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8.1 平行四边形 (2)

8.1 平行四边形 (2). 柏林庄中心初级中学 王瑞胜. 回顾与思考. 证明命题的一般步骤 :. (1) 理解题意 : 分清命题的条件 ( 已知 ) 和结论 ( 求证 );. (2) 根据题意 , 画出图形 ;. (3) 结合图形 , 用符号语言写出“已知”和“求证” ;. (4) 分析题意 , 探索证明思路 ( 由 “ 因 ” 导 “ 果 ” , 执 “ 果 ” 索 “ 因 ” . );. (5) 依据思路 , 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;. (6) 检查表达过程是否正确 , 完善. M. A. A. A. D. N. D.

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8.1 平行四边形 (2)

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  1. 8.1平行四边形(2) 柏林庄中心初级中学 王瑞胜

  2. 回顾与思考 • 证明命题的一般步骤: • (1)理解题意:分清命题的条件(已知)和结论(求证); • (2)根据题意,画出图形; • (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; • (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); • (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; • (6)检查表达过程是否正确,完善.

  3. M A A A D N D D O B B C C B C Q P 回顾与思考 • 定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,BC=DA. • 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CO=AO,BO=DO. 定理:夹在两条平行线间的平行线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  4. 1 A 4 D 2 3 B C 平行四边形的判定 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. • 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA. • 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化为证明两组对边分别平行,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的角相等. 证明:连接AC. ∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  5. 1 A D 2 B C 平行四边形的判定 • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明相应的边相等. 证明:连接AC. 你还有其它证法吗？ ∵ AB∥CD, ∴ ∠1=∠2. ∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SAS).. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  6. 1 A 3 D 2 O 4 B C 平行四边形判定 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形的. 已知:如图,在四边形ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明: ∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2, ∴△AOD≌△COB(SAS). 你还有其他证法吗？ ∴∠3=∠4. ∴AD∥CB. 同理,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  7. A D B C 平行四边形的判定 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D. 求证:四边形ABCD是平行四边形. • 分析:要证明四边形ABCD是平行四边形，可转化为证明两组对边分别平行， 从而转化为相关的边角关系来证明. 证明: ∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600. ∴ 2∠A+2∠B=3600. ∴∠A+∠B=1800. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理,AB∥CD.

  8. M 11-x P x-3 4 5 O x-5 N 做一做 已知:如图. 求证:四边形MNOP是平行四边形. 分析:这是一道综合性题目,利用勾股定理,方程和平行四边形的判定进行计算推理可获证. 证明: ∴四边形MNPO是平行四边形.

  9. D E C A F B 随堂练习 已知:如图,在□ ABCD中,BF=DE. 求证:四边形AFCE是平行四边形. 分析:由已知的平行四边形和BF=DE可知,CE=AF,则转化为利用一组对应边平行且相等来证明. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB,DC=AB. ∵ DE=CF, ∴CE=AF, ∴四边形AFCE是平行四边形. 你还有几种不同的证法

  10. 1 A 1 E B 2 3 P D C 随堂练习 已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P. 求证:PD+CD=BC. 分析:要证明两条线段的和等于另一条线段,可以将BC分割为两部分,来证明相应的线段相等.如将CD平移(过P作CD的平行线)到PE的位置,则可利用等角对等边来证明PE=BE,从而问题得证 证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC. ∴PE∥CD∥AB, ∴ 四边形PDCE是平行四边形,∠1＝∠3… ∴ PD=EC,PE=CD. ∵ ∠1＝∠2. ∴∠3＝∠2. ∴PE=BE. ∴PD+CD=BE+EC=BC.

  11. A A D D O B B C C 回顾思考 • 定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. • 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A=∠C,∠B=∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形.

  12. A 2 D F 1 E B C 随堂练习 1.已知:如图, AC,BD是□ABCD的两条对角线, AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是E,F. 求证:AE=CF. • 分析:要证明AE=CF,可转化全等三角形(△AED≌△CFB)的对应边来证明. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=CB,AD∥BC. 你还有几种不同的证法 ∴ ∠1=∠2. ∵∠AED=∠CFB=900, ∴△AED≌△CFB(AAS). ∴AE=CF.

  13. 独立 作业 P78习题8.2 1,2题 P82习题8.3 1,2题

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