为l=360mm,操作者 在柄端施加作用力F=120N,若操作起重器具以转速n=4rpm作匀 速转动,求操作者在10min内做的功W。 解 由公式(2-32)功 W=Mφ (1) 本题中,力矩 M=F×360mm=43.2N·m (2) 转角 φ=2π×4×10 =251.3π (3) (2) 、 (3)代入(1)得 W=10837N·m=10.84kJ。 图2-84 题2-30图
1 2-31 在直径D=400mm的绞车鼓轮上绕有一根绳子,绳端挂重G=10kN,如图2-85所示,假设对 于绞车的输入功率为P=2.5 kW,求匀速提升条件下鼓轮的转速和挂重的提升速度(不计鼓轮工作中的摩擦损耗)。 解 由公式(2-37) M = 9550P/n (1)本题中,力矩 M=G(D/2)=2000N·m (2) 得每分钟的转数 n=9550P/ M =11.94rpm (3)转速(每秒弧度) ω=2πn/60=12.5s-1 挂重的提升速度 v=ωD/2=0.25m/s。答:鼓轮转速11.94转/分,提升速度0.25米/秒。 图2-85 题2-31 1 2-32 如图2-86所示,电动机的转速n=1125rpm,经带轮传动装置带动砂轮旋转,如砂轮的直径D=300mm,工件对砂轮的切向工作阻力为F=20N,两带轮的直径分别为d1=240mm,d2=120mm,该装置的机械 效率为η=0.75,求此电动机的输出功率P输出。 解 ⑴砂轮的工作转矩 M2=F(D/2) =3N·m , ⑵砂轮的转速 n2=n(d1/d2) =2250rpm ,⑶砂轮消耗的功率 P2=M2n2/9550=0.707kN,⑷电机的输出功率 P输出=P2/η=0.942kN。 图2-86 题2-32图 2-33 对自行车的一项测试实验表明:在自行车车况和路面路况均良好的条件下,成年男子以速度 v= 3.5m/s(每小时12.6km)骑行时,自行车的驱动功率约为0.1kW。现要开发一种电动自行车,要求 在速度提高一倍的条件下,还能持续地在坡度为40/1000的坡道上行驶。试计算电动自行车所需的 功率P,骑车人与自行车的总重量均按1kN计(不考虑两种车的重量差别),并设车况、路况不变。 解 ⑴因提速所需功率P1 ∵ 工作阻力不变,则功率与速度成正比 ,∴ P1=2×0.1kW=0.2kW 。⑵爬坡所耗的功率P2 电动自行车的水平速度 v1=2v=7m/s, 相应的上升速度 v2=v1(40/1000) =0.28m/s,P2=Gv2=1000N× 0.28m/s=0.28kW, ⑶电动自行车所需的功率P P=P1+P2=4.8kW。
1 第三章 构件与产品的强度分析 3-1 试求图3-63a、b所示杆内1-1、2-2、3-3截面上的轴力。 解1)图3-63a情况 设1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为N1、N2、N3,则 N1=40kN+30kN-20kN=50kN,N2=30kN-20kN=10kN, N3=-20kN= =-20kN。 1 2)图3-63b情况设1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为N1、N2、N3,则 N1=-P,N2=-P-3P=-4P, N3=-P-3P+4P =0。 图3-63 题3-1图 3-2 厂房的柱子如图3-64所示,屋顶加于柱子的载荷F1=120kN、 吊车加于柱子B截面的载荷F2=100kN,柱子的横截面面积A1=400cm2,A2=600cm2,求上、下两段柱子横截面上的应力。 解 ⑴上段柱子的截面应力σ1 上段柱子的截面轴力 N1=-F1=- 120kN, ∴ σ1= N1/A1=(-120×103) /(400×10-4) =-3MPa。 ⑵下段柱子的截面应力σ2 下段柱子的截面轴力 N2=-F1-F2=- 220kN, ∴ σ2= N2/A2=(-220×103) /(600×10-4) =-3.67MPa。 图3-64 题3-2图
1 3-3 公共设施由塑料制作,其中一空心立柱受轴向压力F=1200N,图3-65中所示立柱截面尺寸数据为a=24mm,d=16mm,材料的抗压许用应力[σ]=4MPa,试校核此柱子的抗压强度。 解 立柱截面面积 A=a2-(πd2/4) =375mm2=375×10-6m2,截面压应力 σ=N/A=F/A= 1200N / (375×10-6m2) =3.2MPa,强度判定: ∵ σ< [σ], ∴立柱强度够。 1 图3-65 题3-3图 3-4 趣味秋千架如图3-66a所示,载人座圈通过两根圆截面斜杆吊挂,斜杆AB、AC间夹角α=90°,铰接于横梁的A点,秋千的受力图见图3-66b。考虑可能有大孩子来使劲逛荡,设吊重为G=1200N,非金属杆件材料许用应力[σ]=2MPa,设计两杆的直径d。 解 ⑴求圆截面斜杆的轴力NAB、NAC 由结构与受力的对称性知: NAB=NAC,∑Fy=0, G-NABcos45°-NACcos45°=0 (1) 由(1)得轴力: NAB=NAC=848.4N。 (2) ⑵设计杆的直径d 强度条件 σ=N/A < [σ] (3)其中 A=πd2/4 (4) 由(3) 、(4): 代入数据即得: d≥23.2mm。 图3-66 题3-4图
1 3-5 塑料型材支架如图3-67所示,B处载荷G=1600N,该牌号塑料的许用拉应力[σl ]=4MPa ,许用压应力[σy ]=6MPa,计算杆AB和BC所需要的截面面积AAB和ABC。 解 ⑴ 求两杆轴力NAB、NBC两杆均为二力杆,拉、压力均沿轴线方向,即为轴力 ∑Fy=0, NBCcos30° -G=0 (1)∑Fx =0, NBCsin30°-NAB=0 (2) 解之得: NBC= G/ cos30°=1848N(受压) (3) NAB=NBCsin30°=924N (受拉) (4) 1 ⑵杆AB所需要的截面面积AAB AAB≥ NAB/ [σl ] =231×10-6m2=231mm2。 ⑶杆BC所需要的截面面积ABC ABC≥ NBC/ [σy ] =308×10-6m2=308mm2。 图3-67 题3-5图 3-6 支架如图3-68所示,载荷G=4kN,正方形截面木质支柱AB截面的边长a=50mm,该木料的许用压应力[σy]=8MPa,校核支柱AB的强度 。 解 ⑴求支柱AB的轴力NABAB为二力杆,所受压力沿轴线方向,即为轴力。 分析横梁CD: ∑MC(F)=0,NAB×(1m×sin30°) -G×2m=0,解之得: NAB =2G/sin30°=16kN (受压)。 ⑵校核支柱AB的强度AB截面的压应力 σ= NAB/a2=16×103/502×10-6=6.4×106=6.4MPa< [σy]. ∴支柱AB的抗压强度够。 图3-68 题3-6图
1 3-7 图3-69为雨蓬结构简图,横梁受均布载荷q=2kN/m,B端用钢丝绳CB拉住,钢丝的许用应力[σ]=100MPa,计算钢丝绳所需的直径d。 解 ⑴求钢丝绳BC受的拉力,亦即其轴力NBC 分析横梁AB: ∑MA(F)=0, NBC×(4m×sin30°) -(q×4m) ×2m=0,解之得: NBC =8kN (受压)。 1 ⑵计算钢丝绳所需的直径d强度条件 σ=N/A < [σ] , 其中 A=πd2/4 , 即要求 , 代入数据即得: d≥10.1mm。 图3-69 题3-7图 3-8 销钉联接结构如图3-70,已知外力F=8kN,销钉直径d=8mm,材料许用切应力[τ]=60MPa,校核该销钉的剪切强度。若强度不够,重新选择销钉直径d1。 解 ⑴校核该销钉的剪切强度 销钉受剪面的剪切力 Q=F/2=4kN。切应力 τ=Q/(πd2/4) =(4×4×103) /(π×82×10-6) =79.6MPa> [τ],∴销钉的剪切强度不够。 ⑵重新选择销钉直径d1 强度条件 τ1=Q /(πd12/4) ≤ [τ] , 即要求 代入数据即得: d1≥9.2mm。实际可取d1=10mm 。 图3-70 题3-8图
1 3-9 铆钉联接如图3-71所示,F=5kN,t1=8mm,t2=10mm,铆钉材料的许用切应力[τ]=60MPa,被联接板材的许用挤压应力[σjy]=125MPa,试设计铆钉直径d。 解 ⑴按剪切强度设计铆钉直径d1 两个铆钉承受拉力F,每个铆钉所受剪力为 Q=F/2, 因此有 代入数据即得: d1≥7.3mm。 1 ⑵按挤压强度设计铆钉直径d2每个铆钉所受的挤压力为 Fjy=F/2, 取较薄板材的挤压面面积计算 Ajy=d2t1/2, 强度条件为 σjy=Fjy/ Ajy=(F/2) / (d2t1/2) ≤ [σjy],即 d2≥F/[σjy]t1=5mm。 图3-71 题3-9图 ⑶设计铆钉直径d 两种结果中取较大者,即 d=d1 ≥7.3mm。 3-10 设铁丝剪切强度极限τb=100MPa。⑴夹钳的结构、尺寸如图3-72,问:剪断直径d=3mm 的铁丝,要多大的握夹力F? ⑵夹钳B处销钉直径D=8mm,求剪断铁丝时销钉截面上的切应力τ。 解 ⑴求握夹力F 剪断铁丝的条件: τ=Q/(πd2/4) ≥τb (1) 由半边夹钳的平衡条件 50Q=200F (2) 由(1) 、(2)可得: F≥(πd2τb/16) =176.8N ⑵求剪断铁丝时销钉截面上的切应力τ设对销钉的剪切力为Q1,由半边夹钳的平衡条件知: 50Q1=(200+50)F (3) 剪断铁丝时销钉截面上的切应力 τ=Q1/( πD2/4) (4) 代入数据即得: τ=17.6MPa。 图3-72 题3-10图
1 3-11 机车挂钩的销钉联接如图3-73所示。挂钩厚度t=8mm,销钉材料的许用切应力[τ]=60MPa,许用挤压应力[σjy]=200MPa,机车牵引力F=15kN,试选择销钉直径d。 解 ⑴按剪切强度选择销钉铆钉直径d1 销钉每个剪切面上的剪切力为 Q=F/2, 由剪切强度条件 τ=Q/(πd12/4) ≤ [τ], 1 有 代入数据即得: d1≥12.6mm。 ⑵按挤压强度选择销钉直径d2每个销钉所受的挤压力为 Fjy=F, 挤压面计算面积 Ajy=2td2, 强度条件为 σjy=Fjy/ Ajy=F/ 2td2≤ [σjy ],即 d2≥F/2t[σjy]=4.7mm。 图3-73 题3-11图 ⑶选择销钉直径d 两种结果中取较大者,即 d=d1 ≥12.6mm。 3-12 压力机上防过载的压环式保险器如图3-74所示。若力F过载,则保险器沿图中直径为D、高度为δ=8mm的环圈剪断,以免其他部件的损坏。铸铁保护器的剪切强度极限τb=200MPa,限制载荷F=120kN,求剪断圈的直径D。 解 剪切面面积 A=πDδ,剪切力 Q=F, 剪断条件为 τ=Q/A=F/πDδ≥τb, 即 D≤F/πδτb=23.9×10-3m=23.9mm。 图3-74 题3-12图
1 3-13 求图3-75a、b所示受扭圆轴Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面上的扭矩。 解1)图3-73a情况Ⅰ-Ⅰ截面的扭矩 TⅠ-Ⅰ=3kN·m,Ⅱ-Ⅱ截面的扭矩 TⅡ-Ⅱ=3kN·m, Ⅲ-Ⅲ截面的扭矩 TⅢ-Ⅲ=1kN·m。 1 2)图3-73b情况Ⅰ-Ⅰ截面的扭矩 TⅠ-Ⅰ=1kN·m,Ⅱ-Ⅱ截面的扭矩 TⅡ-Ⅱ=3.5kN·m, Ⅲ-Ⅲ截面的扭矩 TⅢ-Ⅲ=2kN·m。 图3-75 题3-13图 3-14 某医疗器械上一传动轴直径d=36mm,转速n=22rpm,设材料的许用切应力[τ]=50MPa, 求此轴能传递的最大功率P。 解 ⑴根据扭转强度确定传动轴允许的最大转矩Mmax Mmax=Tmax= [τ]Wn= [τ] ×0.2d3=50×106×0.2×363×10-9=467N·m。 ⑵求此轴能传递的最大功率P P=Mmaxn/9550=(467×22) /9550=1.08kW。
1 3-15 牙嵌联轴器左端空心轴外径d1=50mm,内径d2=30mm,右端实心轴直径d=40mm ( 即两段轴的横截面积相等),材料的许用切应力[τ]=55MPa,工作力矩M=1000N·m,试校核左、右两段轴的扭转强度。 解 ⑴校核左段轴的扭转强度空心轴内外径之比 α=30mm/50mm=0.6, 最大切应力为 1 图3-76 题3-15图 ∵τ左max< [τ],∴左段轴的扭转强度够。 ⑵校核右段轴的扭转强度 最大切应力为 ∵τ右max> [τ],∴右段轴的扭转强度不够。 3-16 以外径D=120mm的空心轴来代替直径d=100mm的实心轴,要求扭转强度不变,求空心轴重量对于实心轴的百分比p。 解 ⑴若空、实心轴的抗扭截面模量相等,则两者的扭转强度相等; Wn空= Wn实 (1) 设空心轴内径为d1, 即 α=d1/D, 则 Wn空=0.2×D3﹝1-α4﹞ (2) 对实心轴 Wn实=0.2d3 (3) (2) 、(3)代入(1)得 D3(1-α4﹞=d3 ,即 α4=1-(d/D)3 (4)由(4)解得 α=0.805, 且 d1=αD=96.6mm (5) ⑵求空心轴重量对于实心轴的百分比p 重量的百分比即横截面面积的百分比 =50.7﹪。
3-17 实心轴直径d=50mm,材料的许用切应力[τ]=55MPa,轴的转速n=300rpm, ⑴按扭转强度确定此轴允许传递的功率P。 ⑵若转速提高到n1=600rpm,问:此轴能传递的功率如何变化? 1 解 ⑴按扭转强度确定此轴允许传递的功率P ①根据扭转强度确定此轴的最大转矩Mmax Mmax=Tmax= [τ]Wn= [τ] ×0.2d3=55×106×0.2×503×10-9=1375N·m。 1 ②求此轴能传递的最大功率P P=Mmaxn/9550=(1375×300) /9550=43.2kW。 ⑵若转速提高到n1=600rpm,此轴能传递的功率P1 在最大转矩不变条件下,传递的功率与转速成正比,∴P1=P(n1/n) = 43.2kW(600/300) =86.4kW。 3-18 图3-77中各梁的载荷与支座反力已经在图上给出,画出各梁的弯矩图 。 图3-77 题3-18图
1 3-19 列出图3-78中各梁的剪力方程和弯矩方程,画弯矩图,在图上标出最大弯矩截面位置及弯矩值。 1 图3-78 题3-19图 解 ⑴图3-78a) 以B为原点建立坐标系yBx,研究任意截面Ⅰ-Ⅰ①∑Fy=0, Q-qx=0 得剪力方程 Q=qx(向上) ②以Ⅰ-Ⅰ截面形心C为矩心, ∑MC (F)=0, qx(x/2)-M=0 得弯矩方程 M=qx2/2(弯矩为负值)。 由弯矩方程得弯矩图如右。 ③最大弯矩在发生固定端A截面:
1 解 ⑵图3-78b) 解 ⑶图3-78c) ①求支座反力RA、RB 由梁的平衡条件得: RA=F/4、RB=F/4。 ①求支座反力RA、RB 由平衡条件: RA=3000N (向上) 、RB=1000N(向上) ②剪力方程和弯矩方程 AB段 以A为坐标原点,研究任意截面Ⅰ-Ⅰ 剪力方程 Q1= RA =F/4(向上), 弯矩方程 M1= Fx1/4(负值), BC段 以C为坐标原点,研究任意截面Ⅱ-Ⅱ 剪力方程 Q2=F/4(向上)。 弯矩方程 M2= Fx2/4(负值)。 ②剪力方程和弯矩方程 AC段 以A为坐标原点,研究任意截面Ⅰ-Ⅰ 剪力方程 Q1= 3000N(向下), 弯矩方程 M1= 3000x1(正值), CB段 以B为坐标原点,研究任意截面Ⅱ-Ⅱ 剪力方程 Q2=1000N(向下)。 弯矩方程 M2= 1000x2(正值)。 1 ③画出弯矩图如下。 ③画出弯矩图如下。 在B截面有 在C截面有 Mmax=600N·m。
1 解 ⑷图3-78d) ①求支座反力RA、RB 由平衡条件: RA=150N (向下) 、RB=150N(向上)。 ②剪力方程和弯矩方程 AB段 以A为坐标原点,研究任意截面Ⅰ-Ⅰ 剪力方程 Q1= 150N(向上), 弯矩方程 M1= 150x1(负值), BC段 以C为坐标原点,研究任意截面Ⅱ-Ⅱ 剪力方程 Q2=0。 弯矩方程 M2=60N·m(负值)。 1 ③画出弯矩图如右。 BC段的弯矩相等,其值在梁中最大:Mmax=60N·m。
1 3-20 通过本章例3-14、例3-16、例3-17等几 个例题,阐明了外载荷与弯矩图的一些对应规律,试应用这些规律画出图3-79中各梁的弯矩图。 图3-79 题3-20图 解 ⑴图3-79a) ①求支座反力RA、RB RA=F/2 (向下) 、RB=F/2(向上)。 1 ②画弯矩图 AC段 应为斜直线:C截面MC=Fa/2 (负值),得弯矩图上c点。 DB段 应为斜直线:D截面MD=Fa/2 (正值),得弯矩图上d点。 CD段 此段无载荷, 也是斜直线,连c、d两点即得。 ⑵图3-79b) ①求A截面的弯矩值MA以A为矩心, ∑MA (F)=0,Fa-2F×a+MA=0 可得 MA=-Fa,可得弯矩图上a点。 ②CB段 此段弯矩为常量Fa,弯矩图为水平线;且C截面的弯矩值 MC=Fa,可得弯矩图上c点。 ③AC段 此段无载荷,弯矩图为直线;连a、c两点即得。
1 ⑶图3-79c) ①A截面的弯矩值MA MA=0, 可得弯矩图上a点。 ②求C截面的弯矩值MC MC=-qa2/2, 得弯矩图上的c点。 ③求B截面的弯矩值MB 以B为矩心, ∑MB(F)=0,- (qa×1.5a)+MB=0 解得 MB=-1.5qa2,可得弯矩图上b点。 1 ④画弯矩图 AC段上有均布载荷,此段弯矩图为二次抛物线;CB段上无载荷,此段弯矩图为直线。弯矩图可画出。 3-21 试用本章例3-18所阐明的叠加法画出图3-80中梁的弯矩图。 解 ①悬臂梁端受集中力作用的弯矩图为直线。如图a)。 ②悬臂梁全跨度受均布载荷作用的弯矩图为二次抛物线,如图b)。 ③两者叠加即得此梁的弯矩图如图c)。 图3-80 题3-21图
1 3-22 利用表3-3,计算图3-81中截面的惯性矩Iz。 解 ⑴图3-81a) ⑵图3-81b) 1 ⑶图3-81c) 图3-81 题3-22图 3-23 利用表3-3,计算图3-82中截面的Wz。 解 ⑴图3-82a) ⑵图3-82b) 图3-82 题3-23图 ⑶图3-82c)
3-24 矩形截面梁如图3-83所示,已知F=200N,横截面的高宽比h/b=3,材料为松木,其许用弯曲应力[σ]=8MPa,试确定截面尺寸h及b。 1 解 ⑴确定梁内最大弯矩值Mmax 画出此梁的弯矩图如右,得 Mmax=RA×(0.5+0.5)-F×0.5=200N·m。(1) ⑵梁的弯曲强度条件 σmax= Mmax/Wz≤[σ] (2) 抗弯截面模量 Wz=bh2/6=9b3/6 (3) 1 ⑶确定截面尺寸h及b 由(2)、(3)得: ∴ h=3b≥78mm。 图3-83 题3-24图 3-25 圆截面木梁尺寸及受力如图3-84,材料许用弯曲应力[σ]=10MPa,计算确定梁的截面直径d。 解 ⑴确定梁内最大弯矩值Mmax 由F=300N的集中力和均布载荷q引起的弯矩图如右,A截面弯矩 MA=-300N·m;C截面 MC=-150N·m+(300×32/8) kN·m=1.875kN·m。 可知 (1) ⑵梁的弯曲强度条件 σmax= Mmax/Wz≤ [σ] (2) 对圆截面 Wz=0.1d3 (3) ⑶确定木梁直径d由(2)、(3)得: 图3-84 题3-25图
1 3-26 某海上高岩跳水运动中的架空木板宽b=600mm,厚h=50mm,架在跨度l=2.8m的岩石上,如图3-85所示﹙可视为简支梁,跨中受集中力作用﹚。设此木材的许用弯曲应力[σ]=6MPa,按成年男子蹬跳时的动态体重G=1500N计算,问:此木板对运动员是否安全? 解 ⑴确定梁内最大弯矩值Mmax跨中受集中力简支梁最大弯矩值在教材图3-55中已经给出:Mmax=Gl/4 (1) 1 ⑵核算木板对运动员是否安全 强度条件 σmax= Mmax/Wz≤[σ] (2)现 Wz=bh2/6 (3) 则 σmax=(Gl/4 ) /(bh2/6) =6×1500×2.8/4×502×600×10-9=4.2×106Pa=4.2MPa< [σ], ∴木板对运动员是安全的。 图3-85 题3-26图 3-27 矩形截面悬臂梁如图3-86所示,已知截面尺寸为b=30mm,h=50mm,l=400mm,梁材料许用弯曲应力[σ]=100MPa,作用于梁中点C和自由端B的许可载荷FC、FB各为多大? 解 ⑴弯曲强度条件 σmax=Mmax/Wz ≤ [σ] (1) 式(1)中 Mmax为弯矩的最大绝对值。 Wz=bh2/6 (2) ⑵求作用于梁中点C许可载荷FC 引起的Mmax为(见弯矩图) Mmax=FCl/2 (3)由此 FC≤2bh2 [σ] /6l=(2×30×502×10-9×100×106)/(6×0.4)=6250N=6.25kN。 ⑶作用于梁自由端B的许可载荷FB同样数值的FB引起的最大弯矩是FC所引起的两倍,可知: FB= FC/2=3.125kN。 图3-86 题-27图
1 3-28 外伸梁如图3-87所示,作用力F1=200N,F2=400N,梁材料的许用弯曲应力为[σ]=80MPa,a=1m;若此梁为内径d、外径D之比α=(d/D)=0.8的圆管材料,试确定圆管外径。 解 ⑴确定梁内最大弯矩绝对值Mmax由平衡条件求得支座反力 RA=100N(↑),RB=500N(↑)。 画出弯矩图如右,知在B截面: Mmax=200Nm。 ⑵由弯曲强度条件确定圆管外径σmax=Mmax/Wz≤[ σ ] (1) 式(1)中 Wz=0.1D3(1-α4) (2) 1 解得 3-29 简易起吊机如图3-88,已知F=2kN,L=2m,工字钢 横梁的许用弯曲应力[σ]=120MPa,按弯曲正应力强度条件计 算工字钢的抗弯截面模量Wz(由Wz能从手册查得工字钢型号)。 解 ⑴分析横梁AB的受力情况①BC为二力杆,反力RB必沿BC方向,可分解为RBx和RBy;②铰链A的反力可分解为RAx和Ray;③可知横梁AB的受力为弯压组合变形。④此梁较长( L=2m ),可以主导因素弯曲强度为计算依据。⑤ AB为简支梁,集中力作用于跨中时产生最大弯矩; 弯矩图如右,最大弯矩值为 Mmax=FL/4。 ⑵按弯曲强度条件计算Wz Wz≥ Mmax/ [σ] =(FL/4) / [σ] =(2000×2)/(4×120×106) =83.3×10-6m3=83.3cm3。 图3-88 题3-29图
1 3-30 图3-89所示链环中d=4mm,a=12mm,材料许用应力[σ]=150MPa,求许可载荷F。 图3-89 题3-30图 解 链环受偏心拉伸作用:①拉伸轴力 N=F, 拉伸应力 σ拉=N/A=F/(πd2/4) (1) ②链环内侧(A点等)有最大弯矩 Mmax=Fa (2) 危险点弯曲应力 σ弯= Mmax/Wz=Fa /0.1d3 (3) 1 强度条件 许可载荷 3-31 图3-90中曲拐AB轴直径d=12mm,l=80mm,a=60mm,材料许用应力[σ]=120MPa,载荷F=200N,校核弯扭组合变形轴AB的强度。 解AB轴受的扭矩:T=Fa,AB轴上最大弯矩在根部A截面: M=Fl, AB轴截面的抗弯截面模量 Wz=0.1d3, 弯扭组合变形的相当应力 ∵相当应力 σxd< [σ],∴轴AB的强度够。 图3-90 3-31图
1 第四章 构件的刚度、压杆稳定和动载荷问题 4-1 阶梯形杆件受轴向力作用如图4-28所示,F1=42kN,F2=18kN,L=800 mm,横截面面积 A1=100 mm2,A2=50mm2,材料的弹性模量E=200GPa,求杆的总伸长量Δl。 解 ⑴杆件各段的轴力 ①AB段 NAB=F2-F1=-24kN, ②BC段 NBC=F2=18kN, ③CD段 NCD=F2=18kN。 1 ⑵求杆的总伸长量Δl 图4-28 题4-1图 4-2 汽缸盖螺栓的尺寸如图4-29所示,已知螺栓承受预紧力F=28kN,材料的弹性模量E=210GPa,求螺栓的伸长量Δl(两端的螺纹部分不考虑)。 解 螺栓各段的轴力N均等于它承受的预紧力:N=F=28×103N, 伸长量 图4-29 题4-2图
1 4-3 拉伸试验钢试件的直径d=10mm,在标距l=120mm内的伸长量为Δl=0.06 mm (参看第三章图3-8),钢的弹性模量E=200GPa,问:此时试件截面上的应力σ是多大?试件所受的拉力F是多大? 解 ⑴试件的线应变ε ε= Δl/ l=0.06/120=500×10-6。 ⑵试件截面上的应力σ σ=σE=500×10-6×200×109=100×106Pa=100MPa。 1 ⑶试件所受的拉力F 等于截面上的轴力N F=N= σA=100×106×(π×102×10-6/4) =7854N=7.854kN。 4-4 钢制输入轴如图4-28所示,由带轮输入的功率为P=4kW,轴的转速n=150rpm,轴的的直径d=30mm,轴长l=600mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa,求满功率工作时该轴的扭转角φ。 解 ⑴求输入轴满功率工作的转矩M,等于此轴的最大扭矩T T=M=9550P/n=9550×4/150=254.7N·m。 ⑵扭转角φ轴截面的极惯性矩 Iρ=0.1d4=0.1×304×10-12=8.1×10-8m4。 图4-30 题4-4图
1 4-5 题3-31图3-90中曲拐AB轴的剪切弹性模量G=80GPa,求在力F=2kN的作用下AB轴的扭转角φ, 并计算由AB轴扭转变形所引起曲拐外端C点的下降位移y。 解⑴求AB轴的扭转角φ AB轴受的扭矩 T=M=Fa, AB轴截面的极惯性矩 Iρ=0.1d4,∴φ=Tl/GIρ=Fal/(G×0.1d4) =(2×103×80×10-3×60×10-3)/(80×109×0.1×124×10-12)=120/(0.1×124)=0.0597rad=3.317°。 1 ⑵由扭转变形所引起曲拐外端C点的下降位移y y=asin φ=60×10-3×0.058=3.48×10-3m=3.48mm。 4-6 简支梁受均布载荷如图4-31所示,实心圆截面梁的直径D=40mm,材料的弹性模量E=200GPa, 试求梁的最大挠度ymax和梁的端截面转角θA、θB。 解 ⑴梁截面的惯性矩 I=0.05d4=0.05×404×10-12=12.8×10-8。 ⑵查表4-1求梁的最大挠度ymax 图4-31 题4-6图 ⑶查表4-1求梁的端截面转角θA、θB